張斌

摘 要：“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”不僅是學(xué)生的研究方式，更是學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生通過理解型實(shí)驗(yàn)、探究型實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)和創(chuàng)造型實(shí)驗(yàn)，展開“具身性認(rèn)知”。教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生充分地活動(dòng)、充分地經(jīng)歷、充分地體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐與智慧的深入融合。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；四度空間

數(shù)學(xué)是一門兼具演繹性和歸納性的學(xué)科。瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉曾經(jīng)這樣說，“數(shù)學(xué)這門學(xué)科，既需要觀察，還需要實(shí)驗(yàn)。許多定理都是靠實(shí)驗(yàn)、歸納發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)充的手續(xù)”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”不僅是一種研究方式，更應(yīng)作為學(xué)生學(xué)習(xí)的方式。所謂“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，是指學(xué)生為了探究數(shù)學(xué)知識、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論而進(jìn)行的探究性、理解性、驗(yàn)證性或創(chuàng)造性的思維、操作活動(dòng)。學(xué)生從“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，通過實(shí)驗(yàn)積淀數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

一、理解型實(shí)驗(yàn)，讓兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有溫度

學(xué)生在生活、學(xué)習(xí)中會產(chǎn)生許多“迷思概念”“相異構(gòu)想”（即與數(shù)學(xué)概念不一致的觀念、想法等）。教學(xué)中，教師可以針對學(xué)生難以直觀想象的數(shù)學(xué)公式、定理等，運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式點(diǎn)化學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解，讓學(xué)生思維走向澄明、敞亮。教學(xué)中，教師應(yīng)該站在“制高點(diǎn)”上審視數(shù)學(xué)知識，洞察數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

教學(xué)《圓錐的體積》，學(xué)生普遍認(rèn)為“圓錐的體積是等底等高圓柱的體積的一半”，因?yàn)椤爸苯侨切螄@兩條直角邊旋轉(zhuǎn)可以得到圓錐，長方形圍繞長、寬旋轉(zhuǎn)可以得到圓柱，而直角三角形的面積是長方形面積的一半”。應(yīng)該說，學(xué)生的合情猜想、推理是有充足理由的。如何糾正學(xué)生的迷思概念、想異構(gòu)想？學(xué)生認(rèn)為，應(yīng)該“用事實(shí)說話”。圍繞實(shí)驗(yàn)，學(xué)生制定了兩種方案：一種方式是利用橡皮泥做成等底等高的圓柱和圓錐，然后將它們分別捏成長方體，求出面積后進(jìn)行比較；另一種方式是利用等底等高的圓柱和圓錐形容器，直接注入水或沙子進(jìn)行比較。經(jīng)過全班交流，學(xué)生紛紛贊同第二種方案。同時(shí)，學(xué)生認(rèn)為，沙子的空隙比較大，用水進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可能更精準(zhǔn)。通過對比，學(xué)生得出了結(jié)論：原來，圓柱的體積是等底等高的圓錐的體積的3倍。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)面前，學(xué)生否定了頭腦中存在的不正確觀念，形成了科學(xué)的認(rèn)知。

理解型實(shí)驗(yàn)，豐富了學(xué)生的感知，豐滿了學(xué)生的表象，豐厚了學(xué)生的理解。數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)過程融合了學(xué)生的數(shù)學(xué)分析、推理，融合了學(xué)生的想象、猜想，融合了學(xué)生的思維、操作。學(xué)生從感性出發(fā)，在實(shí)驗(yàn)中積淀活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。理解型實(shí)驗(yàn)既直觀、形象，又嚴(yán)密、深刻，在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維拔節(jié)生長，逐步向理性邁進(jìn)。

二、探究型實(shí)驗(yàn)，讓兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有坡度

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生從已知向未知的積極探究、建構(gòu)的過程。因此，教師要變革機(jī)械的、學(xué)生被動(dòng)接受的教學(xué)方式，賦予學(xué)生自主探究的時(shí)空、權(quán)利、方法等，給學(xué)生提供豐富多元的探究材料，引導(dǎo)學(xué)生積極參與、主動(dòng)探究，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)核。在探究型實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，能夠體驗(yàn)、享受到探究樂趣。

教學(xué)《周長是多少》，筆者引導(dǎo)學(xué)生分層次探究，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有坡度。首先出示12個(gè)小正方形（邊長為一個(gè)單位），讓學(xué)生進(jìn)行拼擺。學(xué)生拼擺出了3種不同規(guī)格的長方形：1×12；2×6；3×4。接著，筆者讓學(xué)生分別計(jì)算長方形的周長。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管小正方形的個(gè)數(shù)是相同的，但所拼成的長方形的周長卻是不同的。接著，筆者出示了一個(gè)由小正方形拼擺成的4×3的長方形（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“探究型實(shí)驗(yàn)”。

實(shí)驗(yàn)1：拿走一個(gè)小正方形，剩下圖形的周長會怎樣變化？

實(shí)驗(yàn)前，學(xué)生猜想。有學(xué)生感性、簡單地認(rèn)為，既然是拿走一個(gè)小正方形，剩下圖形的周長一定會減少。接著讓學(xué)生展開實(shí)驗(yàn)探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果拿走頂點(diǎn)的小正方形，剩下圖形的周長不會發(fā)生變化；如果拿走不在頂點(diǎn)的小正方形，剩下圖形的周長竟然會增加。

實(shí)驗(yàn)2：拿走兩個(gè)小正方形，剩下圖形的周長會怎樣變化？

實(shí)驗(yàn)前，學(xué)生猜想。這一次，學(xué)生謹(jǐn)慎了許多，他們認(rèn)為拿走兩個(gè)小正方形，剩下圖形的周長有可能增加，也有可能不變。但什么情況下剩下圖形的周長增加，什么情況下剩下圖形的周長減少呢？通過實(shí)驗(yàn)探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果拿走的兩個(gè)小正方形都在頂點(diǎn)上，或者兩個(gè)連在一起的小正方形，其中一個(gè)小正方形在頂點(diǎn)上，剩下圖形的周長不會發(fā)生變化；如果拿走的兩個(gè)小正方形都不在頂點(diǎn)上，或者兩個(gè)小正方形不相連，但其中一個(gè)小正方形在頂點(diǎn)上，則剩下圖形的周長就會增加。

實(shí)驗(yàn)3：拿走三個(gè)小正方形，剩下圖形的周長會怎樣變化？

實(shí)驗(yàn)前，學(xué)生猜想。依據(jù)剛才的探究經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生紛紛認(rèn)為，剩下圖形的周長有可能增加，也有可能不變。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這一次竟然出現(xiàn)了剩下圖形的周長減少的情形，比如拿走1號、5號、9號。學(xué)生恍然大悟，大呼上當(dāng)。經(jīng)過這種層次性的探究實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的思維變得更加嚴(yán)謹(jǐn)了。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生探究拿走4個(gè)、5個(gè)甚至更多的小正方形的情形。

鄭毓信教授深刻地指出，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要實(shí)現(xiàn)對操作層面的必要超越”。探究型實(shí)驗(yàn)教學(xué)，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生思維從感性上升到理性，從隨意上升到嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)生在探究型實(shí)驗(yàn)中學(xué)會了有序思考、分類思考、類比思考等多種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究、實(shí)驗(yàn)思考的方法，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的外化與學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的內(nèi)化的有機(jī)融合。

三、驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)，讓兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有深度

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“腳手架”，是學(xué)生自主建構(gòu)知識的重要方式。某種意義上，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程就是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行猜測、驗(yàn)證、再猜想、再驗(yàn)證的過程。所謂“驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)”，是指學(xué)生已經(jīng)知道或者大概知道結(jié)論，通過觀察、操作、記錄、分析等手段，對數(shù)學(xué)的某些定理、定義、公式進(jìn)行證明或證偽。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽地提出合理猜想，同時(shí)要追問學(xué)生猜想的依據(jù)，幫助學(xué)生調(diào)整思路，不斷提高學(xué)生猜想的水平。

教學(xué)《圓柱的體積》，一位教師運(yùn)用長方形紙讓學(xué)生卷成盡可能大的圓柱。顯然，學(xué)生有兩種卷法：一是沿著長方形的寬卷成圓柱；二是沿著長方形的長卷成圓柱。哪種長方形卷成的圓柱大呢？這位教師先讓學(xué)生猜想，有學(xué)生認(rèn)為，沿著寬卷成的圓柱體積大，因?yàn)檫@樣卷成的圓柱高；有學(xué)生認(rèn)為，沿著長卷成的圓柱體積大，因?yàn)檫@樣卷成的圓柱胖；還有學(xué)生認(rèn)為，這兩種卷紙方法形成的圓柱體積一樣大，因?yàn)槎际怯猛粡埣埦淼?。接著，教師給出長方形長、寬的具體數(shù)據(jù)，讓學(xué)生用計(jì)算的方法對自己的猜想進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，沿著長卷成的圓柱體積大。問題看似解決了，但學(xué)生卻心生疑問：或許只是“這一個(gè)”長方形紙沿著長卷成的圓柱體積大，其他的長方形是不是也是沿著長卷成的圓柱大呢？筆者在教學(xué)中，首先也讓學(xué)生猜測，然后讓學(xué)生舉例驗(yàn)證，學(xué)生產(chǎn)生了同樣的發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過不完全歸納，形成了統(tǒng)一認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧圓柱體積的推導(dǎo)過程，對圓柱體的諸多公式進(jìn)行審視。學(xué)生恍然大悟，原來圓柱體積等于圓柱側(cè)面積的一半乘圓柱的底面半徑。圓柱的側(cè)面積不變，所以圓柱的體積大小只與圓柱的底面半徑有關(guān)。由于沿著長卷成的圓柱體的底面周長大，所以底面半徑大，因此沿著長方形的長卷成的圓柱體積大。

驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有學(xué)生的操作、猜想、推理、驗(yàn)證，學(xué)生在“動(dòng)手做”的歷程中逐步打開被掩蓋的思維軌跡。實(shí)驗(yàn)成為數(shù)學(xué)知識與學(xué)生思維融合的媒介，成為學(xué)生感性認(rèn)知向理性認(rèn)知提升的平臺。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)主題引領(lǐng)下，通過自己經(jīng)歷與體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)。

四、創(chuàng)造型實(shí)驗(yàn)，讓兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有寬度

“創(chuàng)造型實(shí)驗(yàn)”又稱為“建構(gòu)式實(shí)驗(yàn)”，是指學(xué)生嘗試運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)、方法、思想等對數(shù)學(xué)新知進(jìn)行“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的活動(dòng)。創(chuàng)造型實(shí)驗(yàn)對于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、實(shí)踐能力和理性精神具有十分重要的作用。在創(chuàng)造型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，教師要激發(fā)學(xué)生的火熱思考，拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的寬度。

教學(xué)《圓柱側(cè)面積計(jì)算》，筆者給學(xué)生提供了一把剪刀、一個(gè)圓柱形的紙筒、一張白紙、一卷透明膠帶等材料，讓學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究。在實(shí)驗(yàn)過程中，絕大部分學(xué)生的實(shí)驗(yàn)方法都是將圓柱形紙筒沿著高或者斜著剪成長方形或平行四邊形。但班上有兩位善于“玩數(shù)學(xué)”的學(xué)生別出心裁，他們將圓柱體壓扁，變成了兩個(gè)完全相同且連在一起的長方形，然后再復(fù)原成圓柱體。在這種“壓扁——復(fù)原——壓扁”的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每個(gè)長方形的長就是圓柱底面周長的一半，寬就是圓柱的高。因此，圓柱體的側(cè)面積就應(yīng)該是兩個(gè)底面周長的一半乘高，也就是底面周長乘高。學(xué)生沒有運(yùn)用剪刀等材料，就自行創(chuàng)造出推演圓柱體側(cè)面積的方法，不能不說是學(xué)生的智慧。正是由于教師賦予學(xué)生探究的自由，沒有固化學(xué)生的思維，沒有囚禁學(xué)生的想象，而是將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程向?qū)W生充分敞開，允許學(xué)生的異想天開，才讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中有了積極的創(chuàng)造。

“創(chuàng)造型實(shí)驗(yàn)”聚焦核心問題，導(dǎo)向數(shù)學(xué)本質(zhì)。它基于學(xué)生立場，從學(xué)生視角出發(fā)，讓學(xué)生充分地活動(dòng)、充分地經(jīng)歷、充分地體驗(yàn)。通過數(shù)學(xué)化的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生理解數(shù)學(xué)、解釋數(shù)學(xué)或建構(gòu)數(shù)學(xué)。在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生馳騁思維、自由想象，形成創(chuàng)造性的見解和主張。

瑞士心理學(xué)家皮亞杰深刻地指出，“活動(dòng)是認(rèn)識的基礎(chǔ)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的建構(gòu)方式”。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生充分地觀察、操作、想象、思維，他們用自己的全部感官參與實(shí)驗(yàn)，形成一種“具身性認(rèn)知”。作為教師，要科學(xué)合理地安排數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有溫度、有坡度、有深度、有寬度。