（南昌航空大學(xué)飛行器工程學(xué)院，南昌，330063） 薛志遠(yuǎn) 胡曉安

鈦鎳合金（TiNi）是近年來(lái)比較熱門的金屬材料，正被廣泛運(yùn)用于電子、機(jī)械、醫(yī)療、能源、航空航天等領(lǐng)域。鈦鎳合金最為顯著的優(yōu)點(diǎn)是比強(qiáng)度高和耐腐蝕性好，具有優(yōu)良的形狀記憶和超彈性，具有比較好的機(jī)械性能，晶粒度很細(xì)小，可以被加工成很細(xì)小的絲材和薄板[1]。由于鈦合金具有優(yōu)異的熱強(qiáng)度以及較高的比強(qiáng)度，耐高溫，高溫環(huán)境下化學(xué)穩(wěn)定性好，得以在發(fā)動(dòng)機(jī)上被逐漸使用。未來(lái)的航空航天飛行器及其推力系統(tǒng)需要擁有更高強(qiáng)度的、更高工作溫度、更高彈性模量、密度更高且更加經(jīng)濟(jì)的材料，鈦鎳高溫合金便成了主要的材料選擇對(duì)象之一。

基于厚壁圓筒溫度分布以及熱應(yīng)力的研究國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了諸多探索。美國(guó)學(xué)者Paton，Koppel[2]等人在上世紀(jì)八十年代對(duì)電感加熱器以及核燃料元件裝置建立厚壁圓筒模型，給出了具有內(nèi)熱源的圓筒熱應(yīng)力計(jì)算通式。日本學(xué)者平修二[3]在上世紀(jì)八十年代末，為了強(qiáng)化當(dāng)時(shí)工程技術(shù)人員對(duì)于設(shè)計(jì)制造高溫高壓下使用的動(dòng)力機(jī)械或化學(xué)反應(yīng)裝置的熱疲勞以及高溫強(qiáng)度的理解，依據(jù)日本材料協(xié)會(huì)高溫強(qiáng)度委員會(huì)有關(guān)熱應(yīng)力和熱疲勞方面的研究成果，在對(duì)高溫下機(jī)械設(shè)備破損原因進(jìn)行大量分析之后，出版了《熱應(yīng)力與熱疲勞》一書，系統(tǒng)闡述了熱應(yīng)力分析方法，并廣泛涉及了基礎(chǔ)理論和設(shè)計(jì)應(yīng)用；丸山武志[4]等人完善了關(guān)于多層圓通導(dǎo)熱系數(shù)的測(cè)定方法以及不穩(wěn)定溫度分布理論，該方法適用于高壓下測(cè)定各種多層化學(xué)反應(yīng)容器的導(dǎo)熱系數(shù)的測(cè)定，同時(shí)對(duì)容器壁厚沒(méi)有限制，具有較高的經(jīng)濟(jì)性和適用性，不穩(wěn)定溫度分布理論可以幫助測(cè)定容器焊接接頭附近由于溫度差引起的熱應(yīng)力，導(dǎo)熱系數(shù)的方法，為后來(lái)開展圓筒導(dǎo)熱研究奠定了基礎(chǔ)。在國(guó)內(nèi)，國(guó)防科技大學(xué)教授孟祥貴[5]等人為了對(duì)厚壁圓筒在受到溫度場(chǎng)的作用時(shí)在內(nèi)部產(chǎn)生的熱應(yīng)力進(jìn)行精確分析，提出關(guān)于圓筒熱應(yīng)力問(wèn)題的傳遞函數(shù)方法，該傳遞函數(shù)方法具有較大的靈活性和適應(yīng)性；青海師范大學(xué)楊能彪[3]等人針對(duì)瞬態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中，由于時(shí)間因素相關(guān)的非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)是對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，給出了一維瞬態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解答。

由于目前針對(duì)固體發(fā)動(dòng)機(jī)各典型截面在非設(shè)計(jì)狀態(tài)（啟動(dòng)過(guò)程）中，經(jīng)受瞬態(tài)溫度（物體內(nèi)部各點(diǎn)溫度隨時(shí)間改變叫做瞬態(tài)溫度，這種變化的溫度的熱量傳遞過(guò)程稱為非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)）載荷條件下的瞬態(tài)溫度場(chǎng)以及熱應(yīng)力分析還有待進(jìn)一步的研究，利用等厚壁圓筒簡(jiǎn)化模型，通過(guò)研究以鈦鎳基合金為材料的某型固體發(fā)動(dòng)機(jī)瞬態(tài)溫度和熱應(yīng)力分布，為固體發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)驗(yàn)時(shí)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和熱應(yīng)力計(jì)算提供基本思路，同時(shí)也加深對(duì)解鈦鎳合金的認(rèn)識(shí)，推動(dòng)鈦鎳合金在發(fā)動(dòng)機(jī)領(lǐng)域的運(yùn)用。

1 傳熱分析模型

1.1 物理模型

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室、發(fā)動(dòng)機(jī)喉部以及發(fā)動(dòng)機(jī)喉部出口某截面，認(rèn)為溫度與周向和軸向無(wú)關(guān)，只是徑向坐標(biāo)的函數(shù)，從而簡(jiǎn)化為等厚壁圓筒。參照某型固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)尺寸，該等厚壁圓筒內(nèi)徑ra=1.8m，外徑rb=2m。圓筒結(jié)構(gòu)如圖1所。圓筒內(nèi)壁為高溫燃?xì)?，由于發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室、發(fā)動(dòng)機(jī)喉部以及發(fā)動(dòng)機(jī)喉部有不同的工作溫度，因而所選取的典型截面處具有不同的瞬態(tài)溫度值。內(nèi)壁有高溫燃?xì)獬洚?dāng)內(nèi)熱源，給定瞬態(tài)溫度邊界值。外壁與外界大氣相接觸，存在對(duì)流換熱。

圖1 圓筒結(jié)構(gòu)平面圖

1.2 物理模型的簡(jiǎn)化

該等厚壁圓通為軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)，各典型截面所在圓筒溫度在軸向上無(wú)變化，溫度分布只與半徑和時(shí)間有關(guān)，故可以把圓筒投影到平面上。于是，該固體發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)熱問(wèn)題便簡(jiǎn)化為一維下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。簡(jiǎn)化后的圓筒一維模型在極坐標(biāo)中進(jìn)行分析，如圖2所示。

圖2 簡(jiǎn)化后的圓筒一維模型在極坐標(biāo)中分析圖

1.3 鈦鎳合金材料熱物性參數(shù)

通常在實(shí)際工程材料中，對(duì)于金屬材料而言，其物理性質(zhì)大多和溫度以及物質(zhì)的種類有關(guān)。由于發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)過(guò)程溫度變化范圍很大，采用線性近似關(guān)系來(lái)確定相關(guān)熱物性。一般而言，熱膨脹系數(shù)主體上隨溫度升高從而線性增大，彈性模量隨著溫度的增加而大幅下降，泊松比隨溫度變化不明顯，導(dǎo)熱系數(shù)隨著溫度上升趨于降低，定壓比熱在溫度上升時(shí)也相應(yīng)增加[6]。這些參數(shù)均可作為溫度的線性函數(shù)。在非穩(wěn)態(tài)過(guò)程導(dǎo)熱中，當(dāng)給定初始條件和邊界條件時(shí)，導(dǎo)熱過(guò)程受材料熱物性中的導(dǎo)熱系數(shù)的影響十分明顯，特別是當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的函數(shù)時(shí)，導(dǎo)熱過(guò)程遭受的影響更加顯著[6]。在溫度變化較大的發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)工況下，故彈性模量、導(dǎo)熱系數(shù)、熱膨脹系數(shù)、定壓比熱以及換熱系數(shù)分別表示為E、λ、α、Cp、h，它們均為溫度的函數(shù)查材料參數(shù)手冊(cè)，相應(yīng)溫度下鈦鎳合金的熱物性參數(shù)如下表1所示，其余時(shí)刻對(duì)應(yīng)溫度下的材料熱物性采用線性方法進(jìn)行材料參數(shù)的內(nèi)插和外推得到。鈦鎳合金密度為ρ=4.5*103kg/m3，密度為定值，不隨溫度變化。

1.4 基本假設(shè)

該等厚壁圓筒屬于軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，圓筒軸向上橫截面積為定值，各典型截面所在圓筒上的溫度在軸向上不發(fā)生變化，因而可取某個(gè)截面進(jìn)行分析。溫度隨時(shí)間不斷變化的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程；該圓筒內(nèi)壁均勻受熱，為純導(dǎo)熱作用沒(méi)有對(duì)流，按第一類邊界條件處理；外表面與外界干空氣接觸，涉及對(duì)流換熱，采用第三類邊界條件。圓環(huán)初始溫度場(chǎng)為外界干空氣溫度，取為T0=Ta0=Tb0=288K。

2 導(dǎo)熱過(guò)程的計(jì)算分析

當(dāng)相位角?=π/2時(shí)，圓環(huán)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程為

表1 材料熱物性參數(shù)

給定初始條件：當(dāng)t=0時(shí)，T=T0

邊界條件：

其中，T∞為外部大氣溫度

3 數(shù)值離散

對(duì)時(shí)間坐標(biāo)進(jìn)行考慮，因而一維瞬態(tài)導(dǎo)熱就變成了二維問(wèn)題，擁有時(shí)間坐標(biāo)t和空間坐標(biāo)r兩個(gè)變量。但是時(shí)間坐標(biāo)t是單向的，也就是前一時(shí)刻的狀態(tài)只能對(duì)后一時(shí)刻的狀態(tài)產(chǎn)生影響，反之則不產(chǎn)生影響。圖3顯示出了以r和t為坐標(biāo)的環(huán)形區(qū)域的離散，時(shí)間t從0時(shí)刻開始，增量步為20s，經(jīng)過(guò)一個(gè)個(gè)時(shí)層增加到k、k+1時(shí)層[7]。

圖3 r-t環(huán)形區(qū)域的離散

3.1 微分方程的離散

對(duì)導(dǎo)熱方程（1）進(jìn)行數(shù)值離散，則可得到離散的控制方程：

3.2 邊界條件的離散

用K+1時(shí)刻相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的差分，替換式（2）（3）中的微分，得到邊界節(jié)點(diǎn)的差分方程顯式解：

4 各典型截面的溫度場(chǎng)的計(jì)算

參照某型固體發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際工況，計(jì)算等厚壁固體發(fā)動(dòng)機(jī)圓筒各典型截面各節(jié)點(diǎn)的溫度值，并和ABAQUS計(jì)算得到的溫度值進(jìn)行對(duì)比，以論證數(shù)值計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4.1 該型固體發(fā)動(dòng)機(jī)地面試車設(shè)計(jì)點(diǎn)飛行條件

Ma=0，H=0，T0=288K。穩(wěn)定工作時(shí)燃燒室出口溫度為T4=1182K。

地面試車時(shí)，啟動(dòng)工況是發(fā)動(dòng)機(jī)從停止?fàn)顟B(tài)到穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)的過(guò)渡過(guò)程，此過(guò)渡過(guò)程每一瞬時(shí)的燃?xì)鉁囟取⒇?fù)荷都不相同，圓筒內(nèi)側(cè)邊界溫度以及外側(cè)邊界換熱條件都和時(shí)間有關(guān)，因而這一過(guò)渡階段是非穩(wěn)態(tài)的，本論文對(duì)這一階段進(jìn)行研究。

4.2 各典型截參考節(jié)點(diǎn)的溫度值

將表1數(shù)據(jù)代入式（4）（5）中得各截面各節(jié)點(diǎn)的溫度分布，其中，i=1,2,…,6，K=0,1,2…,13。利用MATLAB繪制出各典型截面上不同位置節(jié)點(diǎn)處溫度隨時(shí)間變化圖像如圖4所示：

圖4 燃燒室出口、噴管喉部、噴管出口截面各參考節(jié)點(diǎn)溫度曲線圖

4.3 應(yīng)用ABAQUS對(duì)各典型截面進(jìn)行溫度場(chǎng)分析

如圖5、圖6、圖7各典型截面溫度場(chǎng)分布云圖所示?？梢姼鹘孛嫠矐B(tài)溫度場(chǎng)分布和實(shí)際數(shù)值計(jì)算所得溫度分布大致相同。

圖5 發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室截面溫度場(chǎng)

圖6 噴管喉部截面溫度場(chǎng)

5 基于MATLAB的等厚壁圓桶熱應(yīng)力計(jì)算分析

物體由于熱變形使受約束物體內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力稱為熱應(yīng)力。熱應(yīng)力的產(chǎn)生有兩種原因：結(jié)構(gòu)內(nèi)外表面受熱不均，產(chǎn)生溫度梯度；受到外部約束，這樣熱變形就要受到內(nèi)部各部分的相互制約和外界的限制，從而產(chǎn)生熱應(yīng)力。等厚壁圓筒形結(jié)構(gòu)，內(nèi)部存在高溫氣體作為熱源，內(nèi)外表面形成溫度梯度，因而產(chǎn)生了較大的熱應(yīng)力[6]。

不考慮軸向應(yīng)力，圓筒徑向、周向應(yīng)力關(guān)于溫度的函數(shù)如下：

徑向應(yīng)力：

周向應(yīng)力：

其中，a為熱膨脹系數(shù)，ra為圓筒內(nèi)徑，rb為圓桶外徑，E為彈性模量。利用MATLAB編制徑向與周向熱應(yīng)力計(jì)算程序，即把由（4）（5）式得到的各節(jié)點(diǎn)，運(yùn)用曲線擬合法，得到同一時(shí)刻徑向上各個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度值關(guān)于半徑r的函數(shù)關(guān)系，再代入（6）（7）式中即可得到相應(yīng)的徑向熱應(yīng)力和周向應(yīng)力，熱應(yīng)力隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線如下圖8、圖9、圖10所示。

圖8 燃燒室出口截面半徑方向上各節(jié)點(diǎn)徑向、周向熱應(yīng)力

圖9 噴管喉部截面半徑方向上各節(jié)點(diǎn)徑向、周向熱應(yīng)力

圖10 噴管出口截面半徑方向上各節(jié)點(diǎn)徑向、周向熱應(yīng)力

6 討論

基于傳熱學(xué)理論，參考單層無(wú)限長(zhǎng)圓筒的溫度分布一般情況，對(duì)一維圓筒模型的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程用差分法進(jìn)行數(shù)值離散，借助于MATLAB計(jì)算出圓筒半徑方向上所選取的節(jié)點(diǎn)各時(shí)間節(jié)點(diǎn)處的瞬態(tài)溫度解析計(jì)算值，同時(shí)用ABAQUS有限元分析軟件對(duì)圓筒導(dǎo)熱過(guò)程進(jìn)行模擬得到瞬態(tài)溫度場(chǎng)的有限元解法，與解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。再采用曲線擬合的方法，得到發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)時(shí)各個(gè)考察時(shí)間點(diǎn)上，半徑方向上各節(jié)點(diǎn)溫度值T關(guān)于圓筒半徑r的函數(shù)關(guān)系，再代入圓筒熱應(yīng)力計(jì)算公式（6）、（7）中，利用MATLAB編寫程序，計(jì)算得到徑向熱應(yīng)力和周向熱應(yīng)力。

考慮了第一類和第三類邊界條件，即規(guī)定圓筒內(nèi)側(cè)溫度隨時(shí)間變化，圓筒外側(cè)與外界干空氣表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h以及周圍空氣的溫度。圓筒內(nèi)部高溫燃?xì)獬洚?dāng)內(nèi)熱源。但是，在固體發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際工作過(guò)程中，熱傳遞將變得更為復(fù)雜，為了更好的對(duì)固體發(fā)動(dòng)機(jī)筒壁進(jìn)行溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力測(cè)定分析，還應(yīng)當(dāng)考慮輻射換熱以及不同的升溫速率對(duì)溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力的影響。因?yàn)槠拗?，本論文也只考慮了啟動(dòng)工作狀態(tài)下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱傳熱過(guò)程，更好的改進(jìn)方法是對(duì)固體發(fā)動(dòng)機(jī)停止過(guò)程的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程進(jìn)行熱應(yīng)力分析。同時(shí)可以在本文一維非穩(wěn)態(tài)基礎(chǔ)上進(jìn)行多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱及熱應(yīng)力的分析計(jì)算，由此才能夠更接近實(shí)際工況，獲得更為精確的瞬態(tài)溫度以及瞬態(tài)熱應(yīng)力，同時(shí)也能夠更好的論證某種材料在固體發(fā)動(dòng)機(jī)上運(yùn)用的可行性，以達(dá)到固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)地面試車的實(shí)驗(yàn)熱應(yīng)力計(jì)算分析的要求。

7 結(jié)論

（1）以固體發(fā)動(dòng)機(jī)地面試車啟動(dòng)工況為背景，將固體發(fā)動(dòng)機(jī)噴管簡(jiǎn)化為等厚壁圓筒，給出了一維非穩(wěn)態(tài)工作條件下瞬態(tài)溫度分布以及熱應(yīng)力的分析方法的基本思路。

（2）利用邊界條件以及差分法離散導(dǎo)熱偏微分方程求解，研究了等厚壁圓筒一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值解法，得到了一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程離散形式的顯式數(shù)值解。

（3）利用了ABAQUS對(duì)瞬態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程進(jìn)行模擬，得到了相應(yīng)的瞬態(tài)溫度場(chǎng)云圖，與數(shù)值溫度計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，以確保數(shù)值解的準(zhǔn)確性。利用MATLAB編制程序進(jìn)行熱應(yīng)力的求解，得到了各節(jié)點(diǎn)不同時(shí)刻熱應(yīng)力分布，提高了計(jì)算效率。

（4）由于固體發(fā)動(dòng)機(jī)的工作溫度通常是超高溫的，溫度變化范圍大，故本文考慮了鈦鎳基合金的物性隨溫度的線性變化，同時(shí)考慮了實(shí)際工況下的對(duì)流換熱邊界條件，從而計(jì)算過(guò)程更接近于實(shí)際情況。

（5）本文推導(dǎo)出的溫度數(shù)值解以及熱應(yīng)力計(jì)算相對(duì)較為簡(jiǎn)單，但是為固體發(fā)動(dòng)機(jī)概念設(shè)計(jì)和參數(shù)敏感性分析提供方法支持，對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用有一定的參考意義。

（6）本文基于鈦鎳基合金的熱物性，加深了對(duì)該合金的認(rèn)識(shí)，推動(dòng)了鈦鎳合金在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)領(lǐng)域的運(yùn)用。

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