張 健，饒 鵬，鄭 彬，張敬東，起雪梅

(攀枝花學(xué)院 交通與汽車工程學(xué)院，四川 攀枝花 617000)

0 引 言

非圓齒輪結(jié)合了凸輪與圓齒輪的優(yōu)點，已經(jīng)廣泛運用于農(nóng)業(yè)、輕工、冶金等各個領(lǐng)域[1-3]。在傳統(tǒng)的非圓齒輪設(shè)計中，運用VB對Solidwork軟件第二次開發(fā)，模擬非圓齒輪齒廓的行成過程，通過實體布爾運算得出非圓齒輪的實體模型[4-5]。該建模方法雖然精確，但是軟件的二次開發(fā)難度大、對物力財力及人力要求太高，在實際應(yīng)用中經(jīng)濟性差[6]。非圓齒輪機構(gòu)在運動學(xué)方面的特征就是能實現(xiàn)主動件和從動件轉(zhuǎn)角間的非線性關(guān)系。為了驗證這種非線性關(guān)系，已有學(xué)者利用CAD軟件造型后導(dǎo)入ADAMS進行運動學(xué)仿真[7-8]。但無法規(guī)避模型在導(dǎo)入過程中存在模型信息損失問題[9-10]，從而影響分析的準(zhǔn)確性。

分別利用橢圓齒輪的幾何學(xué)知識和刀具與齒廓嚙合軌跡，推導(dǎo)出各階非圓齒輪節(jié)曲線和齒廓的一般方程,并結(jié)合MATLAB參數(shù)化設(shè)計和Pro/E實體化特征操作混合建模及Pro/Mechanism design模塊進行運動學(xué)仿真?？捎行岣叻菆A齒輪的設(shè)計效率和解決運動學(xué)分析準(zhǔn)確性問題。

1 非圓齒輪設(shè)計

1.1 非圓齒輪節(jié)曲線方程

非圓齒輪的運動特性取決于節(jié)曲線，要描述其運動特性，須推導(dǎo)非圓齒輪的節(jié)曲線方程。以非圓齒輪的典例—橢圓齒輪為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出高階齒輪的節(jié)曲線方程，1階橢圓幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 橢圓幾何關(guān)系

如果將極坐標(biāo)的原點放置在橢圓的一個焦點上，該點也是齒輪1(主動輪)的回轉(zhuǎn)中心，則它的極坐標(biāo)為：

(1)

p1=a(1-e12)

(2)

式(1)和式(2)中e1為橢圓(齒輪1)的偏心率，根據(jù)其性質(zhì)：

(3)

齒輪1的向徑r1的變化周期為2π，即n1=1。齒輪2(從動齒輪)的向徑r2回轉(zhuǎn)一周時，變化周期數(shù)為n2，將式(1)帶入節(jié)曲線封閉條件式:

(4)

由此，解得中心距：

(5)

在齒輪嚙合中有：

(6)

將式(1)帶入式(6)得：

(7)

(8)

r2的變化周期為：

(9)

齒輪1和齒輪2的傳動比：

(10)

若將式(1)的極角縮小整數(shù)倍n1(n1>1)，保持向徑r1不變，則其方程可以寫為：

(11)

同理，齒輪2的極坐標(biāo)可以寫為：

(12)

傳動比：

i=

(13)

中心距：

(14)

故式(11)和式(12)是非圓齒輪副嚙合時的節(jié)曲線的方程。

1.2 節(jié)曲線繪制

由節(jié)曲線方程可以看出，控制非圓齒輪副傳動比和齒廓形狀的參數(shù)是齒輪的離心率e1和兩齒輪的階數(shù)n1、n2，所以非圓齒輪副的傳動組合形式是非常多的。為了避免內(nèi)容冗雜及保證節(jié)曲線設(shè)計合理性，舉以下實例進行分析。

取橢圓長半軸a=20 mm，主動輪離心率e1=0.3，階數(shù)n1=1；從動輪階數(shù)n2=1、2、3、4得到不同的從動齒輪副嚙合節(jié)曲線如圖2(a)。同樣，取橢圓長半軸a=20 mm，主動輪離心率e1=0.5，階數(shù)n1=3，從動輪階數(shù)n2=3、4、5得到不同的從動齒輪副嚙合節(jié)曲線如圖2(b)。 對比綜合圖2(a)和圖2(b)可得出，非圓齒輪離心率和階數(shù)越大，內(nèi)凹越明顯，總體外形尺寸越大，變傳動比周期循環(huán)越?。浑x心率和階數(shù)越小，外凸越明顯，外形尺寸越小，變傳動比周期循環(huán)越大。

圖2 不同階數(shù)及離心率

1.3 齒廓設(shè)計及三維模型建立

則在坐標(biāo)系pxdyd中，o1點的坐標(biāo)為:

(15)

坐標(biāo)系o1x1y1和pxdyd的相互變換為:

(16)

現(xiàn)規(guī)定，正向面對齒廓，位于左側(cè)的齒廓為左齒廓，反之為右齒廓。對第K號齒廓有:

s=s1-(k-1)pn=s1-(k-1)πm

(17)

式中：m為齒輪模數(shù)。

在坐標(biāo)系pxdyd中，左齒廓嚙合點Ekz的坐標(biāo)為:

(18)

在坐標(biāo)系pxdyd中，右齒廓嚙合點Eky的坐標(biāo)為:

(19)

運用推導(dǎo)的節(jié)曲線及齒廓方程進行MATLAB編程，可計算繪制出橢圓輪齒齒廓，然后導(dǎo)入Pro/E進行三維實體化操作即可得到非圓齒輪模型。

圖3 非圓齒輪齒廓生成

2 運動學(xué)分析

運動學(xué)主要研究點和剛體的運動規(guī)律。剛體運動學(xué)研究剛體本身的轉(zhuǎn)動過程、角速度、角加速度等更復(fù)雜些的運動特征。非圓齒輪則可看著剛體一類進行運動學(xué)分析。

2.1 不同階數(shù)和離心率的齒輪副的傳動比參數(shù)對比分析

取離心率e1=0.3，階數(shù)n1=1，n2=1、2、3、4、5和階數(shù)n1=1、2、3、4、5，n2=1得到齒輪副對應(yīng)的理論傳動比如圖4所示。

從圖4中可以看出，在非圓齒輪副主動齒輪離心率e1=0.3固定不變的情況下，齒輪階數(shù)由1～5，傳動比曲線的波峰和波谷逐漸增大且差值越大；主動齒輪階數(shù)n1=1固定不變時，傳動比周期為2 π；從動齒輪階數(shù)n2=1固定不變時，主動齒輪階數(shù)由1到5，傳動比周期從2 π到小于0.5 π。所以高階非圓齒輪的傳動比受其階數(shù)控制。

取離心率e1=0.3、0.5、0.7、0.9，階數(shù)n1=n2=2，得到理論的傳動比關(guān)系如圖5所示。

從圖5中可以看出，非圓齒輪副階數(shù)n1=n2=2為定值時，離心率e1由0.3增加到0.9時，傳動比的周期由4 π減小到2.25 π；傳動比曲線的波峰值由2增加到19，波谷逐漸減小，變化幅值(起伏)越大。所以非圓齒輪傳動比同樣受其離心率的控制。

圖4 不同階數(shù)和離心率齒輪副的理論傳動比

圖5 理論傳動比與不同離心率

2.2 角速度、角加速度與時間的關(guān)系

取e1=0.3，n1=1、2、3，n2=1進行分析，得到角速度、角加速度與時間的理論關(guān)系曲線如圖6所示。

圖6 角速度、角加速度與時間的理論關(guān)系

3 運動學(xué)仿真分析

現(xiàn)以較典型的2階橢圓齒輪副為例，按之前所述方法取表1中數(shù)據(jù)進行建模。在Pro/E中，按照【銷釘裝配】、【面對齊】裝配方式完成齒輪副的裝配，得到2階兩共軛非圓齒輪的仿真嚙合裝配圖如圖7所示。

表1 橢圓齒輪基本參數(shù)

圖7 齒輪的仿真嚙合裝配圖

接著在Mechanism design模塊中為模型添加【凸輪】，轉(zhuǎn)速為20 rad/s，持續(xù)時間為40 s的伺服電動機。然后經(jīng)過回放并保存分析結(jié)果，再選取齒輪副旋轉(zhuǎn)軸為測量對象，最后【繪制選定結(jié)果集所選測量的圖形】，得到齒輪副的角速度及角加速度仿真曲線，如圖8所示。該齒輪副的角速度及角加速度理論曲線如圖9所示。

圖8 齒輪副的角速度及角加速度仿真曲線

由圖8分析可知，從動齒輪的旋轉(zhuǎn)周期為9 s，角速度曲線在波谷和加速度曲線在上升及下降過程中出現(xiàn)突變，這是由于橢圓齒輪副的非勻變速傳動特性所引的起不可避免的震動、沖擊。對比齒輪副的仿真角速度及角加速度曲線(見圖8)與理論角速度及角加速度曲線(見圖9)，可以發(fā)現(xiàn)所對應(yīng)的曲線在同一時間段變化趨勢基本相同。

4 結(jié) 論

(1) 從動齒輪階數(shù)一定，主動齒輪階數(shù)越大，傳動比、角位移、角速度周期越小，角加速度的幅值越大。

(2) 離心率越大，傳動比變化幅值(起伏)越大，傳動比變化周期越小。

(3) 經(jīng)過對比分析，從動齒輪運動仿真規(guī)律基本符合理論角速度、角加速度函數(shù)關(guān)系，證明設(shè)計正確且方法切實可行。

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