雷湘池

【摘要】近些年來，人類社會正處在由工業(yè)化社會向信息化社會過渡的變革，人們對數(shù)學(xué)模型更加關(guān)注，數(shù)學(xué)模型在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用愈加廣泛，排隊(duì)論作為數(shù)學(xué)建模中的一個(gè)經(jīng)典模型之一，在數(shù)學(xué)建模中有著廣泛應(yīng)用，也是要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模必修的一門課程。本文將概括性介紹一些經(jīng)典排隊(duì)模型在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，希望能夠?qū)θ藗儗W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模起到幫助。

【關(guān)鍵詞】經(jīng)典排隊(duì)模型；數(shù)學(xué)建模；應(yīng)用

【中圖分類號】O159 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）32-0160-02

引言

今天，人類社會正處在飛速前進(jìn)中，并逐步過渡向信息化社會。在飛速發(fā)展中，社會進(jìn)程呈現(xiàn)出兩個(gè)重要的特點(diǎn)：計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用；數(shù)學(xué)在各大學(xué)科中的地位逐漸提高。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的更新?lián)Q代，數(shù)據(jù)挖掘與科學(xué)計(jì)算的作用愈發(fā)引起人們的廣泛關(guān)注，并成為人們探索和研究自然界、人類社會的三大基本方法之一，而數(shù)學(xué)建模的地位也隨之上升。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)有助于學(xué)生形成自覺應(yīng)用知識解決問題的思維，從而培養(yǎng)我們重視應(yīng)用的意識。由于重視應(yīng)用，從而主動獲取多方面的理論知識，進(jìn)而獲得更多實(shí)踐機(jī)會，更加重視應(yīng)用能力；由于善于應(yīng)用，才能聯(lián)系理論與實(shí)踐，并形成良性的促進(jìn)和循環(huán)。

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過程中，積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)。我們能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型；能夠提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識。

一、排隊(duì)論模型概述

排隊(duì)可以說是在日常生活中經(jīng)常會遇到的現(xiàn)象了，上到看病、參觀博物館，下到買菜、等車之類問題，都常常要排隊(duì)。排隊(duì)的關(guān)鍵就在于等待的過程，沒有等待就構(gòu)不成排隊(duì)，因此，排隊(duì)要求服務(wù)的數(shù)量大于等于服務(wù)機(jī)構(gòu)的容量。

于是，排隊(duì)論應(yīng)運(yùn)而生了。排隊(duì)論（Queuing Theory）屬于運(yùn)籌學(xué)的一種方法，主要用來研究排隊(duì)時(shí)間和等待服務(wù)時(shí)間。通過選擇各種排隊(duì)系統(tǒng)，應(yīng)用概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科的方法，來解決相應(yīng)排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制等等問題，屬于是數(shù)學(xué)建模優(yōu)化問題的分支。

在排隊(duì)論里，通常把等待服務(wù)的甲方稱為“顧客”，顧客可以是人，也可以是物，而提供服務(wù)的乙方則可以被稱為“服務(wù)臺”或“服務(wù)員”。顧客與服務(wù)員共同組成了服務(wù)系統(tǒng)。首先，顧客為了獲得某種服務(wù)到達(dá)系統(tǒng)，而系統(tǒng)中已有人接受服務(wù)，因此顧客不能一到達(dá)，就立刻獲得服務(wù)，并且該系統(tǒng)是允許排隊(duì)等待的，此時(shí)顧客可以加入等待隊(duì)伍，等獲得服務(wù)之后再離開系統(tǒng)，滿足上述條件，便成為了一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)。

排隊(duì)論就是為解決上述問題應(yīng)運(yùn)而生的一門學(xué)科，本文主要研究排隊(duì)論在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用。

二、排隊(duì)論基礎(chǔ)

1.排隊(duì)系統(tǒng)的特征

一個(gè)完整的排隊(duì)論系統(tǒng)，有如下三個(gè)特征：

（1）請求服務(wù)的人或物——顧客；

（2）為顧客服務(wù)的人或物——服務(wù)員或服務(wù)臺；

（3）整個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)也是隨機(jī)的。

2.排隊(duì)系統(tǒng)的基本組成部分

一個(gè)完整的排隊(duì)系統(tǒng)應(yīng)該有如下三個(gè)部分：輸入過程、服務(wù)規(guī)則、服務(wù)臺。

要求服務(wù)的顧客按什么規(guī)律到達(dá)相應(yīng)的排隊(duì)系統(tǒng)的過程指輸入過程，也可以稱其為顧客流。

通常情況下，我們可以從以下三個(gè)方面來描述一個(gè)輸入過程。

（1）顧客總體數(shù)。也可以被稱為是輸入源或顧客源。顧客總體數(shù)既可以是有限的，又可以是無限的。舉例來說，十字路口等紅燈的車輛總數(shù)可以認(rèn)為是無限的，而有限的例子有，某個(gè)手機(jī)店因故障待修的手機(jī)。

（2）顧客的到達(dá)方式。

（3）顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔的分布或者是顧客流的概率分布。顧客流的概率分布一般下面幾種，定長分布、二項(xiàng)分布、Poisson分布（最簡單流）以及Erlang分布等等。

服務(wù)規(guī)則：通常情況下，可分為損失制、等待制、混合制。

服務(wù)臺：從三個(gè)方面來描述：

（1）服務(wù)臺數(shù)量及構(gòu)成形式從數(shù)量上來看，服務(wù)臺有單服務(wù)臺和多服務(wù)臺之分.從構(gòu)成形式上來看，服務(wù)臺有：

①單隊(duì)——單服務(wù)臺式；

②單隊(duì)——多服務(wù)臺并聯(lián)式；

③多隊(duì)——多服務(wù)臺并聯(lián)式；

④單隊(duì)——多服務(wù)臺串聯(lián)式；

⑤單隊(duì)——多服務(wù)臺并串聯(lián)混合式

以及多隊(duì)——多服務(wù)臺并串聯(lián)混合式等等。

（2）服務(wù)方式：在某一時(shí)刻接受服務(wù)的顧客數(shù)，它有單個(gè)服務(wù)和成批服務(wù)兩種。

（3）服務(wù)時(shí)間的分布：一般情況下，對每一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間是一種隨機(jī)變量。

三、排隊(duì)模型在數(shù)學(xué)建模中的三種應(yīng)用模式

一般情況下，排隊(duì)系統(tǒng)的一般決策過程有如下三種：

①根據(jù)已知條件繪制狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖；

②依據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖，寫出各穩(wěn)態(tài)概率之間的關(guān)系；

③求出P0及Pn；

④計(jì)算各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo)；

⑤用系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)，來構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，從而對系統(tǒng)優(yōu)化.

排隊(duì)論模型主要有以下幾種：

（1）M/M/n/n排隊(duì)模型

顧客到達(dá)的間隔時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布，設(shè)參數(shù)為λ；

顧客接受服務(wù)的時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布，設(shè)參數(shù)為μ；

系統(tǒng)有n個(gè)服務(wù)臺；

系統(tǒng)最多容納n個(gè)顧客；

系統(tǒng)的狀態(tài)空間

（2）M/M/n排隊(duì)模型

顧客到達(dá)的間隔時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布，設(shè)參數(shù)為λ；

顧客接受服務(wù)的時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布，設(shè)參數(shù)為μ；

系統(tǒng)有n個(gè)服務(wù)臺；

系統(tǒng)容量沒有限制；

系統(tǒng)的狀態(tài)空間

（3）M/M/n/m（m>n）排隊(duì)模型

顧客到達(dá)的間隔時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布，設(shè)參數(shù)為λ；

顧客接受服務(wù)的時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布，設(shè)參數(shù)為μ；

系統(tǒng)有n個(gè)服務(wù)臺；

系統(tǒng)最多容納m個(gè)顧客；

系統(tǒng)的狀態(tài)空間

四、以醫(yī)院系統(tǒng)為例分析排隊(duì)論的應(yīng)用

醫(yī)院是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)?；颊叩介T診就診、等待住院等，都有可能碰到需要排隊(duì)等待接受服務(wù)的情況。尤其是遇到病人需要住院動手術(shù)的情況，醫(yī)院就得根據(jù)醫(yī)院已有的病床，考慮安排病人做于術(shù)的時(shí)間、入院的時(shí)間、出院的時(shí)間等等；若病人較多時(shí)，還得考慮安排哪種類型的病人做手術(shù)、人院、出院等；同時(shí)還得根據(jù)醫(yī)院的各方面條件，考慮安排多少個(gè)病人做手術(shù)、人院、出院等。若醫(yī)院病床安排的比較合理，則在醫(yī)院的病人不會顯得擁擠，病人等待的時(shí)間也不會過長，接受服務(wù)也比較快，病人會比較滿意；若安排的不合理，則在醫(yī)院的病人就會顯得擁擠，病人等待的時(shí)間過快，病人會比較滿意；若安排的不合理，則在醫(yī)院的病人就會顯得擁擠，病人等待的時(shí)間過長，接受服務(wù)較慢，病人會滿腹怨言，從而影響醫(yī)院的效益。

我們可把醫(yī)院的病床位看成并聯(lián)的服務(wù)窗口，查詢資料知服務(wù)時(shí)間的概率分布服從負(fù)指數(shù)分布，單位時(shí)問內(nèi)到達(dá)數(shù)的概率分布服從泊松分布，則醫(yī)院服務(wù)系統(tǒng)近似為多服務(wù)窗等待制排隊(duì)模型M/M/系統(tǒng)，因此可以用該模型的指標(biāo)對各種策略模型進(jìn)行評價(jià)。

這樣就可以運(yùn)用排隊(duì)論對某一醫(yī)院的病床安排情況進(jìn)行評價(jià)，并對該醫(yī)院病床數(shù)配備進(jìn)行模擬，得到較合適的病床配備數(shù)。對于一般的醫(yī)院，可依照上述方法，根據(jù)每個(gè)醫(yī)院病床安排的具體情況運(yùn)用排隊(duì)系統(tǒng)的主要指標(biāo)對其進(jìn)行評價(jià)，并對病床數(shù)進(jìn)行合理的配置。

該模型的優(yōu)點(diǎn)在于，人流進(jìn)入測試系統(tǒng)的速度在一定程度上達(dá)到了最大，其中，模型中的對排隊(duì)型的設(shè)置（包括班級排隊(duì)對型）使得系統(tǒng)在運(yùn)行速度達(dá)到了最大，使得人員等待的時(shí)間達(dá)到最小。

五、結(jié)語

排隊(duì)是生常生活中常見的現(xiàn)象之一，例如上下班搭乘公交車；顧客到超市購買物品；生病到醫(yī)院就醫(yī)；乘客到售票處購買車票等。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展日益迅猛，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展。排隊(duì)論的科學(xué)研究更是日新月異，應(yīng)用領(lǐng)域也不斷擴(kuò)大。

排隊(duì)論，又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，它是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的學(xué)科，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、生產(chǎn)、運(yùn)輸、庫存等隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。將數(shù)理邏輯的理論應(yīng)用于排隊(duì)論中，可以解決生產(chǎn)實(shí)踐中的很多相關(guān)問題。

排隊(duì)論屬于運(yùn)籌學(xué)的范圍，當(dāng)今社會資源優(yōu)化配置問題一直是有關(guān)部門和人員關(guān)注的焦點(diǎn)，無論是有形的還是無形的資源都在我們生活中占有很重要的地位，如何合理地利用有限資源來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)最高效率越來越受到人們的重視。可以說在這個(gè)快節(jié)奏的社會，運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用無處不在。數(shù)學(xué)建模因此，學(xué)好經(jīng)典排隊(duì)模型，對數(shù)學(xué)建模有很大幫助。

而數(shù)學(xué)建模可以培養(yǎng)我們從根源入手分析解決問題的正向思維和從結(jié)果入手剖析問題的逆向思維，這種“雙向思維”為應(yīng)用型人才提供了知識基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)建模需要用數(shù)學(xué)語言將實(shí)際問題抽象概括為數(shù)學(xué)問題和模型，還需用專業(yè)知識來解釋數(shù)學(xué)模型的解。上述兩方面，特別是后者的逆向思維和分析能力，對我們實(shí)際工作能力的提高有很大幫助。這種雙向思維的訓(xùn)練，使我們緊緊抓住實(shí)際問題中的“變”與“不變”，即：實(shí)際問題的背景和論域是多變的，但數(shù)學(xué)知識是“不變”的。經(jīng)過這種思維訓(xùn)練的人，往往能將困難轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)會，變壓力為動力，擁有更多的創(chuàng)新能力和機(jī)會。

綜上，學(xué)好經(jīng)典排隊(duì)模型對我們有很大幫助。

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