蘆碧波，王樂蓉，鄭艷梅，王永茂，李曉瑩，秦鈺翔

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基于各向異性全變分的迭代濾波算法

蘆碧波1,2，王樂蓉1，鄭艷梅1，王永茂1，李曉瑩1，秦鈺翔1

(1. 河南理工大學計算機科學與技術學院，河南 焦作 454000；2. 廣東省數(shù)據(jù)科學工程技術研究中心，廣東 廣州 510631)

空間鄰近度和像素值相似度的雙邊濾波(BF)器在濾波時，由于其值域濾波核系數(shù)的計算易受到噪聲的干擾，在噪聲水平較大時，直接使用噪聲圖像來指導核函數(shù)權(quán)值計算的方案不可行。為此，提出一種結(jié)合各向異性全變分和BF的圖像去噪算法，將各向異性全變分算法與BF算法相結(jié)合，首先利用各向異性全變分算法對噪聲圖像進行處理，得到一幅邊緣結(jié)構(gòu)信息較為豐富的結(jié)果圖像，接著將該結(jié)果圖像作為BF算法的引導圖像來指導值域濾波核系數(shù)的計算，為保證算法的穩(wěn)定性，對上述過程進行迭代處理。此外，為提高各向異性全變分算法的計算效率，引入了Split Bregman迭代算法進行加速處理。實驗表明，該算法能在較好去噪的同時，保留較多的邊緣結(jié)構(gòu)信息。

圖像去噪；雙邊濾波；各向異性全變分算法；Split Bregman迭代方法；結(jié)構(gòu)保持能力

圖像中噪聲的存在導致了圖像質(zhì)量的下降，圖像降質(zhì)不僅給用戶帶來了不便，也阻礙了圖像后續(xù)處理任務的進行，因此，圖像去噪往往是圖像處理任務中的第一步。濾波是圖像去噪的重要手段之一，根據(jù)降噪處理空間的不同，濾波主要可以分為頻率域濾波和空間域濾波兩大類。常見的頻率域濾波方法有小波變換、傅里葉變換等，其基本原理是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域中進行處理，之后再通過反變換到空間域；常見的空間域濾波方法有均值濾波、中值濾波和高斯濾波等，其基本原理是借助模板對圖像中的每個點與其相鄰的像素點作鄰域運算。對于實際生活中常見的加性高斯噪聲，高斯濾波有著較好的處理效果。但由于該方法只考慮了空間上的鄰近關系，導致其在平滑圖像的同時也退化了邊緣[1]。為了克服這一缺點，1998年TOMASI和MANDUCHI[2]提出了雙邊濾波(bilateral filtering，BF)方法。

BF算法是基于高斯濾波的一種改進算法，其不僅考慮了像素空間上的鄰近關系，也考慮了像素值間的相似性。通過對兩者的非線性組合，能夠在濾除噪聲的同時保留更多的邊緣信息。因為BF算法簡單且較容易實現(xiàn)，被廣泛應用于圖像去霧[3]、圖像增強[4]等領域中。然而，由于BF算法是使用噪聲圖像來指導加權(quán)系數(shù)的計算，在噪聲水平較小的情況下，該方案可行，但當噪聲水平較高時，噪聲圖像的結(jié)構(gòu)信息被噪聲破壞，嚴重影響了值域核加權(quán)系數(shù)的準確計算，導致其去噪效果變差。

文獻[5]指出，若直接使用清晰圖像來引導值域核加權(quán)系數(shù)的計算會極大改善去噪效果。雖然在去噪問題中使用清晰圖像引導BF進行去噪是一種無法實現(xiàn)的悖論，但尋找一幅優(yōu)于噪聲圖像的引導圖像是可行的。基于此，出現(xiàn)了很多BF的改進算法，例如2005年XU和PATTANAIK[5]提出了用高斯濾波計算后的結(jié)果圖像來引導BF去噪的模型；2009年ZHOU等[6]提出了二次迭代雙邊濾波(doubly bilateral filtering，DBF)，即用第一次雙邊濾波的結(jié)果來指導第二次雙邊濾波；2015年CHAUDHURY和RITHWIK[7]提出了加權(quán)雙邊濾波(weigthted bilateral filtering，WBF)，該方法是使用BF和魯棒的BF進行加權(quán)，其中魯棒的BF是先使用均值濾波對噪聲圖像進行預處理，而后用預處理后的結(jié)果圖像來引導BF去噪。但由于以上方法均存在濾波結(jié)果圖像結(jié)構(gòu)丟失的情況，其效果仍不能令人滿意。

考慮到各向異性全變分算法[8-9]能夠較好的保持圖像邊緣結(jié)構(gòu)信息，基于此，本文充分結(jié)合各向異性全變分算法和BF算法的優(yōu)勢，提出了各向異性全變分引導BF去噪的方法，并利用了Split Bregman迭代算法[10-11]對該模型進行快速求解。實驗表明，本文算法在較好去噪的同時保留了更多的紋理結(jié)構(gòu)信息，明顯改善了圖像質(zhì)量。

1 基于各向異性全變分的雙邊濾波算法

1.1 雙邊濾波

圖像去噪的目標是從噪聲圖像中獲得最近于原始圖像的估計值，本文使用零均值加性高斯噪聲作為噪聲模型，即

其中，為無噪聲圖像；是均值為0、標準差為的高斯白噪聲；為噪聲圖像；Ω為圖像的定義域，像素點(,)?Ω。

為了盡可能地濾除噪聲圖像中的噪聲，還原無噪聲圖像，BF利用局部加權(quán)平均的思想來計算復原圖像的像素值，其模型公式為

其中，S,y表示中心點為(,)的(21)(2+1)大小的鄰域，對該鄰域內(nèi)的每一像素點(,)，其加權(quán)系數(shù)(,)均由兩部分因子的乘積組成，即

其中空域核函數(shù)和值域核函數(shù)的計算公式分別為

從式(3)可看出，BF器的加權(quán)系數(shù)由兩個高斯核函數(shù)組成，一個是空域核函數(shù)，由圖像的幾何空間距離決定，距離越小，權(quán)值越大；另一個是值域核函數(shù)，由圖像的像素差值決定，像素值越接近，權(quán)值越大；通過將這兩個核函數(shù)進行乘積，可以實現(xiàn)圖像的自適應濾波。在圖像變化平緩的區(qū)域，值域濾波核函數(shù)接近1，此時空域濾波起主要作用，BF器退化為傳統(tǒng)的高斯濾波器，對圖像進行平滑操作。而在圖像邊緣部分，由于像素間的差異較大，此時值域濾波起到了保護邊緣信息不被模糊的作用。

1.2 引導圖像的分析與選擇

從式(5)可看出，BF器使用的是噪聲圖像來引導值域核函數(shù)的計算，的結(jié)構(gòu)信息與吻合程度越高，值域核函數(shù)的計算就越準確。但是，當噪聲較多時，引導圖像的結(jié)構(gòu)信息被湮沒，無法為值域核函數(shù)的計算提供有效的引導信息，影響加權(quán)系數(shù)的準確性從而進一步影響了BF的去噪效果。為此，需要尋找更為合理的引導圖像構(gòu)造加權(quán)函數(shù)。在文獻[7]中，研究人員使用均值函數(shù)處理噪聲圖像，并將其結(jié)果用來構(gòu)造加權(quán)函數(shù)，取得了一定的效果。均值函數(shù)雖然可以減少噪聲的影響，但也不可避免模糊邊界等重要特征。

為了利用噪聲圖像構(gòu)造清晰的引導圖像、改善去噪效果，本文選用了基于L1范數(shù)的各向異性全變分算法(anisotropic TV，ATV)來構(gòu)造引導圖像，即

其中，第一項是正則項，要求輸出的結(jié)果圖像具有良好的結(jié)構(gòu)信息且光滑；第二項是擬合項，要求輸入和輸出圖像間具有一定的相似性，能夠保留原圖像的特征；參數(shù)為規(guī)整參數(shù)，其依賴于噪聲水平。

由模型定義可知，該模型利用圖像內(nèi)在的正則性進行去噪，易于從噪聲圖像中得到包含清晰圖像結(jié)構(gòu)的解，輸出一個包含較為豐富的邊緣等重要結(jié)構(gòu)信息結(jié)果圖像。

1.3 各向異性全變分引導雙邊濾波去噪模型

基于各向異性全變分算法可以較好保持圖像結(jié)構(gòu)信息的優(yōu)勢，本文考慮將各向異性全變分算法與BF相結(jié)合，利用各向異性全變分算法得到的結(jié)果圖像作為BF的引導圖像。同時，為了避免各向異性全變分算法在光滑過渡區(qū)域恢復過程中產(chǎn)生的塊狀效果即階梯效應，設計了一種相互迭代的策略，使用BF的加權(quán)平均機制對階梯效應進行抑制，以改善最終的濾波效果。具體迭代式為

初始條件u0=v0=f，其具體算法流程為：首先輸入噪聲圖像u0=v0=f，接著利用各向異性模型對噪聲圖像進行計算得到結(jié)果圖像ui+1；然后將ui+1作為BF的引導圖像輸入進行BF得到結(jié)果圖像vi+1，如此循環(huán)迭代，直到圖像達到良好地去噪效果為止(圖1)。

2 各向異性全變分引導雙邊濾波去噪的快速算法

2.1 各向異性全變分算法的Split Bregman算法

通過Split Bregman算法可以得到迭代式為

注意到該能量函數(shù)的第一項是保證光滑，為了得到，令式(10)關于的導數(shù)等于零可得到

最后利用收縮式(10)計算d和d的迭代式

2.2 各向異性全變分引導雙邊濾波去噪的Split Bregman算法

綜上所述，本文算法的計算步驟如下：

3 實驗結(jié)果

為驗證本文算法的有效性，利用Matlab R2015b分別對Cameraman、Lena、Lake和Pepper圖像進行了仿真實驗，并與BF算法、DBF算法和WBF算法進行了對比。

圖2給出了Cameraman圖像(256′256)在噪聲水平=10的去噪結(jié)果，圖3給出了Lake圖像(512′512)在噪聲水平=20的去噪結(jié)果。為進一步從主觀上體現(xiàn)各個算法的去噪效果，給出了對比算法的局部放大圖：其中(a)為原始圖像，(b)為添加噪聲后的圖像，為添加高斯白噪聲的方差；(c)為BF結(jié)果；(d)為DBF結(jié)果；(e)為WBF結(jié)果；(f)為本文算法結(jié)果；圖(g)~(k)分別為圖(b)~(f)的局部放大圖。

圖2 Cameraman圖像去噪結(jié)果對比

圖3 Lake圖像去噪結(jié)果對比

從圖2對Cameraman圖像的測試表明，在噪聲較小的情況下，各個算法的去噪效果區(qū)別不明顯，因為少量的噪聲沒有對圖像的結(jié)構(gòu)造成較大的影響，仍保留了原圖像較多的結(jié)構(gòu)信息，此時用噪聲圖像來引導BF算法，可以得到較好的結(jié)果。但從局部放大圖中看出，本文算法比其他3種算法有著較強的邊緣結(jié)構(gòu)保持能力，且較完整地保留了原圖像中建筑物的結(jié)構(gòu)信息。

從圖3對Lake圖像的測試表明，當噪聲增大時，BF算法的抑噪能力變差，殘留了較多噪聲；DBF和WBF算法則出現(xiàn)了不同程度的模糊現(xiàn)象，丟失了部分圖像細節(jié)信息；而本文算法的優(yōu)勢得以體現(xiàn)，從對白云的放大圖來看，由本文算法計算得到的結(jié)果圖像在視覺上表現(xiàn)的更加自然。

為進一步驗證各個算法的紋理保護能力，圖4和5分別給出了Lena和Pepper圖像在不同噪聲水平情況下各算法的對比。從差值圖像中可以看出各算法的結(jié)構(gòu)保持能力，若差值圖像中出現(xiàn)有用的結(jié)構(gòu)信息越少，證明該算法的紋理保護能力越強。

從圖4和5的去噪結(jié)果對比得到，在噪聲較多情況下，使用BF算法進行去噪的效果較差，因為大量的噪聲湮沒了原圖像中的有用信息，此時的噪聲圖像不能夠為BF算法提供有效的引導信息，丟失了較多的圖像細節(jié)信息；DBF算法是將BF算法迭代了兩次，導致結(jié)果圖像的部分區(qū)域出現(xiàn)了過平滑現(xiàn)象；WBF算法雖較前兩者有效地提高了去噪效果，但由于該算法使用了均值濾波進行預處理，其結(jié)果圖像不可避免地出現(xiàn)了模糊現(xiàn)象；相比之下，本文算法的去噪效果較為明顯，能夠在噪聲較多的情況下保持其良好的去噪性能。此外，從殘差圖像中看出，BF、DBF和WBF算法的殘差圖中殘留了較多的邊緣結(jié)構(gòu)信息，而本文算法的殘差圖出現(xiàn)的有用的結(jié)構(gòu)信息較少，得益于使用了各向異性全變分算法來進行建模的結(jié)果。

為客觀評價各個算法的去噪性能，本文選取了峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)來進行圖像質(zhì)量的評價。

圖4 Lena圖像去噪結(jié)果對比

圖5 Pepper圖像去噪結(jié)果對比

通常，PSNR越高，圖像的去噪效果越好。其計算式為

其中，、分別為圖像的行列數(shù)。

表1給出了4種模型的PSNR值。由實驗數(shù)據(jù)顯示，本文算法的PSNR值較BF算法、DBF和WBF有了明顯的提高，驗證了本文算法其較好的去噪性能。

表1 峰值信噪比對比(dB)

4 結(jié) 論

本文結(jié)合各向異性全變分算法與BF算法，提出了各向異性全變分引導BF去噪的迭代方法，并引入Split Bregman迭代算法對該模型進行加速求解。通過數(shù)值實驗證明，本文算法可以在較好去除噪聲的同時較好的保持邊緣結(jié)構(gòu)信息，有效地解決了BF算法在噪聲水平變大時，其去噪性能變差這一缺點。

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An Iterative Image Filter Based on Anisotropic Total Variation

LU Bibo1,2, WANG Lerong1, ZHENG Yanmei1, WANG Yongmao1, LI Xiaoying1, QIN Yuxiang1

(1. College of Computer Science and Technology, Henan Polytechnic University, Jiaozuo Henan 454000, China; 2. Guangdong Engineering Research Center for Data Science, Guangzhou Guangdong 510631, China)

Spatial proximity and similarity of the pixel values of bilateral filter in the filter based on the calculation of the range of filter kernel coefficient is susceptible to noise interference. When the noise level is high, the direct use of noise image to guide the kernel weight computation program is not feasible. Therefore, in this paper, the anisotropic total variation and bilateral filtering are combined. Firstly, the image is processed by the anisotropic total variation model, and the result image with rich edge structure information is obtained. Then the calculation results of image as a guide bilateral filtering image to guide the range of filter kernel coefficient. In order to ensure the stability of the algorithm, the above process is iterated. In addition, in order to improve the computational efficiency of the anisotropic total variation model, the Split Bregman iterative algorithm is introduced to accelerate the computation. The experimental results show that the proposed algorithm can preserve more edge information while denoising.

image denoising; bilateral filter; anisotropic total variation; Split Bregman iterative method; structure preserve capability

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2018020186

A

2095-302X(2018)02-0186-07

2017-06-19；

2017-08-13

國家自然科學基金項目(U1404103)；河南省教育廳科學技術研究重點項目(14A520029，16A520053)；河南理工大學創(chuàng)新型科研團隊項目(T2014-3)；河南理工大學博士基金項目(B2016-40)

蘆碧波(1978–)，男，河南焦作人，副教授，博士。主要研究方向為數(shù)字圖像處理。E-mail：lubibojz@gmail.com