趙 斌，周 軍

(西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，西安 710072)

0 引 言

目前，戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈常采用慣性穩(wěn)定導(dǎo)引頭結(jié)合比例導(dǎo)引規(guī)律實(shí)現(xiàn)精確制導(dǎo)[1]。此類導(dǎo)引頭需要高性能的萬(wàn)向支架以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的穩(wěn)定跟蹤，其造價(jià)高、系統(tǒng)復(fù)雜。隨著制導(dǎo)武器小型化、低成本化的發(fā)展，將探測(cè)器件與彈體固聯(lián)安裝的一類捷聯(lián)導(dǎo)引頭已成為目前的研究熱點(diǎn)[2-3]，其能夠簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，提高可靠性并且降低成本。然而，由于探測(cè)器光軸不再與彈體運(yùn)動(dòng)隔離，因此比例導(dǎo)引所需的角速率信息不再能夠直接測(cè)量得到，在開展制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)往往需要進(jìn)行額外的捷聯(lián)解耦[4-5]。

針對(duì)大氣層內(nèi)目標(biāo)精確打擊時(shí)，戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈通過(guò)調(diào)整姿態(tài)建立攻角以實(shí)現(xiàn)法向過(guò)載的跟蹤。對(duì)于全捷聯(lián)導(dǎo)引體制而言，較大的姿態(tài)調(diào)整容易導(dǎo)致目標(biāo)脫離導(dǎo)引頭視場(chǎng)，尤其是在末制導(dǎo)階段，隨著彈目相對(duì)距離的不斷接近，這種潛在問(wèn)題更加突出[1]。

當(dāng)前已有學(xué)者針對(duì)視場(chǎng)角約束下的制導(dǎo)控制問(wèn)題開展研究，分別基于比例導(dǎo)引[6-8]、最優(yōu)控制[9-10]、變結(jié)構(gòu)控制[11-12]等給出了解決方案。

在比例導(dǎo)引方法中，文獻(xiàn)[6]采用帶有時(shí)變偏置項(xiàng)的比例導(dǎo)引法實(shí)現(xiàn)了制導(dǎo)全過(guò)程的視場(chǎng)角約束，其只能用于攻擊地面固定目標(biāo)，并且所引入的制導(dǎo)切換邏輯會(huì)引起制導(dǎo)指令跳變，不利于系統(tǒng)工作；文獻(xiàn)[7]提出一種采用不同導(dǎo)航比的兩階段真比例導(dǎo)引方法，并解析證明了其可以同時(shí)滿足視場(chǎng)角約束和終端角約束條件，這種方法同樣僅用于攻擊靜止目標(biāo)；為了有效應(yīng)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了一種制導(dǎo)指令同時(shí)與視線角速率和視線角成比例的終端角度約束制導(dǎo)律，給出了視場(chǎng)角的近似解析表達(dá)式，據(jù)此可以選擇導(dǎo)引參數(shù)以滿足視場(chǎng)角約束條件。

最優(yōu)控制同樣被用于解決此問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]通過(guò)將視場(chǎng)角范圍作為不等式約束條件引入最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)過(guò)程中，設(shè)計(jì)了能夠同時(shí)滿足終端角度和視場(chǎng)角約束的導(dǎo)引律，實(shí)現(xiàn)了對(duì)靜止目標(biāo)的精確打擊；文獻(xiàn)[10]基于線性最優(yōu)控制方法提出了視場(chǎng)角約束導(dǎo)引律，該方法可實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的精確打擊。

視場(chǎng)角約束是典型的狀態(tài)約束問(wèn)題，因此考慮狀態(tài)約束[11]的變結(jié)構(gòu)控制也被用于解決此問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]基于時(shí)變滑模和積分型障礙Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)了新型制導(dǎo)方法，同時(shí)滿足了視場(chǎng)角約束和攻擊角約束，其假設(shè)自動(dòng)駕駛儀理想工作；文獻(xiàn)[13]將自動(dòng)駕駛儀建模為帶有有界不確定的一階慣性環(huán)節(jié)處理，基于動(dòng)態(tài)面控制結(jié)合積分型障礙Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)了視場(chǎng)角約束制導(dǎo)律，然而其僅適合靜止目標(biāo)。

以上各種方法中視場(chǎng)角都定義為彈體速度方向和彈目視線方向的夾角，其前提是假設(shè)導(dǎo)彈飛行攻角近似為零，忽略導(dǎo)彈的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。而實(shí)際大氣層內(nèi)的全捷聯(lián)導(dǎo)彈主要通過(guò)調(diào)整彈體姿態(tài)建立攻角以實(shí)現(xiàn)法向過(guò)載的跟蹤，在打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，攻角為零的假設(shè)是不合理的。

捷聯(lián)導(dǎo)引頭的固有屬性是測(cè)量相對(duì)導(dǎo)彈本體的體視線角信息[1]，其兼具彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)信息。因此，為了確保該角度在制導(dǎo)控制過(guò)程中始終滿足導(dǎo)引頭視場(chǎng)角約束，采用導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)是一種自然而然的方案。

現(xiàn)有導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)方法[14-18]都沒有考慮導(dǎo)引頭視場(chǎng)角約束問(wèn)題，而針對(duì)視場(chǎng)角約束問(wèn)題的研究大都集中于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[6-12]中。本文以全捷聯(lián)導(dǎo)彈攻擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)為背景，提出了一種考慮捷聯(lián)視場(chǎng)角約束的導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)方法。首先，建立了考慮視場(chǎng)角約束的導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)模型；其次，基于積分型障礙Lyapunov函數(shù)[16]結(jié)合動(dòng)態(tài)面方法設(shè)計(jì)了一體化導(dǎo)引控制律，解決了視場(chǎng)角約束問(wèn)題；針對(duì)目標(biāo)未知機(jī)動(dòng)引起的系統(tǒng)不確定性，采用了一種估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度上界平方的自適應(yīng)律[19]，避免引入符號(hào)項(xiàng)，解決了非光滑問(wèn)題；最終基于Lyapunov穩(wěn)定理論證明了整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有界收斂特性。

1 數(shù)學(xué)建模

將目標(biāo)視為質(zhì)點(diǎn)，考慮導(dǎo)彈的姿態(tài)和速度方向，給出縱向平面中彈-目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

其中，XOY為慣性坐標(biāo)系；M,T分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)；AM,AT分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的加速度，其方向分別與導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度VM,VT方向垂直；R為彈目相對(duì)距離；qL為慣性系視線角；θM,θT分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的航跡角；Mxb為彈體縱軸方向，由此得到?為彈體俯仰角，qBL為相對(duì)彈體系的體視線高低角。

1.1 相關(guān)假設(shè)

不失一般性，本文在進(jìn)行捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化建模與系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)引入如下假設(shè)：

假設(shè)1. 在短暫的末制導(dǎo)過(guò)程中，假設(shè)導(dǎo)彈與目標(biāo)速度大小不變；

假設(shè)2. 目標(biāo)加速度及其微分大小是有界的；

1.2 捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)建模

根據(jù)圖1可以建立起考慮體視線約束的捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)模型，其主要由彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型、彈體姿態(tài)控制模型及全捷聯(lián)導(dǎo)引頭解耦模型等三個(gè)模型構(gòu)成。

1) 二維非線性彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型[19]

(1)

對(duì)于軸對(duì)稱戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈而言，彈體縱向加速度可以通過(guò)氣動(dòng)力系數(shù)近似表示如下：

(2)

根據(jù)式(1)和(2)可知：

(3)

2) 縱向目平面線性化姿態(tài)控制模型[20]

(4)

通常戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的末制導(dǎo)階段是無(wú)動(dòng)力飛行，即P=0。定義如下模型參數(shù)：

由此可對(duì)式(4)進(jìn)行簡(jiǎn)化：

(5)

3) 全捷聯(lián)導(dǎo)引頭解耦模型

從圖1可知，彈體俯仰角、體視線高低角和慣性系視線高低角滿足如下關(guān)系：

qBL=qL-?

(6)

對(duì)其求取微分可得：

(7)

其中，Δqbl=-ωz。

通常穩(wěn)定飛行的戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈，其攻角、舵偏角及角速率都是有界的，并且氣動(dòng)不確定也是有界的，結(jié)合假設(shè)1和假設(shè)2可知：

|Δqbl|≤d1,|Δql|≤d2,|Δα|≤d3,|Δω|≤d4

(8)

(9)

本文的設(shè)計(jì)目標(biāo)是設(shè)計(jì)一體化制導(dǎo)控制規(guī)律u，使得系統(tǒng)(9)在不確定性(8)作用下漸進(jìn)穩(wěn)定收斂，同時(shí)系統(tǒng)體視線角狀態(tài)滿足物理視場(chǎng)角Q的約束：

|x1|

(10)

2 捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)

2.1 相關(guān)引理

引理1[16]. 定義積分障礙Lyapunov函數(shù)(iBLF)

(11)

其中，z=x-xd為跟蹤誤差，|x|

1) 如果狀態(tài)滿足|x|

(12)

2) Lyapunov函數(shù)V(z,xd)對(duì)xd的偏導(dǎo)數(shù)如下：

(13)

(14)

引理3[22]. 對(duì)于正數(shù)kc，令χ:={x∈R:|x|≤kc,t≥0}與N:=Rl×χ?Rl+1均為開集合，考慮系統(tǒng)

V→∞，當(dāng)|x|→kc時(shí)

式中，γ1,γ2均為K∞類函數(shù)，令W(η):=V+U(ω)且x(0)∈χ，如果不等式滿足

式中，L,D>0，則x∈χ且ω有界。

2.2 捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)

基于動(dòng)態(tài)面控制，捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)步驟如下：

1)設(shè)計(jì)x2的虛擬控制律

定義誤差變量s1=x1-x1d,x1d=0，結(jié)合式(9)可知微分如下：

(15)

以x2作為虛擬控制量，設(shè)計(jì)x2c為

(16)

(17)

為了避免虛擬控制微分膨脹，引入一階濾波器獲取新的變量x2d

(18)

2)設(shè)計(jì)x3的虛擬控制律

定義新的誤差變量為s2=x2-x2d，結(jié)合式(9)可知微分如下：

(19)

以x3作為虛擬控制量，設(shè)計(jì)x3c為

(20)

(21)

同樣引入一階濾波器獲取新的變量x3d

(22)

3)設(shè)計(jì)x4的虛擬控制律

定義新的誤差變量為s3=x3-x3d，結(jié)合式(9)可知微分如下：

(23)

以x4作為虛擬控制量，設(shè)計(jì)x4c為

(24)

(25)

同樣引入一階濾波器獲取新的變量x4d

(26)

4)設(shè)計(jì)一體化制導(dǎo)控制規(guī)律u

定義新的誤差變量為s4=x4-x4d，結(jié)合式(9)可知微分如下：

(27)

由此可以設(shè)計(jì)控制律u為

(28)

(29)

定義推導(dǎo)過(guò)程的邊界層誤差變量為

yi=xid-xic,i=2,3,4

(30)

將式(18)、(22)、(26)代入(30)并結(jié)合假設(shè)3可知

(31)

根據(jù)引理2可知：

(32)

定義自適應(yīng)律的估計(jì)偏差如下

(33)

可知估計(jì)誤差導(dǎo)數(shù)為

(34)

根據(jù)式(15)和(30)可知：

(35)

同理可得：

(36)

將式(16)～(29)代入式(35)和式(36)，可得：

(37)

2.3 穩(wěn)定性分析

定理1. 對(duì)于捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化系統(tǒng)(9)，采用控制器(28)，如果系統(tǒng)初始體視線角滿足|x1(0)|

1)系統(tǒng)4個(gè)狀態(tài)的跟蹤誤差最終穩(wěn)定收斂至有界集合內(nèi)；

2)受限狀態(tài)x1始終滿足體視線約束|x1|

3)閉環(huán)系統(tǒng)所有信息均一致有界。

證. 為了確保體視線高低角滿足式(10)的約束，設(shè)計(jì)積分型障Lyapunov函數(shù)如下：

V=V1+V2+V3+V4

(38)

其中，各個(gè)變量定義如下：

(39)

(40)

(41)

(42)

根據(jù)引理1對(duì)式(38)求導(dǎo)可得：

(43)

分別將式(31)、(34)和(37)代入上式得到：

(44)

Δqbls1≤d1|s1|,Δqls2≤d2|s2|Δαs3≤d3|s3|,Δωs4≤d4|s4|

(45)

根據(jù)引理2可知：

(46)

同時(shí)還能得到：

(47)

將式(45)～(47)代入式(44)可得如下不等式成立：

(48)

根據(jù)式(12)可知：

(49)

選擇參數(shù)L,D>0，使得：

(50)

則可得如下不等式成立：

(51)

對(duì)式(50)進(jìn)行積分可得：

(52)

1) 對(duì)于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的末制導(dǎo)而言，其目標(biāo)必然處于導(dǎo)引頭視場(chǎng)范圍內(nèi)，因此自然滿足|x1(0)|

(53)

因此根據(jù)式(52)容易得到：

(54)

3) 根據(jù)結(jié)論1～2及引理3可知，系統(tǒng)狀態(tài)、跟蹤誤差有界；在此基礎(chǔ)上根據(jù)式(16)、(20)、(24)和(28)可知所有虛擬控制量及一體化導(dǎo)引控制規(guī)律都是有界的，即閉環(huán)系統(tǒng)所有信息均一致有界。

注1. 對(duì)于紅外或激光半主動(dòng)等導(dǎo)引頭而言，通常導(dǎo)引頭存在一定的盲區(qū)，即當(dāng)彈目相對(duì)距離小于一定數(shù)值時(shí)導(dǎo)引頭輸出信息無(wú)效，此后導(dǎo)彈通常采用慣性飛行直至命中目標(biāo)，對(duì)于激光半主動(dòng)導(dǎo)引頭而言其盲區(qū)實(shí)測(cè)結(jié)果通常約為10～40 m，由此可知式(50)中與相對(duì)距離R相關(guān)的k2,τ2不存在奇異問(wèn)題；

注2. 本文使用的自適應(yīng)律用于對(duì)未知干擾上界的平方進(jìn)行估計(jì)(式(17)、(21)、(25))，由此綜合得到了光滑的虛擬控制規(guī)律(式(16)、(20)、(24))及最終的一體化導(dǎo)引控制規(guī)律(式(28))。

3 仿真校驗(yàn)

以某型捷聯(lián)導(dǎo)彈為例進(jìn)行仿真校驗(yàn)，導(dǎo)彈的相關(guān)參數(shù)如表1所示；算法的相關(guān)控制參數(shù)見表2。

以正弦機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，目標(biāo)加速度特性設(shè)置為At=20sin(2πt) m/s2。彈目初始的仿真場(chǎng)景設(shè)置如表3所示。

表1 導(dǎo)彈參數(shù)Table 1 The missile parameters

表2 控制參數(shù)Table 2 Parameters used in the control algorithm

表3 初始仿真場(chǎng)景Table 4 Initial Simulation Scenario

選擇不同的視場(chǎng)角約束(分別是8°、8.5°和9°)，仿真結(jié)果如圖2～5及表4所示。

表4 仿真結(jié)果Table 4 Simulation results

結(jié)合圖2和表3第二列數(shù)據(jù)可以看出，在文中設(shè)置的場(chǎng)景下，三種視場(chǎng)角約束條件均能滿足，因而符合文中定理1的結(jié)論2；從圖3的局部可以看出，視場(chǎng)角約束越嚴(yán)格，精確打擊末端的舵偏角越大，并且所得到的舵偏角光滑并且非奇異，這與式(28)的數(shù)學(xué)特性相一致；從圖4和圖5可知，本文所設(shè)計(jì)的一體化導(dǎo)引與控制系統(tǒng)中的虛擬控制量跟蹤誤差和動(dòng)態(tài)面設(shè)計(jì)過(guò)程中引入的邊界層誤差均快速收斂至零附近鄰域內(nèi)，這與定理1的結(jié)論3相一致。

為了說(shuō)明本文方法的優(yōu)越性，基于傳統(tǒng)二次型Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)了一體化導(dǎo)引與控制律，主要不同點(diǎn)在于式(16)、式(17)和式(39)，分別改寫如下：

(1) 以x2作為虛擬控制量，將x2c改寫為

(55)

(56)

(3) 將第一步的Lyapunov方程改寫為

(57)

將本文方法記為iBLF-IGC，傳統(tǒng)方法記為QLF-IGC，基于表1 的彈體參數(shù)和表2的控制參數(shù)進(jìn)行對(duì)比仿真，結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出，在視場(chǎng)角約束為±8°的條件下，傳統(tǒng)方法可以實(shí)現(xiàn)精確打擊，但其實(shí)際的體視線角不滿足約束條件，而本文所提方法則可以一直保證±8°視場(chǎng)約束。

4 結(jié) 論

針對(duì)捷聯(lián)導(dǎo)引體制帶來(lái)的探測(cè)—制導(dǎo)—控制耦合問(wèn)題，本文結(jié)合積分型障礙Lyapunov函數(shù)和動(dòng)態(tài)面控制方法提出了一種考慮視場(chǎng)角約束的導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)方法，通過(guò)某激光半主動(dòng)捷聯(lián)彈的仿真實(shí)例說(shuō)明了該方法的有效性。

文中設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的模型不確定性進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，在此基礎(chǔ)上提出的一體化導(dǎo)引與控制規(guī)律能夠從理論上保證系統(tǒng)的有界穩(wěn)定特性，并且滿足體視線角狀態(tài)約束。以上方法對(duì)于解決非線性不確定嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的狀態(tài)約束控制問(wèn)題具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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