桑策，姚雨，申利梅，陳煥新*，孫淼

（1-華中科技大學(xué)中歐清潔與可再生能源學(xué)院，湖北武漢 430074；2-華中科技大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，湖北武漢 430074）

0 引言

半導(dǎo)體制冷器（又稱(chēng)熱電制冷器）是一種利用帕爾帖效應(yīng)的制冷器件，作為固態(tài)主動(dòng)式制冷方式，具有無(wú)運(yùn)動(dòng)部件、無(wú)噪音、易于集成等特性使得其在熱設(shè)計(jì)領(lǐng)域中備受關(guān)注[1-2]。目前廣泛應(yīng)用于國(guó)防、工作、醫(yī)療、科研及日常生活等領(lǐng)域[3-4]。半導(dǎo)體制冷器按尺寸可分為常規(guī)型和薄膜型。常規(guī)型熱電制冷器多用于車(chē)載/酒柜冰箱、飲水機(jī)、恒溫冷藏箱等小型制冷設(shè)備中。薄膜型熱電制冷器多用于高熱流密度芯片的輔助散熱，以及對(duì)某個(gè)微小區(qū)域的局部制冷等[5]。但無(wú)論是毫米級(jí)的常規(guī)型器件，還是微米級(jí)的薄膜型器件，其內(nèi)部金屬片與熱電臂的接觸面上都存在接觸熱阻與接觸電阻（合稱(chēng)界面接觸效應(yīng)）。且常規(guī)型和薄膜型熱電制冷器的接觸熱阻與接觸電阻對(duì)該器件性能的影響不同。因此，研究界面接觸效應(yīng)對(duì)不同尺度半導(dǎo)體制冷器性能的影響十分必要。

目前，國(guó)內(nèi)外研究者主要研究界面接觸效應(yīng)對(duì)半導(dǎo)體發(fā)電器和常規(guī)型半導(dǎo)體制冷器性能的影響，如李茂德等[6]針對(duì)小型半導(dǎo)體溫差發(fā)電器中接觸電阻和接觸熱阻的影響進(jìn)行了分析研究，證明了界面接觸效應(yīng)降低了半導(dǎo)體溫差發(fā)電器的輸出功率和熱電轉(zhuǎn)換效率，其影響不可忽視。蔡永華等[7]和張寧等[8]針對(duì)傳統(tǒng)的半導(dǎo)體溫差發(fā)電器件效率模型,提出了考慮接觸效應(yīng)的改進(jìn)模型，得出了考慮接觸效應(yīng)后器件效率隨負(fù)載的變化趨勢(shì)。GAO等[9-10]著重研究了常規(guī)半導(dǎo)體制冷器的接觸電阻和接觸熱阻的改進(jìn)模型，得到了接觸電阻和接觸熱阻對(duì)制冷效率和制冷量的影響。XUAN等[11-12]在GAO的模型基礎(chǔ)上提出了2個(gè)新的簡(jiǎn)化模型，進(jìn)一步研究了接觸電阻和接觸熱阻對(duì)常規(guī)半導(dǎo)體制冷器性能的影響。

綜上所述，針對(duì)薄膜半導(dǎo)體制冷器中的界面接觸效應(yīng)研究較少，本文建立了半導(dǎo)體制冷器的實(shí)際數(shù)學(xué)模型,對(duì)比分析了接觸電阻、接觸熱阻對(duì)不同尺度半導(dǎo)體制冷器的單位面積制冷量、制冷效率（Coefficient of Performance）的影響，為設(shè)計(jì)不同尺度半導(dǎo)體制冷器時(shí)優(yōu)化其界面接觸效應(yīng)提供了理論基礎(chǔ)和優(yōu)化建議。

1 數(shù)學(xué)模型

為了研究界面接觸效應(yīng)對(duì)半導(dǎo)體制冷器性能的影響，本文分別建立了不考慮接觸熱阻和接觸電阻的理想模型，以及考慮接觸熱阻和接觸電阻的實(shí)際模型。為了推導(dǎo)方便，兩種模型均做出以下簡(jiǎn)化：

1）熱電臂中的傳熱為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱；

2）熱電臂側(cè)面絕熱，與外界無(wú)熱交換；

3）忽略湯姆遜效應(yīng)的影響；

4）假定兩熱電臂的電阻率、熱導(dǎo)率都不隨溫度變化。

1.1 理想模型

不考慮熱電臂與冷、熱端基板之間的接觸熱阻和接觸電阻時(shí)，半導(dǎo)體制冷器的理想模型示意圖如圖1所示。

理想的半導(dǎo)體制冷器的數(shù)學(xué)模型為

式中：

Qc——半導(dǎo)體制冷器的冷端制冷量，W；

Tc——半導(dǎo)體制冷器的冷端溫度，K；

Th——半導(dǎo)體制冷器的熱端溫度，K；

?——半導(dǎo)體制冷器的制冷效率；

P——半導(dǎo)體制冷器的輸入功率，W；

α——熱電臂的賽貝克系數(shù)，V/K；

K——熱電臂材料的熱導(dǎo)，W/K；

R——P型和N型熱電臂的總電阻，Ω；

I——工作電流，A。

對(duì)式(3)的?求極值，可得到最大的制冷效率：

其中，TM為冷熱端平均溫度，Z為熱電材料的優(yōu)值系數(shù)，它們的表達(dá)式分別為：

式中：

ρ——熱電材料的電阻率，Ω?m；

λ——熱電材料的熱導(dǎo)率，W/(m?K)。

圖1 理想的半導(dǎo)體制冷器示意圖

1.2 實(shí)際模型

考慮熱電臂與冷、熱端基板之間的接觸熱阻和接觸電阻時(shí)，半導(dǎo)體制冷器的實(shí)際模型示意圖如圖2所示。與理想模型圖1的區(qū)別是，圖2的熱電臂上下分別與2塊導(dǎo)熱卻不導(dǎo)電的陶瓷基板相連。

1.2.1 僅考慮接觸電阻的模型

考慮接觸電阻后，熱電臂與金屬片之間的接觸電阻Rc為：

P型和N型熱電臂的總電阻R為：

式中：

l——熱電臂長(zhǎng)度，m；

A——熱電臂截面面積，m2；

ρc——熱電臂與金屬片間的接觸電阻率，Ω?m2。

n為接觸電阻比，表達(dá)式為：

熱電材料的優(yōu)值系數(shù)ZD和制冷器的制冷效率?1為：

圖2 實(shí)際的半導(dǎo)體制冷器示意圖

1.2.2 僅考慮接觸熱阻的模型

對(duì)一給定的輸入功率P，不考慮接觸電阻與接觸熱阻的制冷量Q和考慮接觸熱阻的制冷量Q*分別為：

式中，ΔTmax是制冷器無(wú)外加熱負(fù)載(Qc=0)情況下取得的最大溫差；ΔT0和 ΔT*分別是對(duì)應(yīng)制冷量Q和Q*時(shí)的溫差，可以得到ΔT*=ΔT0+ΔTc1+ΔTc2（ΔTc1和ΔTc2分別為冷端和熱端接觸層的溫差降）。

因此實(shí)際模型的制冷效率?2為：

式中，Kc1和Kc2分別為冷、熱端熱導(dǎo)。假設(shè)兩接觸層熱學(xué)性質(zhì)相同，即Kc1≈Kc2=λcAc/lc，2A≈Ac(Ac和lc是接觸層的截面面積和厚度，λc是接觸層熱導(dǎo)率)。r為接觸熱阻比，表達(dá)式為：

因此，式(14)可以化簡(jiǎn)為式(16)：

1.2.3 綜合考慮接觸熱阻和接觸電阻的模型

用僅考慮接觸電阻的式(11)中的?1替換式(16)中的?0，可以得到考慮接觸電阻和接觸熱阻兩項(xiàng)影響后的實(shí)際制冷效率?為：

同樣可以得到單位面積的制冷量q為：

2 結(jié)果分析

2.1 界面接觸效應(yīng)對(duì)常規(guī)型熱電制冷器制冷性能的影響

計(jì)算采用文獻(xiàn)[13]中的常規(guī)型熱電制冷器的物性參數(shù)，設(shè)定冷熱端溫度分別為275 K和383 K、Z=0.0028 K-1、接觸層厚度為 0.7 mm、接觸熱阻比0.2和接觸電阻比0.1 mm。

在不同接觸電阻下，熱電制冷器的COP隨熱電臂尺寸變化的曲線(xiàn)如圖3(a)所示；熱電制冷器的單位面積制冷量隨熱電臂尺寸變化的曲線(xiàn)如圖3(b)所示。在不同接觸熱阻下，熱電制冷器的COP隨熱電臂尺寸變化的曲線(xiàn)如圖4(a)所示；熱電制冷器的單位面積制冷量隨熱電臂尺寸變化的曲線(xiàn)如圖4(b)所示。圖3和圖4中的理想情況曲線(xiàn)均表示無(wú)界面接觸效應(yīng)。

從圖3(a)和圖4(a)中可以看出：1）考慮界面接觸效應(yīng)時(shí)，COP隨熱電臂的長(zhǎng)度增大而增大，但存在一個(gè)臨界長(zhǎng)度，當(dāng)熱電臂長(zhǎng)超過(guò)此臨界長(zhǎng)度后，COP隨熱電臂長(zhǎng)度增大而趨于穩(wěn)定。而且接觸熱阻比越小，該臨界長(zhǎng)度也越??；2）熱電臂足夠長(zhǎng)時(shí)的COP最接近理想狀態(tài)的COP。表明熱電臂長(zhǎng)度越長(zhǎng)，界面接觸效應(yīng)對(duì)COP的影響越小。

通過(guò)圖3(b)和圖4(b)中的曲線(xiàn)可以看出：1）考慮界面接觸效應(yīng)時(shí)，隨著熱電臂長(zhǎng)度增大，單位面積制冷量先增大后減小最后不變；接觸熱阻比一定時(shí)，在l=0.1 mm處出現(xiàn)明顯峰值；接觸電阻比一定時(shí)，在l＜0.1 mm處出現(xiàn)峰值；接觸熱阻比對(duì)單位面積制冷量的影響比接觸電阻比的影響更大；2）理想情況下,熱電臂長(zhǎng)度越接近 0,單位面積制冷量越趨于無(wú)窮大,這顯然與實(shí)際不符；這進(jìn)一步說(shuō)明考慮接觸效應(yīng)對(duì)小型、微型半導(dǎo)體制冷器性能的影響尤為重要。

圖3 熱電制冷器性能隨熱電臂尺寸變化的曲線(xiàn)

圖4 熱電制冷器性能隨熱電臂尺寸變化的曲線(xiàn)

2.2 界面接觸效應(yīng)對(duì)薄膜型熱電制冷器制冷性能的影響

隨著平面光電器件、微機(jī)電系統(tǒng)（Micro-Electro-mechanical System，MEMS）和微光機(jī)電系統(tǒng)（Micro-opto-electro-Mechanical Systems，MOEMS）的出現(xiàn),我們迫切需求體積更小、冷卻熱流密度更大、易于集成的微型熱電制冷器件[14]。

薄膜型熱電制冷器件與目前已獲得廣泛應(yīng)用的熱電器件相比,其特征尺寸（組成熱電器件的基本單元熱電臂長(zhǎng)）更小。薄膜型熱電器件的功耗比較小,熱電轉(zhuǎn)換效率（COP）問(wèn)題已不再突出，因此只分析熱電臂尺寸對(duì)功率密度（單位面積制冷量）的影響。此外，被冷卻器件的工作溫度不同，熱電制冷器的冷端溫度對(duì)單位面積制冷量的影響分析十分必要。

2.2.1 熱電臂尺寸對(duì)單位面積制冷量的影響

為了研究界面接觸效應(yīng)對(duì)薄膜熱電器件性能的影響，修改計(jì)算所采用材料的物性數(shù)據(jù)，設(shè)定薄膜熱電制冷器接觸層的性能參數(shù)，同時(shí)采用文獻(xiàn)[15]中薄膜熱電制冷器的數(shù)據(jù)，設(shè)定冷熱端溫度分別為295 K 和 300 K，設(shè)定Z=0.007 K-1、接觸層厚度lc=1.2l、最大溫差為40 K。

圖5分別為不同接觸電阻和接觸熱阻下，熱電器件單位面積制冷量隨熱電臂尺寸變化的曲線(xiàn)。圖中曲線(xiàn)表明，薄膜熱電制冷器件其單位面積制冷量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于普通熱電器件，且與特征尺寸成反比；考慮接觸熱阻使薄膜器件的單位面積制冷量相比理想情況降低100 W/cm2左右，遠(yuǎn)高于常規(guī)型熱電器件的降低量。

熱電材料的低維化有利于大幅提高其能量轉(zhuǎn)換效率（ZT值），同時(shí)低維熱電材料被用于制作熱電薄膜器件。熱電器件的單位面積制冷量與熱電臂的特征尺寸成反比，薄膜熱電器件的熱電臂長(zhǎng)度極小，但同時(shí)接觸效應(yīng)的影響將隨著熱電臂長(zhǎng)度的減小而相對(duì)增大，從而導(dǎo)致制冷器效率的下降，接觸效應(yīng)影響的絕對(duì)數(shù)值會(huì)增大，因此，當(dāng)熱電器件的熱電臂尺寸很短時(shí)，必須考慮接觸效應(yīng)，才能對(duì)器件的輸出特性給出正確的估算。

圖5 熱電制冷器單位面積制冷量隨熱電臂尺寸變化的曲線(xiàn)

2.2.2 冷端溫度對(duì)單位面積制冷量的影響

控制不同冷端溫度下，得到冷端溫度對(duì)熱電制冷器單位面積制冷量的影響如圖6所示。當(dāng)冷端溫度逐漸升高時(shí)，單位面積制冷量會(huì)不斷增大；說(shuō)明熱電薄膜器件的溫差越小，其單位面積制冷量越大，這與常規(guī)型熱電模塊的變化一致。固定冷端溫度時(shí)，隨著熱電臂尺寸變短，單位面積制冷量會(huì)增大。

2.3 接觸電阻和接觸熱阻的對(duì)比分析

不同界面接觸效應(yīng)情況對(duì)熱電制冷器的COP和單位面積制冷量的影響如圖7所示。取常規(guī)型熱電制冷器參數(shù)繪制曲線(xiàn)，得到僅有接觸熱阻（r=0.2；n=0）、僅有接觸電阻（r=0；n=0.1 mm）、無(wú)接觸效應(yīng)（r=0；n=0）、既有接觸熱阻又有接觸電阻（r=0.2；n=0.1 mm）。從圖中看出僅存在接觸熱阻的曲線(xiàn)更加接近實(shí)際曲線(xiàn)，僅存在接觸電阻的曲線(xiàn)則更加接近理想曲線(xiàn)，說(shuō)明接觸熱阻對(duì)器件性能影響更大，接觸電阻的影響則較小。

圖6 單位面積制冷量隨冷端溫度變化的曲線(xiàn)

圖7 不同界面接觸效應(yīng)下，熱電制冷器制冷性能隨熱電臂尺寸變化的曲線(xiàn)

接觸電阻相當(dāng)于增大了熱電器件的內(nèi)部熱載，同時(shí)增加了功耗，使冷端的冷量減少和熱端的熱量增加。接觸熱阻則會(huì)引起熱電器件中的接觸面和接觸層上的熱損失，造成冷端負(fù)載增加，使器件的性能下降。隨著熱電臂尺寸的逐漸減小，接觸電阻和接觸熱阻的影響開(kāi)始增大，由于接觸電阻相對(duì)于接觸熱阻對(duì)熱電轉(zhuǎn)換效率COP和單位面積制冷量的影響較小，此時(shí)減小接觸熱阻比減小接觸電阻對(duì)于提高制冷量更有用。因此，優(yōu)化并減小熱電器件的接觸熱阻更有必要。

3 結(jié)論

本文通過(guò)建立半導(dǎo)體制冷器的實(shí)際數(shù)學(xué)模型,分析了接觸電阻、接觸熱阻對(duì)不同尺度半導(dǎo)體制冷器的單位面積制冷量及熱電轉(zhuǎn)換效率COP的影響，得出了以下結(jié)論：

1）界面接觸效應(yīng)對(duì)薄膜型半導(dǎo)體制冷器件性能的影響遠(yuǎn)大于常規(guī)型半導(dǎo)體制冷器件；

2）以單位面積制冷量更大為目標(biāo)時(shí)，半導(dǎo)體制冷器的熱電臂應(yīng)越短；以熱電轉(zhuǎn)換效率COP更大為目標(biāo)時(shí)，半導(dǎo)體制冷器的熱電臂應(yīng)越長(zhǎng)；在制造半導(dǎo)體制冷器時(shí)，需根據(jù)實(shí)際需求選擇合適的熱電臂長(zhǎng)度；

3）當(dāng)冷端溫度不固定，隨著冷熱端溫差減小，各尺寸熱電制冷器單位面積制冷量會(huì)不斷增大；當(dāng)冷端溫度固定時(shí)，隨著熱電臂尺寸變短，單位面積制冷量會(huì)增大；

4）接觸熱阻對(duì)半導(dǎo)體制冷器性能的影響比接觸電阻大很多；因此在提高半導(dǎo)體制冷器的性能時(shí)，需要特別考慮減少接觸熱阻。

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