楊秀香

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西渭南714099)

0 引言

隨著人類社會(huì)的不斷發(fā)展，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，人類對(duì)自然界的改造已經(jīng)對(duì)生物種群產(chǎn)生了很大的影響，人類占據(jù)了這些生物的大片領(lǐng)域，致使它們的生存受到了嚴(yán)重威脅，很多物種瀕臨滅絕，這些生物不僅面臨領(lǐng)域被占領(lǐng)，而且環(huán)境污染也正在威脅著生物種群的持續(xù)生存。隨著工農(nóng)業(yè)的發(fā)展，環(huán)境污染日益嚴(yán)重，大量的環(huán)境毒物被連續(xù)地或一次性地排放到環(huán)境中，這些毒物對(duì)生物體的生長(zhǎng)發(fā)育和繁殖等都有較明顯的毒理效應(yīng)。這嚴(yán)重地破壞了生態(tài)平衡，導(dǎo)致自然環(huán)境發(fā)生了很大的變化。目前，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者都在研究生物種群的發(fā)展規(guī)律，并且取得了較好的成果。

本文研究生活在一個(gè)自然環(huán)境中的兩個(gè)種群A和B，首先假設(shè)兩種群密度分布是均勻的，以x(t)、y(t)分別表示種群A和B在時(shí)刻t的密度。1935年，Gause和Wirt認(rèn)為在一個(gè)生態(tài)環(huán)境中生活的兩種群A和B的密度增長(zhǎng)模型Kolmogorov模型可以用線化F1、F2的方法近似表示，這就是著名的Lotka－Volteera模型，我們假設(shè) β11≤0，β22≤0，其中:β11≤0表示A種群是密度制約的，β22≤0表示B種群是密度制約的。β12≤0、β21≤0表示兩個(gè)種群A和B是相互競(jìng)爭(zhēng)的關(guān)系，β12≥0、β21≥0表示兩個(gè)種群A和B是互惠共存的關(guān)系。

文獻(xiàn)［1］研究了毒素具脈沖擴(kuò)散與輸入的單種群動(dòng)力學(xué)模型。文獻(xiàn)［2－3］研究了有毒物影響的捕食者－食餌兩種群模型的定性分析;大氣污染下具HollingⅡ功能性反應(yīng)的種群生存條件。文獻(xiàn)［4］研究了具有飽和項(xiàng)的互惠模型正解的存在性。文獻(xiàn)［5－11］研究了生態(tài)環(huán)境受污染下單種群的持續(xù)生存;兩種群競(jìng)爭(zhēng)模型中毒物對(duì)種群的影響;在連續(xù)性捕殺效應(yīng)下SIS生態(tài)流行病模型的穩(wěn)定性;具有雙線性傳染率的捕食－食餌種群傳染病模型的全局穩(wěn)定性等。鑒于此，本文基于環(huán)境污染的生物種群模型，結(jié)合生物動(dòng)力學(xué)原理和生態(tài)毒理學(xué)原理，建立了一個(gè)基于一次性排放的環(huán)境毒物影響的廣義生物種群模型，具有密度制約和毒物影響的兩種群互惠模型:

其中:a1、a2分別表示x種群、y種群的自然增長(zhǎng)率;b1、b2分別表示x種群、y種群的密度制約系數(shù);c1、c2表示兩種群互惠關(guān)系中相互間的干擾系數(shù);E1、E2分別表示x種群、y種群受毒物影響的消耗率。

本文假設(shè)a1、a2、b1、b2、c1、c2、E1、E2均為正常數(shù)，基于實(shí)際意義，a1＞E1，a2＞E2，否則兩種群在負(fù)增長(zhǎng)過(guò)程中將同時(shí)消亡。我們?cè)趦?nèi)討論模型(1)的穩(wěn)定性態(tài)。該模型的一切解在R內(nèi)正向有界。

1 定義與引理

如果對(duì)任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使當(dāng)任一解Y0滿足‖Y0‖≤δ時(shí)，方程組(2)的由初值條件Y(t0)=Y0確定的解Y(t)，對(duì)一切t≥t0均有‖Y(t)‖＜ε，則稱方程組(2)的零解Y(t)=0為穩(wěn)定的;如果零解Y(t)=0為穩(wěn)定的，且存在δ0＞0，使當(dāng)‖Y0‖≤δ0時(shí)，有由初值條件Y(t0)=Y0確定的解Y(t)均有，則稱零解Y(t)=0為漸近穩(wěn)定的;如果零解Y(t)=0為漸近穩(wěn)定的，且δ0=+!，則稱零解Y(t)=0為全局漸近穩(wěn)定的。

定義2［12］對(duì)于一階駐定微分方程組，假設(shè)X、Y對(duì)x、y有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且X2+Y2不恒為0，同時(shí)滿足X(x，y)=0，Y(x，y)=0的點(diǎn)(x*，y*)是微分方程組的奇點(diǎn)，則x=x*，y=y*是方程組的解。

引理1［12］(赫爾維茲(Hurwitz)判別代數(shù)方程的根的實(shí)部是否均為負(fù)值的法則)

其中:a0＞0，作行列式，那么，方程(3) 的一切根均有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是下列不等式同時(shí)成立:

引理2［13］一階常系數(shù)線性微分方程組(2)的特征方程det(A－λE)=0的根均具有負(fù)實(shí)部，則方程組的任一解當(dāng)t→0時(shí)都趨于0，從而系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的;若特征值的實(shí)部為0的根是單根，則方程組的任一解有界，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，但不一定漸近穩(wěn)定。

極限環(huán)理論是常微分方程定性理論中一個(gè)重要的模塊，在判斷二維平面自治系統(tǒng)極限環(huán)不存在的過(guò)程中Dulac函數(shù)起到了重要作用，尋找合適的Dulac函數(shù)往往能簡(jiǎn)化過(guò)程并且優(yōu)化結(jié)果。文獻(xiàn)［13］中著名的Bendixson－Dulac判別法給出了判定極限環(huán)不存在的一個(gè)重要依據(jù)。

引理3［13］考慮二維平面系統(tǒng)，若在單連通區(qū)域G內(nèi)存在函數(shù)B(x，y)∈G，使，且不存在G的任一子區(qū)域恒為0，則系統(tǒng)不存在全部位于G內(nèi)的閉軌線和具有有限個(gè)奇點(diǎn)的奇異閉軌線。其中:函數(shù)B(x，y)常稱為Dulac函數(shù)。

2 模型平衡點(diǎn)的存在性

定理1 模型(1)中a1＞E1，a2＞E2，在R內(nèi)一定有平衡點(diǎn)正平衡點(diǎn)存在的充要條件是:b1c2＞b2c1。其中:

確定，邊界平衡點(diǎn)O(0，0)、A(0，，由于a1＞E1，a2＞E2，當(dāng)b1c2＞b2c1時(shí)，存在正平衡點(diǎn)C(x0，y0)，其中:

3 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性態(tài)

模型(1)任一平衡點(diǎn)E的雅可比矩陣為:

定理2 模型(1)的平衡點(diǎn)O(0，0)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

證明 在平衡點(diǎn)O(0，0)處

其特征方程為 (λ－a1+E1)(λ－a2+E2)=0，

特征根為 λ1=a1－E1＞0，λ2=a2－E2＞0，

所以平衡點(diǎn)O(0，0)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

定理3 當(dāng)a1＞E1，a2＞E2時(shí)，模型(1)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

特征根為λ1

由于a1＞E1，a2＞E2，故λ，此時(shí)，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

定理4 若a1＞E1，a2＞E2，且b1c2＞b2c1，則模型(1)的正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。其中

證明 在正平衡點(diǎn)Cx0，y0)處，雅可比矩陣為:

由于a1－E1－b1x0+c1y0=0，a2－E2+b2x0－c2y0=0，所以

當(dāng)a1＞E1，a2＞E2，且b1c2＞b2c1時(shí)，由韋達(dá)定理得:

λ1、λ2具有負(fù)實(shí)部，此時(shí)，正平衡點(diǎn)C(x0，y0)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，由引理1(赫爾維茲(Hurwitz))、引理2可知正平衡點(diǎn)C(x0，y0)是局部漸近穩(wěn)定的。

4 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性分析

基于生物學(xué)意義，我們只討論正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

定理5 若a1＞E1，a2＞E2，且b1c2＞b2c1，則模型(1)的正平衡點(diǎn)C(x0，y0)全局漸近穩(wěn)定。

證明 當(dāng)a1＞E1，a2＞E2，且b1c2＞b2c1時(shí)，該模型存在唯一的正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。

由引理3(Dulac判別法)可知，模型(1)在R內(nèi)不存在極限環(huán)，所以當(dāng)b1c2＞b2c1時(shí)，唯一的正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

5 正平衡點(diǎn)C( x0，y0)全局穩(wěn)定性的計(jì)算機(jī)模擬

取滿足定理?xiàng)l件的參數(shù)值如下:

由此得到兩種群受環(huán)境污染的程度不能超過(guò)種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，同時(shí)兩種群受密度制約和互惠率滿足關(guān)系b1c2＞b2c1，正平衡點(diǎn)在局部穩(wěn)定的條件下最終穩(wěn)定的模擬圖如圖1所示。

圖1 受環(huán)境污染的兩種群互惠模型的穩(wěn)定性模擬圖

6 生物學(xué)解釋

模型(1)在滿足a1＞E1，a2＞E2，且b1c2＞b2c1的情況下，唯一的正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。從生物學(xué)的角度可以說(shuō)明，x種群和y種群受環(huán)境污染的程度不能超過(guò)種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，同時(shí)從兩種群受密度制約和互惠率存在一定關(guān)系b1c2＞b2c1的情況下，可以看出模型(1)中受環(huán)境污染的x種群和y種群在正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，也就是說(shuō)無(wú)論初值如何，當(dāng)時(shí)間t充分大以后兩種群的密度將接近于正平衡位置C(x0，y0)。換言之，這個(gè)生態(tài)系統(tǒng)中兩種群將長(zhǎng)期生存下去，不會(huì)導(dǎo)致任何一種群的滅絕，從而保持了生態(tài)平衡。

但由于自然因素和其他因素，該種群自身的生老病死和人為捕殺以及受污染物的影響等，原來(lái)兩種群共有的平衡點(diǎn)狀態(tài)改變了，因此會(huì)出現(xiàn)某一種群滅絕的現(xiàn)象。為了生態(tài)平衡，我們應(yīng)該致力于生物種群的研究，討論同一環(huán)境下生活的諸多種群是否能夠持續(xù)生存下去，在什么情況下，至少有一種群會(huì)滅絕;在某種意義上來(lái)說(shuō)，持續(xù)生存也是一種生態(tài)平衡，讓人們把握好對(duì)自然界改造的程度，更加清楚地了解種群之間的關(guān)系，從而保持整個(gè)生態(tài)系統(tǒng)的平衡，保證種群的持續(xù)生存，構(gòu)建和諧的人與自然的關(guān)系。

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