唐平 付天貴

[摘 要]問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)特征，幾何直觀是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方式，利用圖形去分析和描述問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的直觀化表示是問(wèn)題解決的重要途徑。由問(wèn)題解決和幾何直觀的含義入手，分析得出小學(xué)五年級(jí)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀進(jìn)行問(wèn)題解決時(shí)存在感知、理解、把握和推理四個(gè)水平。

[關(guān)鍵詞]問(wèn)題解決；幾何直觀；存在性

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）08-0010-03

一、問(wèn)題解決的含義

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。”數(shù)學(xué)之所以成為鍛煉人們思維的“體操”，就是因?yàn)樗偸遣粩嗟靥岢鰡?wèn)題和解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決（Problem Solving）或稱解決問(wèn)題，是指利用某些方法和策略，使個(gè)人從初始狀態(tài)情境達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)情境的過(guò)程。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程是一個(gè)連續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的過(guò)程：首先是引發(fā)問(wèn)題，問(wèn)題是在一定的情境中引發(fā)的，并且對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)要具有一定的思考價(jià)值；其次是解決問(wèn)題，情境所引發(fā)的問(wèn)題按照一定的目標(biāo)，應(yīng)用各種認(rèn)知，經(jīng)過(guò)一系列的思維操作，使問(wèn)題得以解決。

問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)特征。我國(guó)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革非常重視學(xué)生問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)，把問(wèn)題解決（解決問(wèn)題）作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一，并提出要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，即通常所說(shuō)的“四能”。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的宏觀過(guò)程為：?jiǎn)栴}情境→轉(zhuǎn)換→尋求解法→求得解答。在轉(zhuǎn)換和尋求解法環(huán)節(jié)，幾何直觀被認(rèn)為是常用的方法和手段。

二、幾何直觀的含義

直觀是指人用感官直接接受的、直接觀察的，即人們接觸事物時(shí)，借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、想象等產(chǎn)生的對(duì)事物及其關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)。從狹義上理解，直觀是視覺(jué)化、形象化的，是通過(guò)對(duì)客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)。幾何直觀主要是利用圖形來(lái)描述和分析問(wèn)題，也就是通過(guò)圖形獲得的對(duì)所研究問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式的視覺(jué)化的、形象化的認(rèn)識(shí)。

20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特在名著《直觀幾何》一書(shū)中說(shuō)道：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)和描述研究問(wèn)題，能幫助我們尋求解決問(wèn)題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。”幾何直觀是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，通過(guò)圖形的直觀性質(zhì)，可以闡明數(shù)與數(shù)之間、形與形之間、數(shù)與形之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化和相互滲透，把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化和形象化，是探求數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要途徑。正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所言：幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們?cè)谡n題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。

三、幾何直觀能力水平的劃分

布魯姆（B.Bloom）、克拉斯沃爾（D.R.Krathwohl）等是較早研究教學(xué)目標(biāo)分類(lèi)的學(xué)者，他們?cè)诮梃b生物學(xué)動(dòng)植物分類(lèi)方法的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了目標(biāo)分類(lèi)理論。其中，認(rèn)知目標(biāo)分成識(shí)記、領(lǐng)會(huì)、應(yīng)用、分析、綜合及評(píng)價(jià)六種水平。我國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將課程目標(biāo)分為知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三個(gè)維度；另外，從學(xué)習(xí)角度出發(fā)，課程標(biāo)準(zhǔn)又將課程目標(biāo)分為結(jié)果性目標(biāo)和過(guò)程性目標(biāo)。結(jié)果性目標(biāo)分為了解、理解、掌握、運(yùn)用四個(gè)水平；過(guò)程性目標(biāo)用體驗(yàn)、經(jīng)歷、探索等動(dòng)詞來(lái)描述，顯然也存在水平差異。

艾倫·霍弗（Alan Hoffer） 研究了幾何課程中的認(rèn)知情況，指出其中存在5方面技能：視角方面技能、語(yǔ)言方面技能、繪圖方面技能、邏輯方面技能、應(yīng)用方面技能。這5方面技能對(duì)應(yīng)著5種能力，即視角技能→直觀能力、語(yǔ)言技能→口頭表達(dá)能力、繪圖技能→畫(huà)圖能力、邏輯技能→邏輯能力、應(yīng)用技能→運(yùn)用能力。顯然，Hoffer 所提出的幾何中的技能既是從不同角度去認(rèn)識(shí)的，同時(shí)又有水平劃分。

幾何直觀是學(xué)生運(yùn)用實(shí)物、符號(hào)、圖形描述問(wèn)題，以及認(rèn)知數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。幾何直觀存在不同的形式，可以劃分為不同水平。以布魯姆認(rèn)知分類(lèi)目標(biāo)理論和我國(guó)義務(wù)教育階段性結(jié)果目標(biāo)水平的劃分為基礎(chǔ)，根據(jù)幾何直觀的內(nèi)涵，結(jié)合Hoffer 對(duì)幾何中的技能水平的劃分，可以將幾何直觀能力水平劃分為感知、理解、把握、推理四個(gè)水平，建構(gòu)如下分析框架。

四、問(wèn)題解決中幾何直觀能力水平的存在性

1.測(cè)試工具

自編《幾何直觀能力水平測(cè)試卷》，對(duì)問(wèn)題解決中幾何直觀能力水平的存在性進(jìn)行分析。初試卷由4個(gè)問(wèn)題組成，每題5分，共20分，要求學(xué)生在20分鐘內(nèi)完成。第1題是通過(guò)畫(huà)圖理解實(shí)際問(wèn)題中的分?jǐn)?shù)，第2題是通過(guò)圖形模式去描述整數(shù)的運(yùn)算，第3題是對(duì)運(yùn)算法則的深入理解，第4題是對(duì)數(shù)據(jù)的分析與描述。前三題是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的內(nèi)容，明確要求畫(huà)圖說(shuō)明，第4題是統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容，要求用統(tǒng)計(jì)圖表去描述和解決問(wèn)題。試卷編制過(guò)程中，特別邀請(qǐng)了一線教師和研究員進(jìn)行編制和修改，以確保試題的效度。

2.工具的信度

試卷編制完成后，對(duì)重慶市某區(qū)小學(xué)五年級(jí)60名學(xué)生進(jìn)行預(yù)測(cè)，并邀請(qǐng)參與試卷編制的一位小學(xué)數(shù)學(xué)教師統(tǒng)一評(píng)分，然后利用SPSS.20對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理。各測(cè)試題中，學(xué)生的平均得分和對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差見(jiàn)表2。

在利用SPSS.20進(jìn)行信度分析時(shí)，先在模型框選擇Cronbach's Alpha系數(shù)，即α系數(shù)，然后在各題項(xiàng)之間選擇相關(guān)系數(shù)，置信區(qū)間和檢測(cè)值選擇系統(tǒng)默認(rèn)值，就得到各題項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)（如表3）：

測(cè)試卷的Cronbach′s Alpha系數(shù)為0.670，基于標(biāo)準(zhǔn)化項(xiàng)的Cronbach′s Alpha系數(shù)為0.693。從表3可以看出，第2題與第3、4題的相關(guān)性較低。第2題是有關(guān)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，測(cè)試學(xué)生運(yùn)用圖形直觀描述分?jǐn)?shù)的能力。從初試情況看，學(xué)生都能通過(guò)實(shí)物直觀建立實(shí)物與學(xué)習(xí)對(duì)象的對(duì)應(yīng)關(guān)系，說(shuō)明學(xué)生都能達(dá)到幾何直觀的感知水平，把該題編入測(cè)試卷意義不大。刪去該題，重復(fù)上述過(guò)程，計(jì)算出由第1、3、4題組成的測(cè)試卷的系數(shù)為0.788，基于標(biāo)準(zhǔn)化項(xiàng)的系數(shù)為0.818，這樣的測(cè)試卷信度較好。

3.測(cè)量結(jié)果

正式測(cè)試對(duì)象為重慶某區(qū)小學(xué)五年級(jí)學(xué)生（105人），其中城市學(xué)生60人，鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)生45人。為了減少測(cè)試卷對(duì)學(xué)生的影響，我們把測(cè)試內(nèi)容編入學(xué)生的單元測(cè)試中，讓學(xué)生在正常的課堂狀態(tài)下進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試題在單元測(cè)試卷中處于計(jì)算題的第2、3、4題。學(xué)生運(yùn)用直觀化策略解決各問(wèn)題的主要方法統(tǒng)計(jì)如下：

4.分析與討論

問(wèn)題解決時(shí)必須理解問(wèn)題情境中的具體關(guān)系，才能選擇適合的圖形去表示，這一能力水平稱為幾何直觀的理解水平。例如第2題是考查學(xué)生對(duì)整數(shù)及運(yùn)算法則的理解，通過(guò)畫(huà)圖，把客人數(shù)和所需要的不同的桌子數(shù)直觀表示出來(lái)，體現(xiàn)了學(xué)生的思維過(guò)程。從統(tǒng)計(jì)情況看，小學(xué)5年級(jí)學(xué)生基本上都能達(dá)到這一水平。

第3題是考查學(xué)生對(duì)小數(shù)和小數(shù)運(yùn)算法則的理解和描述。分析測(cè)試結(jié)果后發(fā)現(xiàn)，主要存在兩種情況：第一種是只運(yùn)算，沒(méi)能畫(huà)圖，這樣的學(xué)生有43人，占41%；第二種是通過(guò)畫(huà)線段圖來(lái)表示，這樣的學(xué)生有62人，占59%。畫(huà)線段圖時(shí)，有的學(xué)生能畫(huà)出整數(shù)部分，也有的學(xué)生能畫(huà)出小數(shù)部分，但都沒(méi)能正確用線段圖表示運(yùn)算法則。在問(wèn)題解決中，必須把握具體情境中數(shù)學(xué)對(duì)象的幾何屬性，只有掌握了對(duì)象的幾何屬性，問(wèn)題解決時(shí)才能正確進(jìn)行直觀表示，這一能力水平我們稱之為幾何直觀的掌握水平。從測(cè)試情況看，只有一半的學(xué)生達(dá)到該能力水平，造成這個(gè)現(xiàn)象有兩個(gè)方面的因素：一是小學(xué)數(shù)學(xué)教材通常是讓學(xué)生通過(guò)單位換算去認(rèn)識(shí)小數(shù)的，如人民幣1元5角可以表示為1.5元，從而引入小數(shù)，缺乏引入小數(shù)必要性的介紹以及怎么理解小數(shù)的直觀表示；另一方面是由于學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，教師往往只強(qiáng)調(diào)運(yùn)算而忽視對(duì)算理的直觀表示。

統(tǒng)計(jì)與概率這一題沒(méi)有明確要求學(xué)生用畫(huà)圖的方式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行描述，但學(xué)生必須運(yùn)用統(tǒng)計(jì)表或是統(tǒng)計(jì)圖對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述，然后回答問(wèn)題。學(xué)生解決問(wèn)題的方法主要有三種：一是放棄回答，有20人，占19%；二是通過(guò)觀察數(shù)據(jù)，選擇身高比較接近的5人作為答案，采用這種方式回答的有73人，占69%；三是沒(méi)有列表，但進(jìn)行了分段統(tǒng)計(jì)，具備用統(tǒng)計(jì)表描述問(wèn)題的思想，采用這種方法描述問(wèn)題的有12人，占11%。運(yùn)用幾何直觀進(jìn)行推理，是幾何直觀的推理水平。從測(cè)試結(jié)果看，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖，但缺乏運(yùn)用統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)、分析問(wèn)題的意識(shí)，主要是因?yàn)檎n程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)該部分的要求是給定統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖后能完成相應(yīng)的問(wèn)題，因此教材都是直接給出統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，這讓學(xué)生難以體會(huì)到運(yùn)用統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖去描述問(wèn)題的必要性。

在范希爾（Van Hiele）夫婦提出幾何思維模式后，學(xué)者們對(duì)幾何思維從不同層面進(jìn)行了研究，雖然不同學(xué)者對(duì)幾何思維水平的劃分不盡相同，但都證實(shí)了幾何思維水平層次的存在性。布格（Burger）和桑尼斯（Shaughnessy）認(rèn)為“數(shù)學(xué)思維既是連續(xù)的，也是動(dòng)態(tài)變化的，每一個(gè)水平都取決于對(duì)前一個(gè)水平的掌握”，證實(shí)了小學(xué)生問(wèn)題解決中幾何直觀水平的存在性，學(xué)生運(yùn)用幾何直觀進(jìn)行問(wèn)題解決時(shí)存在感知、理解、掌握和推理四個(gè)水平。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[2] 教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3] 安德森著.布盧姆教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)：分類(lèi)學(xué)視野下的學(xué)與教及其測(cè)評(píng)[M].蔣小平譯，北京：外語(yǔ)教學(xué)與研究出版社，2009.

[4] Alan Hoffer著，宗岳譯.幾何不僅限于證明[J].教學(xué)與研究，1982（3）.

[5] 史寧中，孔凡哲.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式[J].課程.教材.教法，2012（32）.

【本文系基金項(xiàng)目“2015年教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目——小學(xué)生幾何直觀能力的形成與發(fā)展研究”（項(xiàng)目編號(hào)：15YJC880076）的研究成果之一?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）