劉曉歡

(大連交通大學(xué)軟件學(xué)院，遼寧　大連　116052)

一、問題描述

在評選各類先進(jìn)人物的時候，經(jīng)常涉及投票的問題。一般各單位人員均傾向于本單位，領(lǐng)導(dǎo)也有一定的傾向性。但領(lǐng)導(dǎo)的傾向性跟一般成員有差異：當(dāng)指標(biāo)較少的時候，首先傾向于本單位，當(dāng)指標(biāo)相對多的時候，為了在整個部門有好印象，會將其中的部分票投向其它單位成員。當(dāng)候選人條件完全相同的時候，這種傾向性就顯得更重要。

某部門有四個下屬單位，各單位人數(shù)情況如下：

領(lǐng)導(dǎo)機(jī)構(gòu)甲乙丙丁人數(shù)2075453525領(lǐng)導(dǎo)傾向209632

(一)在某次評優(yōu)中，部門總共有2個指標(biāo)。負(fù)責(zé)人讓每個單位推薦2位候選人，然后從這8個人中通過投票選出2人。投票人在票上本人同意的人名下書寫數(shù)字1，2，表明支持這兩個人，1優(yōu)先，2次之。最后清點8個候選人所得數(shù)字之和，數(shù)字之和最小的兩位候選人當(dāng)選。假定每位候選人條件相同，這兩個指標(biāo)很大可能落入哪些單位？

(二)該部門為了體現(xiàn)公平，要求每位投票者只能填寫1個本單位人員，1位其它單位人員。按照這種辦法估計一下選舉結(jié)果。這種辦法是否提高了公平性。

(三)為了獲得更大的希望，某個單位只推舉1位候選人，這種做法是否真的有利，能否對結(jié)果產(chǎn)生影響。只考慮(1)單位甲推舉1人，其它3個單位推舉2人；(2)單位丙推舉1人，其它3個單位推舉2人。

(四)提出比較公正合理的選舉辦法。

二、模型的建立與求解

為使研究問題簡化，作如下假設(shè)：

1.每個單位推選的候選人是確定的。

2.假設(shè)投票過程中不支持那個人的不填的數(shù)字為3。

3.若領(lǐng)導(dǎo)參與投票，領(lǐng)導(dǎo)會優(yōu)先投票給本單位候選人，再考慮投票給其他單位人員。

4.若普通職員參與投票，該職員會選擇投票給本單位候選人。

5.各單位領(lǐng)導(dǎo)人數(shù)相同，各為5人，部門領(lǐng)導(dǎo)總計20人。

對于問題一，我們利用領(lǐng)導(dǎo)對各單位的傾向率針對各種情況分別進(jìn)行了概率統(tǒng)計及得分計算，繼而將對結(jié)果不產(chǎn)生影響的因素排除，從而將問題簡化。利用蒙特卡羅方法進(jìn)行計算機(jī)仿真模擬投票，借助MATLAB軟件畫出模擬投票結(jié)果的散點圖。然后通過圖像直觀清晰的看出各單位獲得指標(biāo)的可能性大小，進(jìn)而得出兩個指標(biāo)最可能落入甲單位的結(jié)論。

對于問題二，利用問題一的概率計算結(jié)果對新的選舉策略產(chǎn)生的投票結(jié)果進(jìn)行估計。該問題與問題一的區(qū)別是不能找到候選人來決定單位被授予指標(biāo)的結(jié)果。利用概率統(tǒng)計的方法分別計算出八位候選人對各個單位的投票率。然后，用蒙特卡羅方法進(jìn)行計算機(jī)仿真模擬投票，借助MATLAB軟件畫出模擬投票結(jié)果的散點圖。通過與問題一圖示的對比，可以看出約束投票去向這種選舉決策改變會帶來的公平性的提高。

對于問題三，將變換候選人數(shù)的兩種情況分情況考慮。將變換后的七位候選人對各個單位的投票率利用概率統(tǒng)計知識進(jìn)行更新計算。再利用蒙特卡羅方法進(jìn)行計算機(jī)仿真模擬投票，借助MATLAB軟件畫出模擬投票結(jié)果的散點圖。對比投票結(jié)果的分布圖，可以看出減少候選人的策略會有助于甲、丙單位在評優(yōu)中勝出。

對于問題四，采用了問題二的分析結(jié)果，并利用泰爾系數(shù)對前三個問題中選舉策略的公平性進(jìn)行了定量的衡量。然后，得出問題三的兩種方法會使公平性降低的結(jié)論。綜合對以上問題的分析，得到了一種比較公正合理的選舉方法是：首先，每個單位推舉兩位候選人；然后，這八位候選人按照問題一的方式投票選擇兩個指標(biāo)。

三、模型的評價與推廣

前三個問題，我們采用概率統(tǒng)計和蒙特卡羅方法對問題進(jìn)行建模求解。利用MATLAB工具進(jìn)行計算機(jī)仿真模擬投票過程，模擬次數(shù)不夠龐大，會存在一些偶然性和不確定性。這是我們求解過程中的不足之處。但畫出投票分布圖形的清晰度是不容忽視的。我們將模擬出的投票結(jié)果分布圖呈現(xiàn)在散點圖中，這樣就更直觀、清晰地觀察到結(jié)果。計算機(jī)仿真模擬方法為解決問題帶來了更大的實用性和便捷性。利用計算機(jī)的優(yōu)勢，我們解題的速度和對結(jié)果的分析變得更加快速。對于問題四，采用了問題二的分析結(jié)果，并使用泰爾系數(shù)對前三個問題中選舉策略的公平性進(jìn)行定量的衡量，并對各個策略的公平性進(jìn)行了對比。使用定量的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評判使得定性的結(jié)論更加具有說服力。綜合以上問題的分析得到了比較公平合理的選舉策略。

為了有效解決選舉中公平性問題，必須完善選舉制度，在選舉中引入公平競爭機(jī)制，通過競爭選舉的方式，可充分調(diào)動單位人員參與的積極性，使得那些得到普遍認(rèn)可的真正人才脫穎而出。隨著人們越來越追求與向往公平的體制，完善的、公平的選舉制度定會被越來越多的采用。

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