我們知道,概率是事件固有的屬性,可以通過大量重復(fù)的試驗(yàn)得到其近似值。隨機(jī)事件發(fā)生的概率是事件發(fā)生的可能性大小。概率大的事件在一次試驗(yàn)中也可能不發(fā)生,但在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生與否都是有可能的。為了讓大家在實(shí)際問題中理解這個(gè)概念,下面就一起來探討幾個(gè)問題。

問題1：相傳古代有個(gè)國(guó)家,由于崇尚迷信,世代沿襲著一條奇特的法規(guī)：凡是死囚,在臨刑時(shí)要抽一次“生死簽”,即在兩張小紙片上分別寫著“生”和“死”的字樣,由執(zhí)法官監(jiān)督,讓犯人當(dāng)眾抽簽,如果抽到“死”字的簽,則立即處死;如果抽到“生”字的簽,則當(dāng)場(chǎng)赦免。一次國(guó)王決定處死一個(gè)敢于“犯上”的大臣,為了不讓這個(gè)大臣得到半點(diǎn)獲得赦免的機(jī)會(huì),他與幾個(gè)心腹密謀,暗中叮囑執(zhí)法官,在兩張小紙片上都寫上“死”字。但最后“犯上”的大臣還是獲得赦免,你知道他是怎么做到的嗎?

若兩張小紙片上分別寫著“生”和“死”的字樣,那么“犯上”的大臣抽到“生”字或抽到“死”字都是隨機(jī)事件,大臣免死的機(jī)會(huì)是。而兩張小紙片上都寫著“死”字,大臣被處死就成了必然事件。法規(guī)規(guī)定兩張小紙片上分別寫著“生”和“死”的字樣,而事實(shí)上兩張小紙片上都寫著“死”字。大臣為了求生,只需將抽到的那張小紙片迅速吞下,而另一張沒有被抽到的小紙片上寫著“死”字,這樣就可以斷定大臣抽到并吞下的小紙片上寫的是“生”字,于是大臣可當(dāng)場(chǎng)被赦免。

問題2：有人說：“一個(gè)骸子擲一次得到點(diǎn)數(shù)為2的概率是,這說明一個(gè)骸子擲6次會(huì)出現(xiàn)一次點(diǎn)數(shù)為2。”對(duì)此說法,在同學(xué)中出現(xiàn)了兩種不同的看法：

一些同學(xué)認(rèn)為這種說法是正確的,他們的理由是：因?yàn)橐粋€(gè)骸子擲一次得到點(diǎn)數(shù)為2的概率是,所以一個(gè)骸子擲6次得到一次點(diǎn)數(shù)為2的概率P(“得到一次點(diǎn)數(shù)為2”1,即“一個(gè)骸子擲6次會(huì)出現(xiàn)一次點(diǎn)數(shù)為2”是必然事件,因此一定會(huì)發(fā)生。

還有一些同學(xué)認(rèn)為這種說法是錯(cuò)誤的,但是他們卻講不出理由來。

你認(rèn)為這種說法對(duì)嗎?請(qǐng)說出你的理由。

這種說法是錯(cuò)誤的。認(rèn)為說法正確的同學(xué),其計(jì)算概率的方法是錯(cuò)誤的。理由是：概率僅僅是反映一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小,并不是必然的結(jié)果。由此可見,認(rèn)為說法正確的同學(xué)并沒有真正理解隨機(jī)事件的概率的有關(guān)概念。

問題3：甲、乙兩人做游戲,規(guī)定：同時(shí)擲兩枚骸子,若出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù),則甲勝;若出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù),則乙勝。乙說：“點(diǎn)數(shù)之和為2,3,4,…,12,共11種結(jié)果,其中偶數(shù)有6個(gè),奇數(shù)有5個(gè),所以這個(gè)游戲是不公平的,甲獲勝的可能性要大些。”你認(rèn)為乙的說法對(duì)嗎?請(qǐng)說明理由。

乙的說法是不正確的。該游戲是公平的,擲兩枚骸子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和共有36種等可能結(jié)果(如表1)。

表1

由表1不難看出,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有18種,點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的結(jié)果也有18種,所以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)和點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率都是,故這個(gè)游戲是公平的。

問題4：某公司在過去幾年內(nèi)使用了某種型號(hào)的燈管1000支,該公司對(duì)這些燈管的使用壽命(單位：h)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2

(1)請(qǐng)?jiān)诒?中寫出各組的頻率。

(2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果,估計(jì)燈管使用壽命不足1500h的概率。

(1)各組的頻率(從上到下)依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042。

(2)樣本中使用壽命不足1500h的頻數(shù)是48+121+208+223=600,所以樣本中使用壽命不足1500h的頻率是,即燈管使用壽命不足1500h的概率約為0.6。

友情提醒:概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律,與我們平時(shí)所說的“可能”“估計(jì)”是不同的。也就是說,單獨(dú)一次結(jié)果的不肯定性與積累結(jié)果的規(guī)律性,才是概率意義下的“可能性”,而日常生活中的“可能”“估計(jì)”側(cè)重于某次結(jié)果的偶然性。

所謂估算法求概率,就是用頻率估計(jì)概率。要理解概率的兩個(gè)含義:①概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量,是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性,隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值。②由概率的定義可知,隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的,但隨機(jī)中含有規(guī)律性,而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映。