相對(duì)于古典概型來(lái)說(shuō),幾何概型將等可能發(fā)生的基本事件的個(gè)數(shù)從有限推廣到無(wú)限。那么幾何概型中常見(jiàn)的測(cè)度有哪些呢?下面就從三個(gè)方面舉例說(shuō)明如何認(rèn)清維度、分清測(cè)度,輕松破解幾何概型問(wèn)題。

一、一維幾何概率模型

測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型和測(cè)度為角度的幾何概型都涉及一個(gè)變量,是一維的,稱為一維模型(或區(qū)間模型)。

例1記函數(shù)的定義域?yàn)镈。在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是____。

分析：幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無(wú)限性,二是等可能性?；臼录臉?gòu)成可以是點(diǎn),盡管這些點(diǎn)是無(wú)限的,但它們所在的區(qū)域是有限的,因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率。

解：由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3。根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,可得x∈D的概率是

例2某地鐵站每隔8min就有一列車(chē)到站,假設(shè)一位乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是任意的,求該乘客的候車(chē)時(shí)間不超過(guò)5min的概率。

分析：由乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是任意的,可知試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性。

解：由乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是任意的,可知本題屬于幾何概型問(wèn)題。因?yàn)榈罔F站每隔8min就有一列車(chē)到站,所以總的基本事件所包含的時(shí)間長(zhǎng)度為8。乘客的候車(chē)時(shí)間不超過(guò)5min的事件包含的時(shí)間長(zhǎng)度為5。由幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為

例3如圖1所示,在△A B C中,∠B= 60°,∠C=45°,高在∠B A C內(nèi)作射線AM交B C于點(diǎn)M,求BM＜1的概率。

圖1

分析：總的基本事件Ω為“在∠B A C內(nèi)作射線AM”,事件A為“BM＜1”。射線AM在∠B A C內(nèi)是等可能分布的,當(dāng)AM與高A E重合時(shí),BM=B E=1,滿足BM＜1的射線AM應(yīng)在∠B A E內(nèi),可知測(cè)度為一維模型的角度。

解：由于總的基本事件Ω的測(cè)度為∠B A C=180°-(60°+45°)=75°,事件A的測(cè)度為∠B A E=90°-60°=30°,故所求概率

小結(jié):向區(qū)間[a,b]上任意投擲一點(diǎn),設(shè)區(qū)間[c,d]?[a,b],則點(diǎn)落在[c,d]內(nèi)的概率只與區(qū)間[c,d]的長(zhǎng)度成正比。令Ω=表示試驗(yàn)的所有可能結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域表示隨機(jī)事件,則所求概率

二、二維幾何概率模型

測(cè)度為面積的幾何概型涉及兩個(gè)變量,是二維的,稱為二維模型(或平面模型)。有些看似與“幾何”無(wú)關(guān)的問(wèn)題,如“取兩數(shù)問(wèn)題”“相遇問(wèn)題”等,其本質(zhì)還是幾何概型,且是二維模型。

例4在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),則兩數(shù)之和大于0.5且小于1.5的概率是多少?

分析：本題是在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),且兩個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的,屬于典型的二維平面問(wèn)題,測(cè)度為面積。

解：設(shè)在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機(jī)地取的兩個(gè)數(shù)分別為x,y,則0＜x＜1,0＜y＜1,其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖2所示。

圖2

正方形的面積為Ω=1×1=1。令“兩數(shù)之和大于0.5且小于1.5”為事件A,即0.5＜x+y＜1.5,由此可得陰影部分的面積為S=

例5甲、乙兩人相約8：00至8：30之間到汽車(chē)站乘車(chē),這段時(shí)間內(nèi)的8：15和8：30各發(fā)一班車(chē)。甲、乙兩人在8：00到8：30內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)車(chē)站都是等可能的。如果先到車(chē)站的人見(jiàn)車(chē)就上,求兩人能同乘一班車(chē)的概率。

分析：(1)分別用x和y表示甲、乙到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻,甲、乙兩人在8：00到8：30內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)車(chē)站都是等可能的。用A表示事件“兩人能同乘一班車(chē)”。

解：設(shè)分別用x和y表示甲、乙到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻,用Ω表示試驗(yàn)的所有可能結(jié)果,則Ω=,如圖3所示。

圖3

用A表示事件“兩人能同乘一班車(chē)”,則事件A={(x,y)|0≤x≤15,0≤y≤15}∪{(x,y)|15≤x≤30,15≤y≤30}。

小結(jié):向平面區(qū)域Ω上任意投擲一點(diǎn),設(shè)隨機(jī)事件的平面區(qū)域?yàn)锳,則點(diǎn)落在區(qū)域A中的概率只與區(qū)域A的面積成正比,而與A的位置和形狀無(wú)關(guān)。因此所求概率P(“點(diǎn)落在區(qū)域A”)

三、三維幾何概率模型

測(cè)度為體積的幾何概型稱為三維模型(或空間模型)。

例6如圖4所示,正方形A B C DA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,在正方體內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)M,求使四棱錐M-A B C D的體積小于的概率。

圖4

分析：在正方體內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)M,屬于三維模型,測(cè)度為體積。

解：設(shè)點(diǎn)M到平面A B C D的距離為h。

又因?yàn)檎襟wA B C D-A1B1C1D1的體積為1,所以所求概率為即使四棱錐M-A B C D的體積小于的概率為

小結(jié):向空間區(qū)域Ω內(nèi)任意投擲一點(diǎn),設(shè)隨機(jī)事件的空間區(qū)域?yàn)锳,則點(diǎn)落在區(qū)域A中的概率只與區(qū)域A的體積成正比,而與A的位置和形狀無(wú)關(guān)。因此所求概率P(“點(diǎn)落在區(qū)域A”)

結(jié)束語(yǔ)：解決幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍。當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn)且點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí),用長(zhǎng)度比(或角度比)計(jì)算;當(dāng)點(diǎn)的活動(dòng)范圍在平面區(qū)域時(shí),用面積比計(jì)算;當(dāng)點(diǎn)的活動(dòng)范圍在空間區(qū)域時(shí),用體積比計(jì)算。求解幾何概型問(wèn)題時(shí),要認(rèn)清測(cè)度,把握所求事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域,注意與代數(shù)、幾何等相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系,同時(shí)要掌握常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法。