趙　曼

(1.中國社會(huì)科學(xué)院研究生院， 北京　102488； 2.澳大利亞國立大學(xué), 堪培拉　ACT0200)

一、無差別原則

無差別原則是邏輯解釋確定初始概率的基本原則。古典概率論的基礎(chǔ)是伯努利(Jakob Bernoulli)的“不充足理由原則”(The Principle of Non-sufficient Reason)，即在某一條件下的任意一個(gè)隨機(jī)事件，我們?nèi)绻麤]有足夠的理由認(rèn)為他們其中的某些情況比另外的一些情況更有可能發(fā)生，那么就認(rèn)為它們應(yīng)該具有相等的概率。對(duì)于古典概率論的邏輯解釋就是依據(jù)此原則來確定基本事件的概率的。凱恩斯(John Maynard Keynes)將這一解釋的核心內(nèi)容稍加修正后稱為“無差別原則”(The principle of indifference)[1]。然而，有時(shí)使用這個(gè)原則會(huì)導(dǎo)致邏輯悖論的出現(xiàn)。拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)就給出了下面的例子：假定一位女士投擲硬幣，雖然不知道硬幣會(huì)偏向哪一面但是被告知硬幣是有偏向性的，現(xiàn)在要求這位女士說出投擲后這枚硬幣正面向上的概率[2]。由于她對(duì)這枚硬幣更可能哪一面向上的問題是完全不知道的，那么她根據(jù)無差別原則判斷出這個(gè)硬幣正面向上和反面向上的概率相等，均是1/2?？墒?，既然她已經(jīng)知道這枚硬幣是有偏向性的，那么她也可以判斷這枚硬幣正面向上的概率不是1/2。這兩種不同的思路就會(huì)帶來悖論，也就是說如果用P表示這枚硬幣正面向上的概率，那么我們就會(huì)有兩種相反的答案：P=1/2和P≠1/2。由無差別原則所導(dǎo)致的邏輯悖論層出不窮，而這些悖論被統(tǒng)稱為無差別原則悖論。如果要使用無差別原則來對(duì)概率的結(jié)論進(jìn)行測度，就不得不對(duì)產(chǎn)生的悖論進(jìn)行更多的思考。顏青山提到，根據(jù)不同的性質(zhì)對(duì)無差別原則悖論進(jìn)行區(qū)分：投擲硬幣的悖論等劃分為離散情形，貝特朗悖論、酒水悖論等劃分為連續(xù)情形[3]。下面我們將從兩個(gè)極具代表性的無差別原則悖論，即酒-水悖論和隨機(jī)弦悖論出發(fā)，審視同為連續(xù)情形的兩個(gè)悖論是否由于誤用了無差別原則而導(dǎo)致多解，同時(shí)分析在這兩個(gè)悖論下得到多解的本質(zhì)原因是否相同。

二、酒水悖論及其多解分析

酒水悖論是說，假設(shè)有一瓶酒和水的混合液體，對(duì)于這瓶混合液體我們只知道其中兩種液體的比值不會(huì)超過3∶1，至于兩者之間哪個(gè)多，哪個(gè)少以及其他的信息一概不知道。由此，我們能夠確定酒對(duì)于水的比例落在區(qū)間[1/3，3]，也就是說 1/3≤酒/水≤3，但是這個(gè)比例到底在區(qū)間的哪個(gè)點(diǎn)上，我們并沒有辦法確定。由無差別原則可得，酒對(duì)水的比例的概率是均勻地分布在[1/3，3]這個(gè)區(qū)間的。因此，酒對(duì)于水的比例不超過2的概率也是均勻分布在 [1/3，2] 區(qū)間的。于是，可以得到下面的式子：

同理，可以知道水對(duì)酒的比例也是在區(qū)間[1/3，3]，即1/3≤水/酒≤3，并且其概率也是均勻地分布在該區(qū)間。那么，水對(duì)酒的比例不小于1/2的概率均勻地分布在區(qū)間 [1/2，3]?？梢缘玫较旅娴氖阶樱?/p>

酒對(duì)水的比例在區(qū)間[1/3，3]不大于2和水對(duì)酒的比例在區(qū)間[1/3，3]不小于1/2描述的是同一個(gè)事件。但是，通過以上的分析可知，使用無差別原則得到的兩個(gè)概率值卻是截然不同的，顯然15/16≠5/8，這就產(chǎn)生了悖論。

接下來我們來分析所得概率值的錯(cuò)誤原因。當(dāng)計(jì)算酒對(duì)水的比例不超過2的概率時(shí)，得到公式1，其中分子2-1/3和分母3-1/3不能直接進(jìn)行比的運(yùn)算。因?yàn)榉肿臃帜付挤謩e是酒水比值的減法運(yùn)算，上下得到的兩個(gè)差值的基準(zhǔn)是不一樣的，因此對(duì)差值直接進(jìn)行比的運(yùn)算就是毫無道理的。研究的出發(fā)角度不同，就會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果，看似產(chǎn)生了悖論，實(shí)則酒水悖論中的兩個(gè)結(jié)果都是錯(cuò)誤的。如果想要正確地自始至終地運(yùn)用無差別原則，那么就要找到一個(gè)不變的基準(zhǔn)。筆者發(fā)現(xiàn)不管什么時(shí)候，V水+V酒=V這個(gè)等式都是不會(huì)發(fā)生變化的，因?yàn)椴还鼙壤绾嗡鼈兛偟捏w積是一瓶。也就是說隨著酒水比例的變化，它們相應(yīng)的體積也就發(fā)生了變化(此處討論的時(shí)候，假設(shè)的前提是它們的體積不會(huì)因?yàn)橄嗳荻沟肰發(fā)生微小的變化)。那么這個(gè)概率式子應(yīng)該是這樣的：

其中V水1表示的是酒∶水=1∶3時(shí)候的V水；V水2表示的是酒∶水=2∶1時(shí)候的V水；V水3表示的是酒∶水=3∶1時(shí)候的V水。通過上述形象的概率式子，不難發(fā)現(xiàn)如此的比值，分子分母是不能互相抵消掉V水的，因?yàn)橹挥蠽水+V酒=V是不變的，其他的都是變量，酒水在不同的比值下，作為參照的水的體積已經(jīng)發(fā)生了變化，那么在上式中，V水1≠V水2≠V水3是不能夠相互抵消的。所以說在區(qū)間內(nèi)，隨著酒水兩者比值的變化，V水在不斷發(fā)生變化。同理，水對(duì)酒的比例不小于1/2的概率得到的公式2的計(jì)算方法也是錯(cuò)誤的。

由以上兩種算法得到的兩個(gè)概率值均是不正確的，所以一直以來學(xué)者們認(rèn)為這是個(gè)悖論問題，實(shí)則兩個(gè)都是不正確的算法。筆者嘗試將這個(gè)問題的分析形象化，同時(shí)求得酒水問題正確的概率值。如圖1—圖4所示：首先酒和水的總體積V是不變的，并且兩種液體的比值不會(huì)超過3∶1，于是我們來討論酒對(duì)水的比例不超過2的時(shí)候體積V是如何分配和變化的。圖1表示的是，酒∶水的最小比例1∶3；圖2表示的是，酒∶水的比例2∶1；圖3表示的是，酒∶水的比例不超過2時(shí)可變化的體積Vx；圖4表示的是，酒∶水的最大比例3∶1。通過圖形，我們可以清楚地看到，酒的可變體積在Vx表示的范圍內(nèi)，一旦這個(gè)變化范圍內(nèi)的酒的體積確定了，那么隨之水的比例也就得以確定了。所以，筆者認(rèn)為由無差別原則可知，酒對(duì)水的比例在區(qū)間[1/3，3]時(shí)，酒的可變體積Vx在變化范圍 [1/4V，3/4V]是均勻無差別的，當(dāng)酒對(duì)于水的比例不超過2時(shí)，酒的可變體積Vx在變化范圍 [1/4V，2/3V]是均勻無差別的。

圖1 圖2 圖3 圖4

通過以上圖解，酒對(duì)于水的比例不超過2的概率可以得到：

我們得到了兩個(gè)相同的結(jié)果，5/6就是酒水問題正確的概率值。

酒水問題中通過運(yùn)用無差別原則得到了兩個(gè)不同的解，且得到的兩個(gè)解均是錯(cuò)誤的。導(dǎo)致多解錯(cuò)誤的本質(zhì)原因就是在運(yùn)用無差別原則的整個(gè)過程中，對(duì)酒水或水酒比例的概率運(yùn)用了無差別原則，雖然分子分母單獨(dú)拿出來討論時(shí)，酒水或水酒比例在區(qū)間內(nèi)都是均勻分布的，但是因?yàn)樗鼈儧]有選取到一個(gè)不變的基準(zhǔn)，所以在運(yùn)算的過程中將分子分母上不同的變量當(dāng)作同一變量進(jìn)行約分，就會(huì)得到一個(gè)看似正確實(shí)則錯(cuò)誤的答案，然后說兩個(gè)錯(cuò)誤的解產(chǎn)生了悖論就沒有意義了。筆者嘗試性地將不變的V作為基準(zhǔn)，且考慮到酒水或水酒的體積比在區(qū)間內(nèi)是均勻分布的，所以可以對(duì)Vx運(yùn)用無差別原則，從而得到正確且統(tǒng)一的答案。

三、貝特朗悖論及其多解分析

約瑟夫·路易斯·貝特朗(Joseph Louis Bertrand)在其著作中構(gòu)設(shè)了一個(gè)幾何概率悖論：“在一個(gè)圓內(nèi)任意選一條弦，這條弦的弦長長于這個(gè)圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率是多少？”[4]貝特朗就提出的這個(gè)問題從3個(gè)可行的角度給出了3個(gè)不同的概率值。下面我們就貝特朗給出的3種經(jīng)典的解進(jìn)行逐個(gè)分析，并對(duì)存在的其他的解舉一例來分析(圖5—圖7)。

圖5 圖6 圖7

第一種答案，從端點(diǎn)方面來思考，如圖5所示。從圓周上選取的兩個(gè)端點(diǎn)來繪制連接為弦。通過想象，內(nèi)接等邊三角形不停地旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它的頂點(diǎn)與其中一條弦的一端重合，另一端位于三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)之間的圓弧上時(shí)構(gòu)成的弦比三角形的邊長長。也就是圓內(nèi)接等邊三角形的夾角為60°，那些弦長長于內(nèi)接等邊三角形邊長的弦一定都落在了三角形頂角的60°范圍內(nèi)。而從頂點(diǎn)出發(fā)落于頂角以外的弦的弦長都比等邊三角形的邊長要短。我們沒有理由說明從三角形頂點(diǎn)出發(fā)的弦的另一端點(diǎn)在圓周上的某一個(gè)點(diǎn)而不是其他點(diǎn)，所以應(yīng)用無差別原則可以得到(是弦與圓切線的夾角)：

公式6：P1=P(60°<θ<120°)=60°/180°=1/3

Martin設(shè)計(jì)了試驗(yàn)驗(yàn)證第一種答案的概率值[5]。任取一個(gè)圓，在圓的中心點(diǎn)位置固定一個(gè)類似于轉(zhuǎn)盤樣子的微調(diào)器，將兩個(gè)分別獨(dú)立旋轉(zhuǎn)的結(jié)果標(biāo)記，作為弦的兩個(gè)端點(diǎn)；然后將實(shí)驗(yàn)結(jié)果記錄；計(jì)算記錄下的結(jié)果，滿足的弦得到的概率值是趨近于1/3。

在這種解法中，先固定一點(diǎn)作為弦的一端，然后在圓周上隨機(jī)選取另外一點(diǎn)作為弦的另一端。陳作清將此方法擴(kuò)展后提出，兩個(gè)端點(diǎn)在圓上均是隨機(jī)地進(jìn)行選擇，通過幾何計(jì)算仍舊可以得到1/3的概率[6]。得到P1概率值的前提是將弦的兩個(gè)端點(diǎn)確定弦作為隨機(jī)弦的選取方式，也就是滿足條件的弦的另一端的范圍所在的弧長是圓周長的1/3，該種解法其本質(zhì)是“隨機(jī)端點(diǎn)”即對(duì)端點(diǎn)在圓周上分布運(yùn)用了無差別原則。

第二種答案，從半徑方面來思考，如圖6所示。在圓的一條半徑上隨機(jī)選擇一個(gè)點(diǎn)，過該點(diǎn)構(gòu)造一條垂直于此半徑的弦，改點(diǎn)即是弦中點(diǎn)。圓內(nèi)弦長長于內(nèi)接等邊三角形邊長的那些弦的中點(diǎn)到該圓圓心的距離要小于該圓半徑的一半，弦中點(diǎn)到圓心距離來看，上、下半圓內(nèi)分別可以劃分出兩部分1/2R的區(qū)域(圓半徑為R)。當(dāng)弦中點(diǎn)到圓心的距離大于1/2R時(shí)的弦的弦長均小于內(nèi)接等邊三角形的邊長。我們無法說明弦的中點(diǎn)在半徑的某一點(diǎn)上而不在其他點(diǎn)上，根據(jù)無差別原則可以得到：

Edwin T.Jaynes給出了一個(gè)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證第二種答案的概率值[7]。將一個(gè)直徑5英寸的圓畫在地板上，然后從某個(gè)固定的點(diǎn)將掃把枝隨機(jī)地拋擲，對(duì)128次成功拋擲的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，在誤差允許的范圍內(nèi)得出的概率值為1/2。

在這種解法中，先要選取一條半徑，然后在半徑上任取一點(diǎn)作為弦中點(diǎn)。得到概率值的前提是將用弦中點(diǎn)確定弦的方式作為隨機(jī)弦的選取方式，其本質(zhì)是“隨機(jī)半徑”即對(duì)弦中點(diǎn)在半徑上隨機(jī)分布運(yùn)用了無差別原則。

第三種答案，從弦中點(diǎn)方面來思考，如圖7所示。在大圓內(nèi)任意選取一個(gè)點(diǎn)作為弦的中點(diǎn)。在大圓的內(nèi)接等邊三角形內(nèi)再畫出一個(gè)三角形的內(nèi)接圓，分別與三角形三邊相交。由數(shù)學(xué)知識(shí)我們可以得到這兩個(gè)圓是同心圓，且小圓的半徑為1/2R即大圓半徑的一半(大圓半徑為R)。當(dāng)弦中點(diǎn)在小圓內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的那些弦的弦長長于等邊三角形的邊長。反之，當(dāng)弦中點(diǎn)在小圓外時(shí)，弦長必然小于邊長。我們沒有理由說弦的中點(diǎn)落在小圓內(nèi)的某一點(diǎn)而不是其他的點(diǎn)，所以依據(jù)無差別原則可以得到：

Martin用試驗(yàn)來驗(yàn)證第三種答案的概率值[5]。在材質(zhì)上畫出一個(gè)圓，將整個(gè)圓用蜜糖覆蓋，從而引得蒼蠅隨機(jī)地落在蜜糖范圍內(nèi)。蒼蠅首次落下的點(diǎn)作為一條弦的弦中點(diǎn)。反復(fù)記錄后，整理計(jì)算滿足條件的弦長出現(xiàn)的概率，得到的概率值是趨近于第三種答案的1/4。

在這種解法中，不作任何假設(shè)，直接任取一點(diǎn)作為弦中點(diǎn)。得到P3概率值的前提是將弦的中點(diǎn)在大圓內(nèi)隨機(jī)分布等價(jià)為隨機(jī)弦的選取方式，其本質(zhì)是“隨機(jī)中點(diǎn)”即對(duì)弦中點(diǎn)運(yùn)用了無差別原則。

通過分析，我們可以發(fā)現(xiàn)貝特朗在悖論中給出的3種經(jīng)典答案均得到了可操作性的真實(shí)實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，且3種答案在各自運(yùn)算的過程中從不同方面分別運(yùn)用了無差別原則。

陳曉平[8]在吉利斯[7]對(duì)使用無差別原則提出限制條件的觀點(diǎn)上進(jìn)一步給出了線性無差別條件：如果參數(shù)θ在一個(gè)區(qū)間的概率分布是無差別的，且Φ=f(θ)是一次函數(shù)，那么可以得到Φ在相應(yīng)的區(qū)間的概率分布也是無差別的。我們從圖像上就可以更清晰地看到：如圖8所示，當(dāng)θ在橫坐標(biāo)的區(qū)間[a，b]勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，它投射到任何一條斜線上的點(diǎn)在相應(yīng)的區(qū)間[a，b]也是勻速運(yùn)動(dòng)的，如果投射到的不是斜線而是曲線上的話，如圖9所示，在曲線上的動(dòng)點(diǎn)就不再是勻速運(yùn)動(dòng)了。所以，要想θ和f(θ)使用無差別原則就需要它們之間的關(guān)系是線性的。

圖8 圖9

按照陳曉平的觀點(diǎn)，在第一種答案里，除三角形頂點(diǎn)外的另一弦端點(diǎn)與頂點(diǎn)處圓切線的夾角形成的角度和弦中點(diǎn)到圓心的距離之間是三角函數(shù)關(guān)系，不是一階線性的，所以該答案的計(jì)算錯(cuò)誤地運(yùn)用了無差別原則。而在第三種答案里，弦中點(diǎn)到圓心的距離與其中點(diǎn)分布的圓的面積之間是二階的函數(shù)關(guān)系，也不是一階線性的，所以也是錯(cuò)用了無差別原則而得到的錯(cuò)誤答案。筆者認(rèn)為其實(shí)不然，3種答案分別是將無差別原則運(yùn)用于端點(diǎn)在圓周上分布時(shí)、弦中點(diǎn)在半徑上分布時(shí)、弦中點(diǎn)在圓內(nèi)分布時(shí)得到的。分別運(yùn)用無差別原則時(shí)均沒有產(chǎn)生錯(cuò)誤，所以導(dǎo)致貝特朗悖論的本質(zhì)原因并不是無差別原則的錯(cuò)誤運(yùn)用。那么究竟是什么導(dǎo)致的悖論呢？其實(shí)，是對(duì)所提出的問題審讀時(shí)對(duì)隨機(jī)選取弦的方式理解不同才導(dǎo)致了不同的結(jié)果，即前提不同。P1值時(shí)，端點(diǎn)是隨機(jī)分布的，但此時(shí)對(duì)應(yīng)的弦在圓內(nèi)分布卻是不均勻的。P2值時(shí)，弦在圓內(nèi)是隨機(jī)分布的。P3值時(shí)，弦中點(diǎn)是隨機(jī)分布的但此時(shí)對(duì)應(yīng)的弦在圓內(nèi)分布卻是不均勻的。筆者對(duì)于貝特朗悖論多解下隨機(jī)分布的情況將另行討論，此處集中討論應(yīng)用無差別原則導(dǎo)致的相關(guān)悖論問題。

對(duì)于貝特朗悖論的研究，有很多學(xué)者從不同角度給出了多種答案，現(xiàn)分析其中一例(圖10)。

圖10

圖11

對(duì)于第四種答案提出的多種模型以及第五種答案，均是通過降維，用一維線段長度來計(jì)算。這類算法是對(duì)問題的過度抽象，這導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的實(shí)際模型會(huì)有無數(shù)種情況，所以計(jì)算結(jié)果已經(jīng)完全脫離了題目本身在二維坐標(biāo)下構(gòu)建模型的含義，再討論是否合理地運(yùn)用了無差別原則也就顯得沒有意義了。這是完全不同于原有的3種經(jīng)典解答的，經(jīng)典的3種解答都正確運(yùn)用了無差別原則，也都分別從自身角度解釋了自己對(duì)隨機(jī)弦的理解，雖然答案不一樣，產(chǎn)生了悖論，但每一種答案都對(duì)應(yīng)了一個(gè)準(zhǔn)確的概率值，可以用實(shí)際實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬驗(yàn)證。第一種算法的1/3對(duì)應(yīng)的是：弦的兩個(gè)端點(diǎn)在圓周上是隨機(jī)無差別分布的“隨機(jī)弦”概率值；第二種算法的1/2對(duì)應(yīng)的是：目前學(xué)者們普遍認(rèn)為的弦在圓內(nèi)隨機(jī)無差別分布的隨機(jī)弦概率值；第三種算法的1/4對(duì)應(yīng)的是：弦中點(diǎn)在圓內(nèi)隨機(jī)無差別分布的“隨機(jī)弦”概率值。雖然產(chǎn)生了悖論，但是學(xué)者們爭論的焦點(diǎn)在于何為隨機(jī)弦，當(dāng)隨機(jī)弦的定義得到統(tǒng)一和廣泛認(rèn)可后，悖論自然就會(huì)消除。筆者的分析對(duì)于無差別原則的重新認(rèn)識(shí)有一定的啟發(fā)，可以鞏固使用無差別原則的合理性。

四、結(jié)束語

概率的邏輯解釋是以無差別原則作為基本原則來確定初始的概率。對(duì)于無差別原則相關(guān)的悖論研究有利于鞏固概率邏輯解釋的基礎(chǔ)。本文對(duì)無差別原則悖論中的酒水悖論和貝特朗悖論的多解進(jìn)行分析解讀，詮釋酒水問題是由于在運(yùn)用無差別原則時(shí)沒有前后統(tǒng)一的一個(gè)不變的基準(zhǔn)而導(dǎo)致的悖論。而貝特朗問題其本質(zhì)并不是由于錯(cuò)用無差別原則導(dǎo)致的悖論，而是對(duì)原有問題轉(zhuǎn)化為不同算法時(shí)采用了不同的前提假設(shè)。對(duì)于貝特朗悖論中，無論是經(jīng)典的3種算法給出的各自對(duì)應(yīng)的隨機(jī)分布，還是第四、五種答案中轉(zhuǎn)化采用的降至一維的解法等，其產(chǎn)生悖論的本質(zhì)都不應(yīng)該是對(duì)無差別原則的質(zhì)疑，不論是在這5種算法還是在延伸的更多的算法中，都少不了對(duì)原有問題的轉(zhuǎn)化。將問題轉(zhuǎn)化確定后，在計(jì)算過程中正確運(yùn)用無差別原則的前提下，還需要確定在同一個(gè)前提下的相關(guān)量之間如何進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)化，而不能反復(fù)多次對(duì)不同的參數(shù)濫用無差別原則。貝特朗悖論的解決關(guān)鍵在于如何對(duì)隨機(jī)弦定義進(jìn)行統(tǒng)一，當(dāng)弦的隨機(jī)選取被統(tǒng)一和廣泛認(rèn)可后，會(huì)避免在轉(zhuǎn)化過程中誤用或?yàn)E用無差別原則等很多問題，悖論也就隨之消失。本文是對(duì)這類悖論的剖析，是從結(jié)果出發(fā)，發(fā)現(xiàn)悖論產(chǎn)生的本質(zhì)原因，并圍繞無差別原則在整個(gè)計(jì)算過程中的合理性進(jìn)行分析。本研究對(duì)無差別原則的重新認(rèn)識(shí)以及對(duì)鞏固概率邏輯解釋的基礎(chǔ)都有一定意義。

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