陳　明　彭慧丹　季春元　吳耀文

(湖北中醫(yī)藥高等專科學校　湖北　荊州：434020)

0　引言

考試作弊是一種常見社會現(xiàn)象，對這種行為需要進行一定程度的定量分析，這樣有利用教學管理。但是作弊行為是一種敏感問題，如果要對這些行為進行調查，被調查者一般都會有所顧忌，即便采用無記名調查，被調查者很有可能回避或是故意做出錯誤回答，這樣調查數(shù)據(jù)會失去很大程度上的真實性。因而設計一種調查方案，既能提高回答率又能降低虛假回答率顯得十分必要。

本文提出的調查方案有兩個基本出發(fā)點：首先，被調查者從是否作弊的若干問題中隨機選擇回答一個。其次，調查者也不知道被調查者回答的是哪個問題。這樣既能保護被調查者個人隱私，又能讓其對所選擇問題真實回答。

1　作弊行為調查模型

1.1　作弊行為調查方案

首先準備若干張外形完全相同的卡片，每張卡片上印有1，2，3，…，m某一位數(shù)字，印有數(shù)字為k的卡片占總卡片的比例為PK(k=1，2，3，…，m)，且Pk不完全相同。接著被調查者隨機抽取卡片一張，易知其抽到數(shù)字為k的概率為pK，若被調查者考試中有作弊行為，則回答m+1與其抽取數(shù)字之差；相反被調查者考試中沒有作弊行為，則回答抽取的數(shù)字。

1.2　作弊行為調查分析

為便于數(shù)學分析，引入變量xi(i=1，2，3，…，n)并且設

設λ=P(xi=m+1)為被調查者的作弊概率。

設變量yi為第i名被調查者抽到卡片上的數(shù)字，易知yi(i=1，2，3，…，n)是獨立同分布的且也與xi互相獨立。

根據(jù)調查方案可知，第i名被調查者所回答的數(shù)字為ui=yi-xi，易知1≦ui≦m。

設nk為回答數(shù)字為k的人數(shù)(n1+n2+…+nm=n)，顯然當ui=1，即回答數(shù)字為1時，由全概率公式可得

P(ui=1)=(1-λ)P1+λPm+1-1

(1)

推廣可知，當ui=k，可得

P(ui=k)=(1-λ)Pk+λPm+1-k

(2)

則ui的數(shù)學期望為

(3)

E(ui)=λ(m+1-2E(yi))+E(yi)

(4)

進一步求ui的方差為

D(ui)=D(yi)+λ(1-λ)(m+1-2E(yi))2

(5)

(6)

(7)

這里A是指該敏感問題(作弊行為調查)直接調查時產(chǎn)生的方差，B是指被調查者隨機選取問題(卡片)產(chǎn)生的方差。

2　應用示例

假設被調查者總人數(shù)n=500，m=6，即卡片上數(shù)字k=1，2，…，6，相應占總卡片比例為

P1=0.5,P2=0.3,P3=0.1,P4=0.03,P5=0.04,P6=0.03。

被調查者回答數(shù)字1，2，…，6的人數(shù)分別是n1=196,n2=116,n3=50,n4=50,n5=48,n6=40。由此計算：

并代入式(6)與(7)，可知有作弊行為比例估計值

其相應的方差

若精度設為1倍標準差，則有作弊行為比例為19.25±2.33%；若精度設為2倍標準差，則有作弊行為比例為19.25±4.66%。

3　說明

[1]姜啟源,謝金星,邢文訓,等.大學數(shù)學實驗[M].第二版.北京：清華大學出版社，2012.

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