許成謙, 曹　琦

(燕山大學信息科學與工程學院, 河北 秦皇島 066004)

0　引　言

基于低/無碰撞區(qū)(low hit zone/ no hit zone,LHZ/NHZ)跳頻序列的準同步組網(wǎng)的跳頻碼分多址系統(tǒng)是一種性能優(yōu)越的跳頻通信方式,與傳統(tǒng)的跳頻通信方式相比,具有更低的多址干擾以及抗多徑干擾能力。LHZ/NHZ跳頻序列的優(yōu)劣對跳頻碼分多址系統(tǒng)的性能有著決定性的影響,所以,設(shè)計出性能良好的LHZ/NHZ跳頻序列一直是研究跳頻碼分多址系統(tǒng)的重要方向之一。近年來,學者們分別在構(gòu)造NHZ跳頻序列[1-3]與LHZ跳頻序列[4-9]方面取得了大量的研究成果。

在實際系統(tǒng)中,跳頻信號除存在傳輸時延外,還可能發(fā)生頻率偏移。特別是像雷達等系統(tǒng)在高速運動的情況下,傳輸信號的頻率可能發(fā)生偏移,跳頻序列的頻隙可能移位至其他頻隙,導致與其他跳頻序列發(fā)生碰撞,影響通信質(zhì)量。所以,有必要將只考慮時延的一維碰撞區(qū)擴展到同時考慮時延頻移的二維碰撞區(qū)。文獻[10]首先考慮了跳頻序列包含頻移的漢明相關(guān)性,用Reed-Solomon (RS)跳頻序列作為實例進行分析。文獻[11]設(shè)計出了基于Costas序列的跳頻序列,根據(jù)實際系統(tǒng)可能出現(xiàn)的最大多普勒頻移,利用循環(huán)移位法獲得含有一個間隙列和一個間隙行的序列族來設(shè)計正交頻分復用系統(tǒng)的跳頻序列。文獻[12]提出了時頻二維無碰撞區(qū)跳頻序列的概念,并推導出了此類跳頻序列的理論界,設(shè)計出了時頻二維無碰撞區(qū)跳頻序列集。文獻[13]給出了跳頻序列由時頻低碰撞區(qū)邊長值、時頻二維移位漢明相關(guān)值、頻隙個數(shù)、序列的長度、序列的個數(shù)構(gòu)成的理論界。文獻[14]分別基于Welch Costas陣列和Golomb Costas陣列構(gòu)造出了兩種滿足理論界的時頻二維低碰撞區(qū)跳頻序列集。文獻[15]研究了跳頻序列集時頻最大周期漢明相關(guān)值的理論界,分析了Cai跳頻序列集和多項式同余法構(gòu)造的跳頻序列集的時頻二維周期漢明相關(guān)性。

本文首先證明了RS碼的時頻二維周期漢明自相關(guān)函數(shù)的上界,為后續(xù)的構(gòu)造提供了理論基礎(chǔ);此后,提出了兩種時頻二維低/無碰撞區(qū)跳頻序列集的構(gòu)造方法。第一種方法基于RS碼來構(gòu)造時頻二維周期低碰撞區(qū)跳頻序列集,同時,構(gòu)造出的跳頻序列集也為時頻二維非周期低碰撞區(qū)跳頻序列集。第二種方法利用矩陣來構(gòu)造時頻二維非周期無碰撞區(qū)跳頻序列集。

1　基本概念

(1)

式中

當s1=s2時,Hs1s1(τ,v)稱為s1的時頻二維周期漢明自相關(guān)函數(shù),當s1≠s2時,Hs1s2(τ,v)稱為s1和s2的時頻二維周期漢明互相關(guān)函數(shù)。

下面給出時頻二維非周期漢明相關(guān)函數(shù)的概念。

(2)

式中

文獻[1]和文獻[4]分別給出了一維漢明相關(guān)函數(shù)下具有無碰撞區(qū)和低碰撞區(qū)的跳頻序列概念。下面給出時頻二維漢明相關(guān)函數(shù)下具有無碰撞區(qū)和低碰撞區(qū)的跳頻序列概念。

0≤τ≤TA,0≤v≤VA,(τ,v)≠(0,0)}}

(3)

0≤τ≤TA,0≤v≤VA,(τ,v)≠(0,0)}}

(4)

0≤τ≤TC,0≤v≤VC,k≠l}}

(5)

0≤τ≤TC,0≤v≤VC,k≠l}}

(6)

Lt=min{LAt,LCt},Lf=min{LAf,LCf}

(7)

若(Lt,Lf)≠(0,0),則稱區(qū)間[0,LAt]×[0,LAf]為S的時頻二維周期自相關(guān)低碰撞區(qū),稱區(qū)間[0,LCt]×[0,LCf]為S的時頻二維周期互相關(guān)低碰撞區(qū),稱區(qū)間[0,Lt]×[0,Lf]為S的時頻二維周期低碰撞區(qū),稱S為(q,L,M,Lt,Lf,Ha(S),Hc(S))時頻二維周期低碰撞區(qū)跳頻序列集。

為簡化起見,在下面的討論中,令Ha=Ha(S),Hc=Hc(S),Hm=max{Ha,Hc}。

特殊地,當Ha=Hc=0時,稱S的低碰撞區(qū)為S的無碰撞區(qū),用符號Z表示。此時,稱區(qū)間[0,ZAt]×[0,ZAf]為S的時頻二維周期自相關(guān)無碰撞區(qū),稱區(qū)間[0,ZCt]×[0,ZCf]為S的時頻二維周期互相關(guān)無碰撞區(qū),稱[0,Zt]×[0,Zf]為S的時頻二維周期無碰撞區(qū),稱S為(q,L,M,Zt,Zf)時頻二維周期無碰撞區(qū)跳頻序列集。

0≤τ≤TA,0≤v≤VA,(τ,v)≠(0,0)}}

(8)

0≤τ≤TA,0≤v≤VA,(τ,v)≠(0,0)}}

(9)

0≤τ≤TC,0≤v≤VC,k≠l}}

(10)

0≤τ≤TC,0≤v≤VC,k≠l}}

(11)

(12)

設(shè)GF(q)為q階有限域,q=pm,p為素數(shù),m為正整數(shù),α是GF(q)的本原元,以多項式g(x)=(x-α)(x-α2)…(x-α2t)(t>0)生成多項式的循環(huán)碼稱為GF(q)上的RS碼。RS碼的碼長為q-1,信息位數(shù)為q-2t-1。

2　性質(zhì)

定理1給出了RS碼碼字時頻二維周期漢明自相關(guān)函數(shù)的上界,即RS碼碼字與其時頻二維移位碼字碰撞次數(shù)的上界。

定理1設(shè)s為GF(q)上信息位數(shù)為b的RS碼的碼字,則s的時頻二維周期漢明自相關(guān)函數(shù)不大于b-1,即Hss(τ,v)≤b-1。

證明

設(shè)s=(n(1),n(α),n(α2),…,n(αq-2)),則

(13)

令αi=x,根據(jù)漢明相關(guān)函數(shù)的特點知,式(13)的值等于式(14)根的個數(shù)。

n(x)-n(ατx)-v=0

(14)

因為n(x)是b-1次多項式,所以式(14)在GF(q)上最多有b-1個根,因此

Hss(τ,v)≤b-1

(15)

證畢

定理1指出RS碼碼字的二維漢明相關(guān)函數(shù)的上界是RS碼的信息位數(shù)減1,因此為了使得碼子二維漢明相關(guān)函數(shù)性小，需要采用信息位數(shù)小的RS碼。

證明從S中任意選取序列sk和sl,k,l=0,1,…,M-1,其時頻二維非周期漢明相關(guān)函數(shù)為

(16)

(17)

(18)

即

(19)

證畢

定理2給出了形成跳頻序列集時頻二維非周期無碰撞區(qū)的充分條件,從該條件可以得到判斷跳頻序列集時頻二維非周期無碰撞區(qū)大小的有效方法。

3　構(gòu)造

3.1　時頻二維周期低碰撞區(qū)跳頻序列集的構(gòu)造方法

構(gòu)造方法具體如下:

步驟1從C中選取M個碼字sk,k=0,1,…,M-1,其中sk的信息向量為

nk=(1+k(Lf+1),α1+k(Lt+1))

(20)

式中,α是GF(q)的本原元。

步驟2將選取的每個碼字看作一個跳頻序列,構(gòu)成跳頻序列集S={sk}。其中,k=0,1,…,M-1。

定理3構(gòu)造方法1所構(gòu)造出的序列集S為(q,q-1,M,Lt,Lf,1,1)時頻二維周期低碰撞區(qū)跳頻序列集。

證明由構(gòu)造方法1構(gòu)造的跳頻序列集頻隙個數(shù)為q,序列長度為q-1,序列數(shù)目為M且M≥2,下面證明低碰撞區(qū)為[0,Lt]×[0,Lf]。

(1) 討論自相關(guān)性

對于?sk∈S,由構(gòu)造方法1知,sk是RS碼中的碼字,由定理1知,對(τ,v)≠(0,0),有

Hsksk(τ,v)≤1

(21)

即S中序列的時頻二維周期漢明自相關(guān)函數(shù)皆小于等于1。

(2) 討論互相關(guān)性

設(shè)sk,sl分別是信息向量nk,nl對應(yīng)的RS碼碼字, 其中nk=(1+k(Lf+1),α1+k(Lt+1));nl=(1+l(Lf+1),α1+l(Lt+1))(k≠l),則sk=(nk(1),nk(α),nk(α2),…,nk(αq-2)),sl=(nl(1),nl(α),nl(α2),…,nl(αq-2))∈S。

sk和sl的時頻二維周期漢明互相關(guān)函數(shù)為

(22)

根據(jù)漢明相關(guān)函數(shù)的特點知,式(22)的值等于式(23)根的個數(shù)。

nk(αi)-nl(αi+τ)-v=0

(23)

令αi=x,由式(20)知式(23)為

1+k(Lf+1)+α1+k(Lt+1)x-

[1+l(Lf+1)+α1+l(Lt+1)+τx+v]=0

(24)

即

(α1+k(Lt+1)-α1+l(Lt+1)+τ)x+(k-l)(Lf+1)-v=0

(25)

當(τ,v)∈[0,Lt]×[0,Lf]時,因為1+k(Lt+1)-[1+l(Lt+1)+τ]=(k-l)(Lt+1)-τ≠0,所以α1+k(Lt+1)-α1+l(Lt+1)+τ≠0,此時式(25)為一次多項式,即式(25)在GF(q)上最多有1個根,因此

Hsksl(τ,v)≤1((τ,v)∈[0,Lt]×[0,Lf])

(26)

證畢

3.2　時頻二維非周期無碰撞區(qū)跳頻序列集構(gòu)造

構(gòu)造方法2取頻隙集合F={0,1,…,q-1},其中

(27)

構(gòu)造方法具體如下:

(28)

(29)

(30)

式中,T表示轉(zhuǎn)置。

(31)

式中,T表示轉(zhuǎn)置。

證明

(1) 證明頻隙總數(shù),序列長度的值

由式(27)和i、j、k的取值范圍知,構(gòu)造的跳頻序列的元素取自F,因此頻隙總數(shù)為

證畢

4　構(gòu)造實例

4.1　構(gòu)造方法1實例

設(shè)C為有限域GF(11)上的RS碼,C的信息位數(shù)b=2,碼長L=10,令Lt=1,Lf=1,則M1=4,M2=4,M=4。2為GF(11)上的一個本原元。從C中選取4個碼字sk(k=0,1,2,3),其中，sk(k=0,1,2,3)的信息向量分別為n0=(1,2),n1=(3,23),n2=(5,25),n3=(7,27),則

s0=(3,5,9,6,0,10,8,4,7,2)

s1=(0,8,2,1,10,6,9,4,5,7)

s2=(4,3,1,8,0,6,7,9,2,10)

s3=(3,10,2,8,9,0,4,1,6,5)

將選取的每個碼字sk(k=0,1,2,3)看作一個跳頻序列,這4個跳頻序列構(gòu)成的集合S={sk}是參數(shù)為(11,10,4,1,1,1,1)的時頻二維周期低碰撞區(qū)跳頻序列集。

S中跳頻序列的時頻二維周期漢明自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)分別取值為

式中,k≠l且k,l=0,1,2,3;λ為不小于0的整數(shù)?？梢钥闯鱿嚓P(guān)函數(shù)的峰值為10,時頻二維周期低碰撞區(qū)為[0,1]×[0,1]。

4.2　構(gòu)造方法2實例

式中,i=0,1;k=0,1,2。

(2) 構(gòu)造3×3階矩陣A0、A1,表示為

(3) 構(gòu)造3×3階矩陣A2，表示為

(4) 將矩陣A0、A1、A2拼接得到矩陣A，表示為

A=[A0A1A2]=

(5) 取A矩陣每一行對應(yīng)一個跳頻序列sk(k=0,1,2),則所有跳頻序列構(gòu)成的跳頻序列集S={sk}即為(19,9,3,2,1)時頻二維非周期無碰撞區(qū)跳頻序列集。

集合中跳頻序列的時頻二維非周期漢明自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)分別取值為

Hsksk(τ,v)=

Hsksl(τ,v)=

式中,k≠l且k,l=0,1,2;λ為不小于0的整數(shù)?？梢钥闯鱿嚓P(guān)函數(shù)的峰值為9,時頻二維非周期無碰撞區(qū)為[0,2]×[0,1]。

5　結(jié)　論

文獻[10]以RS碼為實例,分析了跳頻序列在同時考慮時延和頻移時的漢明相關(guān)性,但是沒有給出基于RS碼的低碰撞區(qū)跳頻序列時頻二維漢明相關(guān)函數(shù)取值的理論證明結(jié)果。本文證明了以RS碼碼字形成的跳頻序列的時頻二維周期漢明自相關(guān)函數(shù)的上界為RS碼的信息位數(shù)減1。構(gòu)造方法1利用RS碼中一些特殊信息向量對應(yīng)的碼字構(gòu)造出了時頻二維周期(非周期)低碰撞區(qū)跳頻序列集。構(gòu)造方法2通過將頻隙分組構(gòu)成行向量,再將向量轉(zhuǎn)置后拼接形成矩陣,取矩陣的行作為跳頻序列,這些跳頻序列構(gòu)成的跳頻序列集即為時頻二維非周期無碰撞區(qū)跳頻序列集。本文對構(gòu)造方法1和構(gòu)造方法2構(gòu)造出的跳頻序列的時頻二維漢明相關(guān)性進行了嚴格證明,從理論上保證了這些構(gòu)造方法的正確性。

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