劉麗亞，谷　峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

1　預(yù)備知識

1963年，G?lhler[1]首次引入了2-距離空間的概念，并較為深入地討論了這一空間的拓?fù)湫再|(zhì).1976年，Iséki等[2]開始研究關(guān)于2-距離空間中映象的不動點問題.隨后，2-距離空間中的不動點理論得到了較大發(fā)展.[3-9]受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文在完備的2-距離空間中，引入一類新的(ψ,φ,θ)-型壓縮條件，并在此條件下研究重合點和公共不動點的存在性和唯一性問題，得到了一個新的公共不動點定理，在很大程度上推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的一些結(jié)果.

定義1[9]設(shè)X是非空集，d：X×X×X→[0，+∞)，滿足：

(1) 對每一對點a，b∈X，a≠b，存在一點c∈X，使得d(a,b,c)≠0；

(2)d(a,b,c)=0，當(dāng)且僅當(dāng)a,b,c中至少有二元相等；

(3)d(a,b,c)=d(a,c,b)=d(b,c,a)=d(b,a,c)=d(c,a,b)=d(c,b,a)；

(4)d(a,b,c)≤d(a,b,x)+d(a,x,c)+d(x,b,c)，其中x∈X.

則稱(X,d)為2-距離空間.

定義2[9](1) 序列{xn}稱為2-距離空間(X,d)中的收斂序列，如果存在x∈X，使得

(2) 設(shè){xn}是2-距離空間(X,d)中的序列.{xn}稱為X中的Cauchy列，如果

(3) 2-距離空間(X,d)稱為完備的，如果X中的每一Cauchy列都是X中的收斂列.

定義3[9]設(shè){xn}是2-距離空間.d稱為是X上的連續(xù)2-距離，如果它關(guān)于三個變量中的兩個序列連續(xù).

定義4[10]設(shè)(X，?)為2-距離空間(X，d)的一個偏序集，F(xiàn)：X→X，ɡ：X→X為兩個映象.則：

(1) 稱F是ɡ-不減的，如果?x1，x2∈X，ɡx1?ɡx2?Fx1?Fx2；

(2) 稱F是ɡ-不增的，如果?x1，x2∈X，ɡx1?ɡx2?Fx1Fx2.

定義5[11]稱x∈X是映象對F：X→X和ɡ：X→X的重合點，如果Fx=ɡx.

定義6[11]稱x∈X是映象對F：X→X和ɡ：X→X的公共不動點，如果Fx=ɡx=x.

定義7[11]設(shè)X為非空集，x∈X.映象對F：X→X和ɡ：X→X稱為在x處是可交換的，若ɡFx=Fɡx.

引理1[1]設(shè)(X,d)是完備的2-距離空間，{yn}是X中的序列，滿足

若{yn}不是X中的Cauchy列，則必存在某a0∈X，ε0>0以及正整數(shù)列{mi}，{ni}，使得：

(ⅰ)mi>ni+1，ni→∞(i→∞)；

(ⅱ)d(ymi，yni，a0)≥ε0，d(ymi-1，yni，a0)<ε0，i=1，2，3，….

2　主要結(jié)果

本文假設(shè)ψ，φ和θ為以下三種類型的函數(shù)[12]：

(Ⅰ) 函數(shù)ψ：[0，∞)→[0，∞)滿足：(1)ψ是非減的且關(guān)于每個變元是連續(xù)的；(2)ψ(t)=0，當(dāng)且僅當(dāng)t=0.

(Ⅱ) 函數(shù)φ：[0，∞)→[0，∞)滿足：(1)φ是下半連續(xù)的；(2)φ(t)=0，當(dāng)且僅當(dāng)t=0.

(Ⅲ) 函數(shù)θ：[0，∞)→[0，∞)滿足：(1)θ是連續(xù)的；(2)θ(t)=0，當(dāng)且僅當(dāng)t=0.

定理1設(shè)(X，?)是2-距離空間(X，d)上的偏序集.ɡ：X→X為X上的自映象，映象F：X→X是ɡ-不減的，且與ɡ在重合點處可交換.?x0∈X使得ɡx0?Fx0.對于?x，y，a∈X，滿足

ψ(d(Fx,Fy,a))?ψ(M(x,y))-φ(M(x,y))+Lθ(N(x,y)).

(1)

其中：實數(shù)L≥0；

N(x,y)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡy,Fy,a),d(ɡx,Fy,a),d(ɡy,Fx,a)}.

如果F(x)?ɡ(X)，且ɡ(X)是完備的，則ɡ和T在X中有公共不動點.

證明由已知條件，?x0∈X滿足ɡx0?Fx0.又由于F(x)?ɡ(X)，所以?x1∈X，使得ɡx1=Fx0.同理可知，?x2∈X使得ɡx2=Fx1.又由ɡx0?Fx0可知ɡx0?ɡx1.由于映象F是ɡ-不減的，所以

ɡx1=Fx0?Fx1=ɡx2.

依次類推，可得到X中的一個序列{xn}，ɡxn+1=Fxn，n=0，1，2，…，滿足

ɡx0?ɡx1?ɡx2?…?ɡxn?ɡxn+1?….

(2)

在(1)式中令(x,y)=(xn,xn+1)，由(2)式可得

ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2,a))=ψ(d(Fxn，F(xiàn)xn+1,a))≤
ψ(M(xn,xn+1))-φ(M(xn,xn+1))+Lθ(N(xn,xn+1)).

(3)

其中

(4)

N(xn,xn+1=min{d(ɡxn,Fxn,a),d(ɡxn+1,Fxn+1,a),d(ɡxn,Fxn+1,a),d(ɡxn+1,Fxn,a)}=
min{d(ɡxn,ɡxn+1,a),d(ɡxn+1,ɡxn+2,a),d(ɡxn,ɡxn+2,a),d(ɡxn+1,ɡxn+1,a)}=0.

(5)

在(3)式中令a=ɡxn，那么(4)式可整理為

(6)

當(dāng)a=ɡxn時，結(jié)合(5)和(6)式，(3)式可整理為

ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2，ɡxn))=ψ(d(Fxn,Fxn+1,ɡxn))≤
ψ(d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1))-φ(d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1)).

當(dāng)d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1)>0時，上式出現(xiàn)矛盾，即

d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1)=0,?n=0，1，2，….

(7)

當(dāng)d(ɡxn,ɡxn+1,a)0，否則將導(dǎo)致d(ɡxn，ɡxn+1,a)<0，矛盾.于是，根據(jù)(4)和(7)式，

M(xn,xn+1)=d(ɡxn+1,ɡxn+2,a).

再由(3)和(5)式，

ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2,a))≤ψ(d(ɡxn+1,ɡxn+2,a))-φ(d(ɡxn+1,ɡxn+2,a)).

此時結(jié)果出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立，即

d(ɡxn,ɡxn+1,a)≥d(ɡxn+1,ɡxn+2,a),n=0，1，2，….

(8)

由(8)式可以看出，序列{d(ɡxn,ɡxn+1,a)}是單調(diào)遞減的非負(fù)實數(shù)列，因此?δ≥0，使得

(9)

根據(jù)(3)，(7)和(8)式，

ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2,a))≤ψ(d(ɡxn,ɡxn+1,a))-φ(d(ɡxn,ɡxn+1,a)).

(10)

如果δ>0，在(10)式兩邊令n→∞，同時由ψ和φ的性質(zhì)可得

ψ(δ)≤ψ(δ)-φ(δ)<ψ(δ).

矛盾.于是證得δ=0，即

(11)

接下來證明

(12)

若不然，由引理1知必存在某個a0∈X，某個ε0>0以及正整數(shù)列{mi}，{ni}，使得：

(ⅰ)mi>ni+1，ni→∞(i→∞)；

(ⅱ)d(ɡxni，ɡxmi，a0)≥ε0，d(ɡxni，ɡxmi-1，a0)<ε0，i=1，2，3，….

由三角形面積不等式和假設(shè)(Ⅱ)得

d(ɡxni,ɡxmi,a0)≤d(ɡxni,ɡxmi,ɡxni+1)+d(ɡxni,ɡxni+1,a0)+d(ɡxni+1,ɡxmi,a0).

在上式兩邊令i→∞，并由(11)式和假設(shè)(Ⅱ)得

即

(13)

再由不等式關(guān)系得

d(ɡxmi-1,ɡxni+1,a0)≤d(ɡxmi-1,ɡxni+1,ɡxni)+
d(ɡxmi-1,ɡxni,a0)+d(ɡxni,ɡxni+1,a0),

d(ɡxni,ɡxmi,a0)≤d(ɡxni,ɡxmi,ɡxmi-1)+
d(ɡxni,ɡxmi-1,a0)+d(ɡxmi-1,ɡxmi,a0).

在上面兩個式子中分別令i→∞，并由(11)式和假設(shè)(Ⅱ)得

進(jìn)一步整理得

(14)

(15)

由(1)式，

ψ(d(ɡxni+1,ɡxmi,a0))=ψ(d(Fxni,Fxmi-1,a0))≤
ψ(M(xni,xmi-1))-φ(M(xni,xmi-1))+Lθ(N(xni,xmi-1)).

其中

N(xni,xmi-1)=
min{d(ɡxni,Fxni,a0),d(ɡxmi-1,Fxmi-1,a0),d(ɡxni,Fxmi-1,a0),d(ɡxmi-1,Fxni,a0)}=
min{d(ɡxni,ɡxni+1,a0),d(ɡxmi-1,ɡxmi-1,a0),d(ɡxni,ɡxmi,a0),d(ɡxmi-1,ɡxni+1,a0)}.

將上式兩邊令i→∞，并由(11)，(13)—(15)式和假設(shè)(Ⅱ)得

即

ψ(ε0)≤ψ(ε0)-φ(ε0)<ψ(ε0).

矛盾，從而(12)式成立.

又因為ɡ(X)是完備的，于是?x∈X，滿足

(16)

再由(1)式，

ψ(d(Fx,ɡxn+1,a))=ψ(d(Fx,Fxn,a))≤ψ(M(x,xn))-φ(M(x,xn))+Lθ(N(x,xn)).

其中

N(x,xn)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡxn,Fxn,a),d(ɡx,Fxn,a),d(ɡxn,Fx,a)}=
min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡxn,ɡxn+1,a),d(ɡx,ɡxn+1,a),d(ɡxn,Fx,a)}.

將上式兩邊令n→∞，并由(11)式和注1得

由ψ和φ的性質(zhì)可得d(Fx,ɡx,a)=0，進(jìn)而ɡx=Fx.由此可知x是ɡ和F的重合點.

現(xiàn)證ɡ和F的重合點唯一.

事實上，假設(shè)?x*∈X，x*≠x，使得ɡx*=Fx*.由(1)式可得

ψ(d(ɡx,ɡx*,a))=ψ(d(Fx,Fx*,a))≤ψ(M(x,x*))-φ(M(x,x*))+Lθ(N(x,x*)).

(17)

其中

(18)

N(x,x*)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡx*,Fx*,a),d(ɡx,Fx*,a),d(ɡx*,Fx,a)}=
min{d(ɡx,ɡx,a),d(ɡx*,ɡx*,a),d(ɡx,ɡx*,a),d(ɡx*,ɡx,a)}=0.

(19)

將(18)和(19)式代入(17)式可得

ψ(d(ɡx,ɡx*,a))≤ψ(d(ɡx,ɡx*,a))-φ(d(ɡx,ɡx*,a)).

由ψ和φ的性質(zhì)可知d(ɡx,ɡx*,a)=0，從而ɡx=ɡx*.即證得ɡ和F的重合點唯一.

令μ=ɡx=Fx，則Fμ=F(ɡx)=ɡ(Fx)=ɡμ.從而μ也為ɡ和F的重合點，由ɡ和F的重合點的唯一性，可得ɡμ=Fμ=ɡx=Fx=μ，即ɡμ=Fμ=μ.從而可得μ是ɡ和F的公共不動點，證畢.

推論1設(shè)(X，?)是完備2-距離空間(X，d)上的偏序集且X是完備的.映象F：X→X，實數(shù)L≥0，且?x，y,a∈X，滿足

ψ(d(Fx,Fy,a))≤ψ(M(x,y))-φ(M(x,y))+Lθ(N(x,y))，

其中

N(x,y)=min{d(x,Fx,a),d(y,Fy,a),d(x,Fy,a),d(y,Fx,a)}.

則F在X中有不動點.

證明令定理1中的自映象ɡ為恒等映象I，即可證得結(jié)論.

推論2設(shè)(X,?)是2-距離空間(X,d)上的偏序集.ɡ：X→X為X上的自映象，映象F：X→X是ɡ-不減的，且與ɡ在重合點處可交換.?x0∈X使得ɡx0?Fx0，對于?x,y,a∈X，滿足

如果F(x)?ɡ(X)，且ɡ(X)是完備的，則ɡ和F在X中有公共不動點.

3　在積分方程中的應(yīng)用

令X=C[I]為所有I=[0，1]上的連續(xù)函數(shù)全體，受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā)，考慮積分方程在X中是否存在解

(20)

這里函數(shù)T：I×X→R.首先，定義偏序關(guān)系：

x?y?x(t)≤y(t)，?t∈I.

假設(shè)：

(ⅰ)h：I→R，k：I×I→R，t∈I為連續(xù)函數(shù)；

(ⅲ) 對于?x,y,a∈X，如果x?y，那么有

令d：X×X×X→[0，+∞)，

容易看出(X，?，d)是偏序2-距離空間.

x0?x1?x2?…?xn?xn+1?…，

且{xn}收斂于一點u∈X，即xn?u，?n∈N，則方程(20)在X中有解.

證明定義函數(shù)F，ɡ：X→X分別為

ɡx=x(t),?x∈X,t∈I.

由條件(ⅱ)得

ɡx(t)?ɡy(t)?Fx(t)?Fy(t),?x,y∈X,t∈I.

由條件(ⅳ)，ɡx0?Fx0.又由條件(ⅲ)可知?x,y,a∈X，且x?y，F(xiàn)x?Fy.

進(jìn)一步有

其中

N(x,y)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡy,Fy,a),d(ɡx,Fy,a),d(ɡy,Fx,a)}.

綜上，定理1中的所有條件都滿足，于是?x∈X，使得Fx(t)=x(t)，即方程(20)在X中有唯一解.

[參考文獻(xiàn)]

[2]ISЁKI K.Fixed point theorems in 2-meric spaces[J].Math Seminar Notes Kobe Univ，1975，3(1)：133-136.

[3]DUNG N V，LE HANG V T.Fixed point theorems for weak C-contractions in partially ordered 2-metric spaces[J].Fixed Point Theory and Applications，2013，161(1)：1-12.

[4]LAHIRI B K，DAS P，DEY L K.Cantor’s theorem in 2-metric spaces and its applications to fixed point problems[J].Taiwan J Math，2011，15(1)：337-352.

[5]ALIOUCHE A，SIMPSON C.Fixed points and lines in 2-metric spaces[J].Adv Math，2012，229(1):668-690.

[6]CONSTANTIN A.Common fixed points of weakly commuting mappings in 2-metric spaces[J].Math Japon，1991，36(3)：507-514.

[7]LIU Z Q，ZHANG F R.Characterizations of common fixed points in 2-metric space[J].Rostock Math Kolloq，2001，55(1)：49-64.

[8]DUBEY R P.Some fixed point theorems on expansion mappings in 2-metric spaces[J].Pure Appl Math Sci，1990，32(1):33-37.

[9]張石生.不動點理論及其應(yīng)用[M].重慶：重慶出版社，1984：350-412.

[10]BHASKAR T G，LAKSHMIKANTHAM V.Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications[J].Nonlinear Anal，2006，65(7)：1379-1393.

[12]谷峰，高偉，田巍.不動點定理與非線性算子迭代序列的收斂性[M].哈爾濱：黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社，2002：75-93.