于文華

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美國(guó)數(shù)學(xué)問題提出：是非與評(píng)述

于文華

（山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014）

從微觀與宏觀兩個(gè)視角，對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域內(nèi)問題提出研究進(jìn)行了述評(píng)．從宏觀研究視角出發(fā)，可以分為以下幾個(gè)方面：?jiǎn)栴}提出與問題解決的關(guān)系、問題提出與數(shù)學(xué)理解、問題提出的認(rèn)知策略、問題提出的能力培養(yǎng)及教學(xué)模式．從微觀視角出發(fā)，可以分為以下幾方面：數(shù)學(xué)問題提出的類型、問題提出的情境、問題提出的策略、問題提出的干預(yù)手段、對(duì)所提問題的評(píng)估與分析等．對(duì)于國(guó)內(nèi)的相關(guān)研究，有很好的借鑒意義，期望每個(gè)方面都有進(jìn)一步更為優(yōu)化的研究．

數(shù)學(xué)問題提出；述評(píng)；是是非非

國(guó)內(nèi)研究者，對(duì)于美國(guó)數(shù)學(xué)問題提出的研究，是存在一些誤讀的．其一，美國(guó)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中，自20世紀(jì)80年代提出“問題解決”的口號(hào)以來，很多人認(rèn)為“問題解決”是主流的研究領(lǐng)域和方向，而“問題提出”貌似作為“問題解決”的一個(gè)附屬領(lǐng)域，或是為了更好地“問題解決”而產(chǎn)生的非主流的方向．真的是這樣嗎？實(shí)際上，在美國(guó)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，“問題提出”一直是一個(gè)非常受歡迎并且橫跨理論研究、模型建構(gòu)研究、教學(xué)研究等多方面的“熱門方向”，且碩果累累，與“問題解決”之間的瓜葛只是其研究的一個(gè)小分支而已．因此，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的“問題提出”研究是名副其實(shí)的“主流”．其二，國(guó)內(nèi)仍然有很多旨在考察與借鑒美國(guó)數(shù)學(xué)問題提出的研究，但實(shí)際上研究范圍過窄．例如《中美兩國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中問題提出的比較研究》等研究對(duì)于美國(guó)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域內(nèi)“問題提出”的研究只局限于教材的視域之內(nèi)；即使有針對(duì)課堂教學(xué)中問題提出的研究，也很多只與數(shù)學(xué)課堂的引入環(huán)節(jié)即數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)相關(guān)聯(lián)，例如，夏小剛、汪秉彝的《數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)與數(shù)學(xué)問題的提出》，而很少考慮到數(shù)學(xué)問題提出作為探測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的窗口等更微觀具體的層面．

為了辨別是非，全面了解美國(guó)數(shù)學(xué)教育中有關(guān)問題提出的方方面面，從宏觀、微觀兩個(gè)角度，對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域中的問題提出進(jìn)行述評(píng)，旨在從大的方面把握其脈絡(luò)，從小的方面找尋其具體．

1 美國(guó)數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域?qū)栴}提出的宏觀考察與述評(píng)

1.1 美國(guó)數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域?qū)栴}提出的宏觀研究視角

在美國(guó)數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域，對(duì)問題提出的研究主要基于四大視角．

其一，基于問題提出與問題解決關(guān)系視角：Silver等（1989）[1]對(duì)美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的問題提出進(jìn)行測(cè)試發(fā)現(xiàn)，與問題解決之前提出的問題相比，問題解決之后提出的問題與他們解決過的問題更加相像，這說明問題提出受到了問題解決的影響，此外沒有發(fā)現(xiàn)其它關(guān)于問題提出和問題解決之間的關(guān)系．Silver等（1996）[2]對(duì)中學(xué)生問題提出的測(cè)試表明，好的問題解決者提出的數(shù)學(xué)問題的數(shù)量與復(fù)雜度都更大．也有一些研究考察了不同文化背景下學(xué)生的問題提出與問題解決之間的關(guān)系．Cai等（2002）[3]發(fā)現(xiàn)中美學(xué)生在問題提出方面的經(jīng)驗(yàn)都明顯少于他們?cè)趩栴}解決方面的經(jīng)驗(yàn)，提出的問題與其解題策略有關(guān)；中國(guó)學(xué)生比美國(guó)學(xué)生問題提出與問題解決的相關(guān)性要高．Cai（2003）[4]發(fā)現(xiàn)大多數(shù)新加坡學(xué)生能夠選擇合適的策略來解決問題，并且能夠提出一些抽象的數(shù)學(xué)問題．與中美兩國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維相比，新加坡學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與中國(guó)學(xué)生更加相似．

其二，基于問題提出與數(shù)學(xué)理解關(guān)系的的視角：Ellerton（1986）[5]認(rèn)為，問題提出作為一個(gè)窗口，可以用來探測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，可以通過學(xué)生創(chuàng)造出的問題檢驗(yàn)他們數(shù)學(xué)理解的深度．?dāng)?shù)學(xué)問題提出不僅展示了他們對(duì)數(shù)學(xué)概念發(fā)展的理解和水平，而且也反映了他們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解．Hashimotto（1987）[6]也發(fā)現(xiàn)：要求學(xué)生提出一些類似他們解決的問題是一個(gè)有用的教學(xué)技巧，因?yàn)樗峁┝藢W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的一面鏡子．

其三，基于問題提出的認(rèn)知策略研究的視角：Brown等（1983）[7]得到提出問題的一個(gè)很有用的方法——“否定假設(shè)法”（what-if-not），這種對(duì)原問題的條件和限定進(jìn)行改變來產(chǎn)生新問題的方法在Lavy等（2003）[8]的研究中得到運(yùn)用．Kilpatrick（1987）[9]也提出了一些數(shù)學(xué)問題提出策略：觀念的聯(lián)結(jié)、類比、一般化、反駁、換位思維法和觀念組合法等，通過運(yùn)用這些策略，可以幫助學(xué)生提出更多的好問題．Silver等（1996）[2]在對(duì)算法問題的提出做研究時(shí)提出問題的產(chǎn)生包括兩個(gè)：接受已知條件（accepting the givens）和挑戰(zhàn)已知條件（challenging the givens）．

其四，基于問題提出的能力培養(yǎng)及教學(xué)模式視角：Kilpatrick（1987）[9]認(rèn)為：?jiǎn)栴}提出不僅應(yīng)當(dāng)作為教學(xué)的目標(biāo)，而且還應(yīng)該作為教學(xué)的手段．English（1997）[10]在問題提出訓(xùn)練中提出了一些行之有效的方法，對(duì)問題進(jìn)行分類、識(shí)別和利用問題的結(jié)構(gòu)等．Crespo（2003）[11]發(fā)現(xiàn)：職前教師在培訓(xùn)后敢于提出一些有多種解法、開放性和探究性的、認(rèn)知更為復(fù)雜的問題．Contreras（2003）[12]的PPM（problem posed model）教學(xué)模式認(rèn)為教師可以通過例題來講授提出問題的一般模式，激發(fā)學(xué)生提出問題．

1.2 宏觀研究視角述評(píng)與啟示

從宏觀來看，美國(guó)數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域中的研究涉及的方面較為廣泛，從問題提出與問題解決的關(guān)系的討論到問題提出與數(shù)學(xué)理解關(guān)系的挖掘，再到如何引導(dǎo)問題提出者利用各種策略去提出問題，到最終的實(shí)踐中的培養(yǎng)與教學(xué)模式．

上述很多研究涉及問題提出與問題解決之間的關(guān)系研究，但Silver（2013）[13]闡述了二者間關(guān)系的研究進(jìn)展因一直缺乏一個(gè)明確的理論且符合現(xiàn)有證據(jù)的基礎(chǔ)解釋而受阻，并指出，現(xiàn)在已經(jīng)非常接近于能夠提供這樣一個(gè)解釋，而且一些研究在這個(gè)特殊問題上提供了一些有前途的方向追求．未來會(huì)繼續(xù)為解決這個(gè)問題而努力．

對(duì)于國(guó)內(nèi)的相關(guān)研究來說，借鑒的意義在于，首先，可以從研究思路上進(jìn)行拓展．從不同的民族、地域、文化背景之下的問題提出與問題解決間的關(guān)系是否一致，各方的特點(diǎn)所在；依據(jù)其特點(diǎn)，如何把問題提出作為一種探測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的手段；在具體教學(xué)中，如何通過進(jìn)行行之有效的策略，尋找可行的教學(xué)模式，幫助學(xué)生提出更多的好問題，而非為了提出問題而提出問題，只要提出問題即可的滿足感．方法與模式對(duì)學(xué)生形成問題提出的意識(shí)、培養(yǎng)問題解決的能力是很重要的．

2 美國(guó)數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域問題提出的微觀考察與述評(píng)

2.1 數(shù)學(xué)問題提出的類型

美國(guó)數(shù)學(xué)問題提出的相關(guān)研究中，數(shù)學(xué)問題提出的類型是非常豐富的，按照不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以把它們做如下梳理．

考慮到數(shù)學(xué)問題相對(duì)于教材中封閉型題目的開放程度，Vacc（1993）[14]在評(píng)估教師提出的問題時(shí)將問題分為事實(shí)型的（factual）、推理型的（reasoning）和開放型的（open）．Cai等（2002）[15]將學(xué)生提出的問題分為可延伸的問題（extension）和不可延伸的問題（non-extension）．Lowrie（2002）[16]研究發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)問題提出活動(dòng)的開放性的任務(wù)中，許多學(xué)生發(fā)明的數(shù)學(xué)問題類似于他們的教科書中的問題（similar to those found in their textbooks），還有一些獨(dú)創(chuàng)性問題（original）、開放性問題（open）和多種解決方案的問題（more than one solution）．

考慮到數(shù)學(xué)問題的新奇度，Lowrie（2002）[17]發(fā)現(xiàn)，實(shí)習(xí)教師將學(xué)生提出的問題分為一步文字題（one-step word）、二步文字題（two-step word）、非典型應(yīng)用問題（non-typical word）和新奇問題（novel）．

考慮到數(shù)學(xué)問題的條件充足與否或可解性，Silver等（1996）[2]研究中學(xué)生提出有關(guān)算法問題的類型時(shí)，對(duì)中學(xué)生進(jìn)行檢測(cè)，把他們提出的問題類型分為：可解性的（solvability）、語言學(xué)的（linguistic）和數(shù)學(xué)復(fù)雜性的（mathematical complexity）．Leung（2013）[18]主要報(bào)告了一項(xiàng)一位教師教育者和許多教師參與的研究，在第一階段，教師將學(xué)生提出的問題分為5大類：非問題（not a problem）、非數(shù)學(xué)問題（non-math）、不可能問題（impossible）、條件不充足問題（insufficient）、條件充足問題（sufficient or extraneous）．

考慮到數(shù)學(xué)問題與情境或任務(wù)是否相符，Cai等（2013）[19]把學(xué)生提出的問題分為有效問題（valid）、適合情境的問題（situated in a context）、反映線性關(guān)系的問題（reflected linearity）、符合至少一個(gè)條件（matched at least one condition）的問題．文章主要是利用問題提出測(cè)量不同的初中學(xué)習(xí)課程對(duì)高中學(xué)習(xí)的影響．通過兩項(xiàng)任務(wù)來評(píng)估：方程式和圖象．這兩項(xiàng)任務(wù)都包括問題解決和問題提出，而且問題解決在問題提出之前．關(guān)于學(xué)生問題提出方面，僅有三分之一的學(xué)生嘗試提出方程式問題，三分之二的學(xué)生提出圖象的問題．

也有研究充分考慮上述各方面因素，Bonotto（2013）[20]為了探究使用實(shí)際物體對(duì)問題提出活動(dòng)的影響，做了兩項(xiàng)探索性研究．第一項(xiàng)研究中學(xué)生們提出的問題包括對(duì)原有問題的改變和對(duì)原有問題進(jìn)行批判．第二項(xiàng)研究問題提出活動(dòng)中，要求學(xué)生選擇4個(gè)問題進(jìn)行解決，主要包括3種類型，一個(gè)多步問題（multi-step），兩個(gè)開放型問題（open-ended）和一個(gè)包含錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的問題（with incorrect data）．學(xué)生們提出的所有問題分為數(shù)學(xué)問題（mathematical）和非數(shù)學(xué)問題（non-mathematical），數(shù)學(xué)問題又被分為貌似數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)問題（plausible mathematical）和不像數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)問題（implausible mathematical），而貌似數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)問題又分為有充足的信息的問題（with sufficient information）和沒有充足的信息的問題（with insufficient information）．

有研究另辟蹊徑，根據(jù)被試的回答進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的分類．Crespo等（2008）[21]邀請(qǐng)22位職前教師完成4項(xiàng)任務(wù)并進(jìn)行兩次干預(yù)，任務(wù)1中職前教師所提問題分為3種：分配問題（assignment）、關(guān)系問題（relational）、條件問題（conditional）．任務(wù)2中職前教師所提出的問題分為：引出信息的問題（elicit information）、理解形狀的問題（shape understanding）、推動(dòng)反思的問題（press for reflection）．在做任務(wù)3時(shí)將教師分成兩組，但這兩組提出問題的類型都是采用了Vacc（1993）[14]的問題類型分法．在第二次干預(yù)時(shí)又將問題分成有營(yíng)養(yǎng)的（nutritious）問題和有趣的（tasty）問題．

2.2 數(shù)學(xué)問題提出的情境

2.2.1 根據(jù)情境的結(jié)構(gòu)化程度分類

Stoyanova和Ellerton（1996）[22]將問題提出的情境分為3種：自由的（free）、半結(jié)構(gòu)化的（semi-structured）、結(jié)構(gòu)化的（structured）．自由的提出問題情境是指讓學(xué)生無限制地提問題；半結(jié)構(gòu)化的情境也是開放的，讓學(xué)生探索情境的結(jié)構(gòu)并完成它；結(jié)構(gòu)化的情境是指學(xué)生重新用公式表示已解決問題或改變條件．

2.2.2 根據(jù)問題的數(shù)學(xué)化水平分類

其一，問題情境為數(shù)學(xué)情境．

Crespo等（2008）[21]的4項(xiàng)任務(wù)中的兩項(xiàng)任務(wù)都是在數(shù)學(xué)圖形的情境下提出一系列的問題．Xianwei（2013）[23]的研究包含兩個(gè)測(cè)試：數(shù)學(xué)內(nèi)容測(cè)試和數(shù)學(xué)問題提出測(cè)試．?dāng)?shù)學(xué)問題提出測(cè)試涉及3個(gè)任務(wù)，其中第二個(gè)任務(wù)是在半結(jié)構(gòu)問題提出情境下，要求學(xué)生盡可能多地提出與圖片（圖片中有一個(gè)三角形和其內(nèi)切圓）有關(guān)的問題．

其二，問題情境為模擬情境．

Koichu和Kontorovich（2013）[24]模擬了桌球任務(wù)的情境，要求學(xué)生提出問題．Ellerton（2013）[25]要求本科師范生根據(jù)握手問題創(chuàng)造其它問題以及這些問題的逆問題．Bonotto（2013）[20]的兩項(xiàng)探索性研究中以廣告?zhèn)鲉未蛘坌畔⒑秃?bào)宣傳單為情境，得出結(jié)論“如果選用宣傳單、機(jī)票這樣的材料作為提出問題的情境，則不會(huì)因?yàn)槲淖謫栴}而受限”．Xianwei和Bharath（2013）[23]中的數(shù)學(xué)問題提出測(cè)試中的第一個(gè)任務(wù)是在排隊(duì)情境下要求學(xué)生盡可能多的提出問題．第三個(gè)任務(wù)是在晚會(huì)情境下針對(duì)門鈴響數(shù)問題要求學(xué)生回答所提問題并盡可能多地提出有關(guān)問題．Cristian和Singer（2013）[26]提供了一個(gè)關(guān)于黑白瓷磚覆蓋地板的模擬情境，讓學(xué)生進(jìn)行問題修改．通過修改已知問題提出新問題的能力來測(cè)量學(xué)生的認(rèn)知靈活性．

其三，數(shù)學(xué)情境與相應(yīng)的生活模擬情境相結(jié)合．

Cai等（2013）[19]主要是利用問題提出測(cè)量不同的初中學(xué)習(xí)課程對(duì)高中學(xué)習(xí)的影響．問題提出作為評(píng)估工具，通過兩個(gè)任務(wù)來評(píng)估，每個(gè)任務(wù)都包含了問題解決和問題提出．第一個(gè)任務(wù)是先以數(shù)學(xué)線性方程組為數(shù)學(xué)情境解出這個(gè)方程組的答案，然后提出可以用以上方程組解決的生活中的情境．第二個(gè)任務(wù)是先以一個(gè)數(shù)學(xué)圖形為情境解出圖中曲線的方程，然后同第一個(gè)任務(wù)一樣提出可以用此圖形表示的現(xiàn)實(shí)生活情境．

2.3 數(shù)學(xué)問題提出的策略

自從Brown和Walter（2005）[27]提出眾所周知的“what-if-not”策略，很多研究致力于數(shù)學(xué)問題提出具體策略的研究．

一種方案是側(cè)重于對(duì)原問題的修改，以生成新的問題．Martinez-Cruz等（2002）[28]提供了若干更加規(guī)范的策略，比如改變已知條件、改變限制條件、歸納和顛倒已知與未知．Cifarelli和Cai（2005）[29]的策略有依據(jù)數(shù)據(jù)處理（data-driven reasoning）和依據(jù)假設(shè)處理（hypothesis-driven reasoning）．Singer和Voica（2012）[30]的研究表明：當(dāng)學(xué)生修改問題時(shí)，普遍會(huì)修改問題的背景主題（background theme）、參數(shù)（parameters）、數(shù)據(jù)（data）、一個(gè)或多個(gè)操作方案（one or more operating schemes）、對(duì)數(shù)據(jù)和操作方案的限制（constraints over the data and the operating schemes）和至少有一個(gè)未知參數(shù)的限制（constraints that involve at least one unknown value of the parameters）．Voica和Singer（2013）[26]運(yùn)用了5種概念性框架來修改已知問題．第一種是初始框架（starting pattern frame），即使用已知問題的框架只是改變一些數(shù)據(jù)；第二種是棋盤框架（chess-board frame），即修改的問題中使用棋盤結(jié)構(gòu)；第三種是新遞歸框架（new recursion frame），即使用一個(gè)新的不同的分配模式；第四種是網(wǎng)格框架（grid frame），即基于不同的對(duì)象來填充一個(gè)網(wǎng)格；第五種就是其他沒有特定結(jié)構(gòu)的框架．

另一種方案著眼于條件與目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)性，而提出問題．Silver等（1996）[2]提供的問題提出策略有：條件處理（constraint manipulation）、目標(biāo)處理（goal manipulation）、條件和目標(biāo)混合處理（symmetry），以及連環(huán)處理（chaining）．在問題提出的具體方法上，English（1997）[31]鼓勵(lì)學(xué)生關(guān)注已有問題的核心原理并且考慮核心原理與問題的關(guān)系，然后給學(xué)生一些衍生的問題幫助他們提出新問題．Singer和Moscovici（2008）[32]，Singer（2009）[33]研究了問題提出的策略．主要包括使用各種交涉進(jìn)行問題換位，通過添加新的操作和條件進(jìn)行問題延伸，通過評(píng)估相似性和差異性比較問題，分析不完整或冗余的問題，提高學(xué)生提出有意義的問題的能力．Koichu和Kontorovich（2013）[24]認(rèn)為問題提出的策略是對(duì)已給的問題提出任務(wù)的分析和條件變形以及對(duì)問題產(chǎn)生的系統(tǒng)性方法．它包含了Silver等（1996）[34]、Cifarelli和Cai（2005）[29]在桌球任務(wù)情況下的認(rèn)知過程．

2.4 數(shù)學(xué)問題提出的干預(yù)手段

Lowrie（2002）[17]中，采用了如下干預(yù)：（1）提出問題；（2）討論解決此問題的方法；（3）解決此問題；（4）反思解決此問題的方式與策略．顯然，這種干預(yù)方法旨在讓學(xué)生在討論、解決、反思的過程中認(rèn)識(shí)到解決問題的方式與策略．干預(yù)前，83%的學(xué)生提出一步問題和二步問題，但在老師和學(xué)生的一對(duì)一的干預(yù)之后，學(xué)生提出的問題更加偏向非典型問題和新奇問題，且復(fù)雜性更強(qiáng)，而且他們樂意去解決這些問題．可見此種干預(yù)手段對(duì)學(xué)生的提出問題能力的培育是有效果的．Crespo等（2008）[21]邀請(qǐng)22位職前教師完成4項(xiàng)任務(wù)，并進(jìn)行兩次干預(yù)．第一次干預(yù)是將研究對(duì)象分為兩組：一組是直接提出問題（pose immediately），另一組是先探究（explore first）再提出問題．研究發(fā)現(xiàn)先探究干預(yù)組提出更多問題．第二次干預(yù)是給職前教師講解評(píng)價(jià)問題有趣的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，即驚奇（surprise）、新奇（novelty）、多實(shí)（fruitfulness）、簡(jiǎn)潔（simplicity）等．研究發(fā)現(xiàn)美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)干預(yù)使得職前教師提出的問題更加有趣．

2.5 數(shù)學(xué)問題提出的評(píng)估與分析

美國(guó)數(shù)學(xué)問題提出的研究中，對(duì)于學(xué)生所提問題的評(píng)估與分析，主要著眼于流暢性和驚奇性兩個(gè)方面．

著眼于問題的流暢性方面，Bonotto（2013）[20]為了評(píng)估提出問題的創(chuàng)造性（creativity），考慮了3方面：?jiǎn)栴}的流暢性（fluency）、問題的靈活性（flexibility）和問題的獨(dú)創(chuàng)性（originality）．Xianwei（2013）[23]借鑒了此種方法．Cristian和Singer（2013）[26]采用連貫性（coherence）和一致性（consistency）來分析問題．將問題分為具有連貫性和一致性的問題（coherent and consistent）、不具有連貫性但具有一致性的問題（incoherent, but consistent）、具有連貫性但不具有一致性的問題（coherent, but inconsistent）和既不具有連貫性也不具有一致性的問題（inconsistent and incoherent）．

著眼于問題的新奇性方面，Crespo等（2008）[21]采用美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)估，比如驚奇（surprise）、新奇（novelty）、多實(shí)（fruitfulness）、簡(jiǎn)潔（simplicity）等．Koichu和Kontorovich（2013）[24]認(rèn)為問題有意義就是問題有趣或者出色．它包括簡(jiǎn)單（simplicity）、簡(jiǎn)潔（brevity）、清晰（clarity）、優(yōu)雅（elegance）、多實(shí)（fruitfulness）、有數(shù)學(xué)深度和復(fù)雜度（mathematical deepness and complexity）、機(jī)靈的（cleverness）、符合認(rèn)知要求的（cognitive demand）、新奇的（novelty）和讓人驚訝的（surprise）等方面．

2.6 微觀考察述評(píng)與啟示

在問題提出的微觀研究方面，有很多方面值得討論與借鑒．

在數(shù)學(xué)問題提出的類型方面，由于不同的研究者出于不同的研究目的、研究對(duì)象、研究材料，致使對(duì)被試提出的問題的分類很不統(tǒng)一．百家爭(zhēng)鳴一定程度上固然是好事，但是這也為后續(xù)的研究借鑒與研究的橫向比較造成一定程度上的困擾．

在問題提出的情境方面，其一，相對(duì)于結(jié)構(gòu)化的問題情境來說，自由的、半結(jié)構(gòu)化的問題情境下的問題提出，是未來研究的一個(gè)發(fā)展點(diǎn)．Florence等（2013）[35]認(rèn)為很多研究分析了學(xué)生解決結(jié)構(gòu)問題的推理過程，只有少數(shù)研究集中在說明和解釋被試在開放性問題情境下的數(shù)學(xué)探索的特性．依據(jù)目前來看，未來需要更多地研究當(dāng)學(xué)生在開放性問題情境下或者任務(wù)的某些方面未被指明情境下，學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出的過程．其二，相對(duì)于數(shù)學(xué)情境來說，近些年的研究更傾向于生活情境下問題提出的研究．但數(shù)學(xué)情境與相應(yīng)的生活模擬情境相結(jié)合下的問題提出的研究卻剛剛開始，而這其中的兩種情境的比較與結(jié)合會(huì)衍生出更多的研究問題．

在問題提出的策略方面，問題提出需要很多的策略和方法，上述研究涉及這些方面，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因此未來需要更多研究來分析和擴(kuò)展問題提出的策略．

在問題提出的干預(yù)手段方面，F(xiàn)lorence等（2013）[35]提到很多實(shí)驗(yàn)表明一些干預(yù)手段，例如系統(tǒng)的訓(xùn)練、關(guān)注問題的修改及分析不完整或冗長(zhǎng)的問題可以提高學(xué)生對(duì)問題一致性和問題本身的含義的認(rèn)識(shí)，但是有些方面是有爭(zhēng)議的，需要進(jìn)一步研究．未來一定會(huì)給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明來支持這些觀點(diǎn)，并將其運(yùn)用到課堂實(shí)踐中去．

對(duì)所提問題的評(píng)估與分析方面，很多研究報(bào)道出學(xué)生和教師提出的問題不易表述或者不符合認(rèn)知要求，所以未來需要更多的訓(xùn)練來使學(xué)生或老師提出更好的問題，更需要嚴(yán)謹(jǐn)而有效的評(píng)估與分析問題的工具與方法．

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A Review of Mathematics Problem Posing in the United States: Research and Practice

YU Wen-hua

(School of Mathematics Science, Shandong Normal University, Shandong Jinan 250014, China)

In the field of cognitive psychology in the United States, macroscopic research on mathematics problem posing could be categorized in the following ways: based on the relationship of problem solving and problem posing, based on the relationship of problem posing and mathematical understanding, based on cognitive strategies, and based on training and teaching models. Meanwhile, microscopic studied on problem posing in the field of mathematics cognition could be categorized in the following ways: problem-posing types, situations, strategies, and interventions as well as evaluation and analyses of posed problems. Future direction of research was discussed.

math problem-posing; macro; micro; review

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2018–03–26

山東省高等學(xué)校人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)問題提出認(rèn)知機(jī)理的探尋（J14WH07）；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目——基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識(shí)別的認(rèn)知機(jī)理與實(shí)驗(yàn)研究（10YJCXLX054）

于文華（1978—），女，山東乳山人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育心理、數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

G40–059.3

A

1004–9894（2018）02–0024–05

于文華．美國(guó)數(shù)學(xué)問題提出：是非與評(píng)述[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（2）：24-28．