◇執(zhí)教/沈 強(qiáng) 評(píng)析/王建良

教學(xué)內(nèi)容：

數(shù)學(xué)繪本《二進(jìn)制數(shù)》和《五進(jìn)制》。

教學(xué)過(guò)程：

一、課前談話(huà)，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題

師：同學(xué)們，我們所用的阿拉伯?dāng)?shù)字一共有幾個(gè)？

生：10個(gè)。

師：世界上的數(shù)有那么多，為什么只有10個(gè)數(shù)字符號(hào)呢？

生：因?yàn)榭梢杂脭?shù)字和數(shù)字組合在一起。

生：因?yàn)槲覀兪菨M(mǎn)十進(jìn)一。

（生閱讀繪本，了解數(shù)的起源）

[評(píng)析]數(shù)學(xué)是一門(mén)奇妙的學(xué)科，10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字可以組成無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)，背后的道理是什么呢？開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，揭示了本課學(xué)習(xí)的目標(biāo)。

二、出示挑戰(zhàn)性問(wèn)題，學(xué)習(xí)五進(jìn)制計(jì)數(shù)法

1.出示挑戰(zhàn)性問(wèn)題，初步認(rèn)識(shí)五進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

師：在這本繪本中，有這么一幅圖（如圖1），這兩個(gè)數(shù)居然是相等的，這是怎么回事？

圖1

生：可能左邊是31個(gè)櫻桃，右邊是16個(gè)蘋(píng)果。

師：你覺(jué)得可能是兩種水果，它們的質(zhì)量一樣，但書(shū)中是指物體的個(gè)數(shù)一樣多，這是為什么呢？

（學(xué)生思考中，但沒(méi)有學(xué)生舉手回答。師出示五進(jìn)制、十進(jìn)制，如圖2）

師：原來(lái)是它們的計(jì)數(shù)方法不同，哪種計(jì)數(shù)法你們比較熟悉？

生：十進(jìn)制。

師：（出示16顆彈珠，如圖2）16里的1和6分別表示多少？

圖2

生：1表示1個(gè)十，6表示6個(gè)一。

師：既然是相等的，那么五進(jìn)制應(yīng)該也有16顆彈珠（出示左邊的16顆彈珠）。剛才是10個(gè)一圈的，那么五進(jìn)制是幾個(gè)一圈呢？

生：5個(gè)一圈。

師：現(xiàn)在你知道31里的3和1分別表示多少了嗎？

生：3表示3個(gè)五，1表示1個(gè)一。

師：3乘5加上1，是16，所以十進(jìn)制的16和五進(jìn)制的31，所表示的數(shù)量是相等的。為了和十進(jìn)制區(qū)分開(kāi)來(lái)，我們把五進(jìn)制的31讀作：三一，記作31（5）。

[評(píng)析]“31”和“16”相等，在學(xué)生眼中是不可能的。正是這一具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激起了學(xué)生探究的欲望。教師在設(shè)問(wèn)后，給予了學(xué)生足夠的思考時(shí)間。但在一般情況下，學(xué)生很難想到這是用兩種不同進(jìn)制表示的數(shù)。事實(shí)上教師也并不期待學(xué)生能說(shuō)出這一答案。當(dāng)教師補(bǔ)充呈現(xiàn)信息“16是十進(jìn)制數(shù)，31是五進(jìn)制數(shù)”后，學(xué)生的思維閘門(mén)瞬間打開(kāi)。十進(jìn)制是學(xué)生已經(jīng)熟悉的常用計(jì)數(shù)方法，五進(jìn)制或許是學(xué)生第一次接觸，但以十進(jìn)制類(lèi)推，結(jié)合圖示，學(xué)生很快就把握住了五進(jìn)制是“五個(gè)五個(gè)數(shù)”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

2.鞏固練習(xí)，鞏固讀寫(xiě)和計(jì)數(shù)單位。

師：這里有一些彈珠，用十進(jìn)制表示是23，那用五進(jìn)制表示會(huì)是多少呢？請(qǐng)?jiān)诰毩?xí)紙上圈一圈，把它寫(xiě)下來(lái)。（如圖3）

圖3

［呈現(xiàn)學(xué)生的作品：用五進(jìn)制表示是43（5），讀作：四三］

師：這里的4和3分別表示多少？

生：4表示4個(gè)五，3表示3個(gè)一。

[評(píng)析]教學(xué)需要適度的反復(fù)，以上教學(xué)過(guò)程是加深學(xué)生對(duì)五進(jìn)制“5個(gè)5個(gè)數(shù)”這一屬性認(rèn)識(shí)的過(guò)程。

3.設(shè)置認(rèn)知沖突，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)五進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

師：這里一共有32顆彈珠，如果用五進(jìn)制表示，會(huì)是哪個(gè)數(shù)呢？請(qǐng)?jiān)诰毩?xí)紙上圈一圈，把它寫(xiě)下來(lái)。（如圖4）

圖4

師：你的答案是多少？

生1：62（5）。

生2：62（5）。

……

師：答案是六二的舉手。

（全班都舉手）

師：但我告訴你，繪本上的答案不是62（5），問(wèn)題出在哪里？

（生思考片刻，四人小組交流）

生：五進(jìn)制是滿(mǎn)五進(jìn)一，十位上是6，滿(mǎn)5了。

生：十位上的6，應(yīng)該向百位進(jìn)一，應(yīng)該是112（5）。

師：剛才兩位同學(xué)所說(shuō)的，誰(shuí)聽(tīng)懂了？

(學(xué)生復(fù)述)

師：在十進(jìn)制計(jì)數(shù)法里，從右往左依次是個(gè)位、十位、百位，在五進(jìn)制計(jì)數(shù)法里，我們就說(shuō)右起第一位、第二位、第三位……

[評(píng)析]3個(gè)五、1個(gè)一，用五進(jìn)制表示是31（5），4個(gè)五、3個(gè)一，用五進(jìn)制表示是43（5）。根據(jù)前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)面對(duì)“6個(gè)五、2個(gè)一”用五進(jìn)制表示時(shí)，所有學(xué)生的答案都是62（5），而62（5）是一個(gè)錯(cuò)誤的答案。一石激起千層浪，這時(shí)教師適時(shí)地安排了學(xué)生獨(dú)立思考與小組討論，給學(xué)生進(jìn)入深入思維狀態(tài)提供了時(shí)間和空間。從一個(gè)學(xué)生的頓悟到小組學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，似乎可以聽(tīng)到學(xué)生思維拔節(jié)生長(zhǎng)的聲音。

師：剛才這道題，一開(kāi)始全班同學(xué)都認(rèn)為是62（5），看來(lái)都掉進(jìn)了陷阱，說(shuō)明我們有必要對(duì)五進(jìn)制計(jì)數(shù)法重新認(rèn)識(shí)。

（課件出示計(jì)數(shù)器。逐個(gè)出示1～4個(gè)彈珠，讓學(xué)生口答。當(dāng)出示5個(gè)彈珠時(shí)，讓學(xué)生記在本子上，如圖5）

圖5

生：10（5）（讀作一零）。

師：你知道這里的1表示1個(gè)幾嗎？

生：表示1個(gè)五。

（師板書(shū)：滿(mǎn)五進(jìn)一。5個(gè)5個(gè)呈現(xiàn)，讓學(xué)生口答。當(dāng)呈現(xiàn)25個(gè)時(shí)，讓學(xué)生寫(xiě)一寫(xiě)）

生：100（5）（讀作一零零）。

師：你知道這里的1表示1個(gè)幾嗎？

生：1個(gè)百。

生：1個(gè)五十。

師：看來(lái)，這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)難，請(qǐng)四人小組討論一下。

生：1表示1個(gè)二十五。

師：你怎么知道的？

生：因?yàn)橛?個(gè)五，所以是二十五。

生：還可以從圖上看出來(lái)，正好圈了25顆彈珠。

師：你們觀(guān)察得很仔細(xì)。剛才我們發(fā)現(xiàn)五進(jìn)制右邊起第一位的計(jì)數(shù)單位是一，第二位的計(jì)數(shù)單位是五，第三位的計(jì)數(shù)單位是二十五，那你知道第四位的計(jì)數(shù)單位會(huì)是多少嗎？同桌討論一下。

生：我覺(jué)得是一百二十五。

生：我也認(rèn)為是一百二十五，我發(fā)現(xiàn)每次都乘5。

師：你們太厲害了，五進(jìn)制相鄰的計(jì)數(shù)單位進(jìn)率都是5。

［課件繼續(xù)呈現(xiàn)彈珠，累加下去，直到32顆彈珠全部完成，用五進(jìn)制表示是112（5）］

師：在剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)五進(jìn)制用到了哪幾個(gè)數(shù)字？

生：用到0、1、2、3、4，用到5個(gè)數(shù)字。

師：為什么沒(méi)有5呢？

生：因?yàn)榈?就滿(mǎn)五該進(jìn)一了，所以5用不著。

[評(píng)析]學(xué)生要接受十進(jìn)制“滿(mǎn)十進(jìn)一”、五進(jìn)制“滿(mǎn)五進(jìn)一”并不困難，但要真正理解在用不同進(jìn)位制表示數(shù)時(shí)，不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的值，卻是件不容易的事。教師通過(guò)彈珠圖與計(jì)數(shù)器的對(duì)照，遇到5顆、25顆時(shí)還讓學(xué)生用五進(jìn)制計(jì)數(shù)法寫(xiě)一寫(xiě)，同學(xué)之間議一議，這是有意識(shí)地延長(zhǎng)學(xué)生的體驗(yàn)過(guò)程，幫助學(xué)生建構(gòu)五進(jìn)制數(shù)的計(jì)數(shù)單位。

三、在五進(jìn)制學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)二進(jìn)制計(jì)數(shù)法

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生：我知道了五進(jìn)制計(jì)數(shù)法是滿(mǎn)五進(jìn)一。

生：我還知道五進(jìn)制計(jì)數(shù)法只用到數(shù)字0、1、2、3、4。

師：你還有什么問(wèn)題？

生：數(shù)學(xué)上除了十進(jìn)制和五進(jìn)制，還有幾進(jìn)制計(jì)數(shù)法？

師：?jiǎn)柕谜婧?，還有幾進(jìn)制計(jì)數(shù)法，你們誰(shuí)知道？

生：二進(jìn)制。

生：十二進(jìn)制、二十四進(jìn)制。

生：六進(jìn)制、七進(jìn)制、八進(jìn)制……

師：看來(lái)大家數(shù)學(xué)課外知識(shí)很豐富。那我們選二進(jìn)制來(lái)研究一下吧。請(qǐng)你根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)，想一想：二進(jìn)制會(huì)是滿(mǎn)幾進(jìn)一？會(huì)用到哪幾個(gè)數(shù)字？每個(gè)數(shù)位上的計(jì)數(shù)單位又分別是多少？

圖6

（學(xué)生思考后同桌交流）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你的想法？

生：是滿(mǎn)二進(jìn)一，因?yàn)槭M(jìn)制滿(mǎn)十進(jìn)一，五進(jìn)制是滿(mǎn)五進(jìn)一，所以二進(jìn)制就是滿(mǎn)二進(jìn)一。

生：會(huì)用到0、1，因?yàn)槭M(jìn)制用到的數(shù)字是0～9，五進(jìn)制是0～4，那么二進(jìn)制應(yīng)該是0～1。

生：二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位是一、二、四、六、八、十。

生：不對(duì)，應(yīng)該是一、二、四、八、十六。

師：你們同意誰(shuí)的？說(shuō)明理由。

生：同意第二位同學(xué)的，因?yàn)槭M(jìn)制的計(jì)數(shù)單位，每次都乘10，五進(jìn)制每次都乘5，所以二進(jìn)制應(yīng)該是每次都乘2。

師：同學(xué)們的推理能力都很強(qiáng)。那你知道二進(jìn)制有什么用嗎？

[播放視頻：二進(jìn)制在電腦中的應(yīng)用（科普中國(guó)）]

[評(píng)析]由于有了十進(jìn)制、五進(jìn)制的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，加之對(duì)于二進(jìn)制學(xué)生并不完全陌生，所以很容易理解“滿(mǎn)二進(jìn)一”，也不難推理得出二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位。

四、課堂小結(jié)和拓展

（簡(jiǎn)單介紹十二進(jìn)制和六十進(jìn)制）

[評(píng)析]本課教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生體會(huì)到用不同的進(jìn)位制表示數(shù)時(shí)，計(jì)數(shù)單位不同，相同數(shù)位上的數(shù)字所表示的數(shù)值也不同。其目的并不是要求學(xué)生掌握用多種進(jìn)位制來(lái)表示數(shù)，更不要求學(xué)生能熟練地進(jìn)行不同進(jìn)位制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。教學(xué)的核心目標(biāo)是通過(guò)其他進(jìn)位制的學(xué)習(xí)，更好地認(rèn)識(shí)十進(jìn)制，理解計(jì)數(shù)法的基本原理——位值制和進(jìn)位制。