陳芳群

摘 要：本文就復(fù)習(xí)二元一次方程組為例，以引導(dǎo)預(yù)習(xí)、意在診斷、形成討論、促進(jìn)知識(shí)體系形成的數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計(jì)進(jìn)行一些實(shí)踐探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)作業(yè)；設(shè)計(jì)

教師布置一般的作業(yè)多為統(tǒng)一布置，忽視個(gè)體差異，功能單一，過(guò)于倚重訓(xùn)練，意圖不明，事先未加篩選，有時(shí)過(guò)于功利，背離了學(xué)習(xí)意義，加上在批改和講評(píng)方法上實(shí)效性不高，有時(shí)還題量過(guò)多、形式枯燥、內(nèi)容偏難偏怪等，導(dǎo)致學(xué)生厭煩。另外，作業(yè)的不同設(shè)置會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒，進(jìn)而影響他們理解能力的提高。因此，數(shù)學(xué)作業(yè)要精心設(shè)計(jì)，依據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平安排訓(xùn)練內(nèi)容，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)作業(yè)的功能。尤其在復(fù)習(xí)課時(shí)，更要善于把那些來(lái)自學(xué)生、來(lái)自課堂教學(xué)過(guò)程中的問(wèn)題編入作業(yè)中去。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，作業(yè)應(yīng)該是緊扣新課標(biāo)的有效作業(yè)，是適合自己的學(xué)生的作業(yè)，是有引導(dǎo)預(yù)習(xí)、意在診斷、形成討論、促進(jìn)知識(shí)體系形成的作業(yè)，以通過(guò)作業(yè)達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、開(kāi)拓思維、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的目的。本文以復(fù)習(xí)二元一次方程（組）解法為例談?wù)勛鳂I(yè)設(shè)計(jì)。

一、引導(dǎo)預(yù)習(xí)的作業(yè)設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

課堂導(dǎo)入作業(yè)的設(shè)計(jì)應(yīng)該要以教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生已有的認(rèn)知水平，教師自身的優(yōu)勢(shì)為依據(jù)。學(xué)生新授課時(shí)已學(xué)習(xí)了二元一次方程組的基本套路是消元，把二元轉(zhuǎn)化為一元，代入消元法和加減消元法是最基本的兩種方法。本節(jié)復(fù)習(xí)課是要進(jìn)一步研究二元一次方程組的解法，然而兩種基本解法仍是我們研究二元一次方程組新解法的重要理論依據(jù)。為了打好這個(gè)基礎(chǔ)，我為學(xué)生設(shè)計(jì)了引導(dǎo)預(yù)習(xí)的作業(yè)。

案例1：解方程組2x+3y=73x+2y=8

通過(guò)此題復(fù)習(xí)鞏固兩種基本解法（大部分學(xué)生會(huì)用代入法或加減法）。利用一個(gè)方程組引出兩種解法，直觀對(duì)比。并歸納化歸思想，使學(xué)生在腦子里形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和解題思想。等學(xué)生解完后我又提問(wèn)：

運(yùn)用剛才的方法你能求出方程組361x+463y=-102463x+361y=102的解嗎？

學(xué)生很快意識(shí)到若繼續(xù)用基本方法去求x、y的值將會(huì)是一個(gè)非常麻煩的過(guò)程。于是激起了學(xué)生的好奇心，想要去尋找一個(gè)行之有效的方法，同時(shí)也感受到了學(xué)習(xí)新知的需要。這樣引出課題為接下來(lái)的探究學(xué)習(xí)做好了情緒上的準(zhǔn)備。

新解方程組2x+3y=73x+2y=8

引導(dǎo)學(xué)生探究新解法，讓他們深入分析這個(gè)方程組的結(jié)構(gòu)特征，并結(jié)合消元思想尋找它們之間的聯(lián)系。兩個(gè)方程相加化簡(jiǎn)后可得x+y=3，第二個(gè)方程減第一個(gè)方程可得x-y=1。

于是原方程組的同解方程組為x+y=3x-y=1 易得x=2y=1

通過(guò)此解法的探究讓學(xué)生知道加減法的作用不僅僅是消元，還能把方程組化為更加簡(jiǎn)單的同解方程組，使運(yùn)算簡(jiǎn)便提高解題的速度和正確率，感受到了消元的靈活多變，剛才不會(huì)解的方程組也迎刃而解了，激起了學(xué)生繼續(xù)探究的愿望。

案例2：解方程組■=■4x+3y=14

C類(lèi)學(xué)生：用代入消元法或加減消元法求解；

B類(lèi)學(xué)生：用代入消元法或加減消元法求解，思考新解法；

A類(lèi)學(xué)生：嘗試尋找新解法。

此題對(duì)于B類(lèi)、C類(lèi)學(xué)生而言是再次鞏固基本解法，讓A類(lèi)學(xué)生探索新解法（引導(dǎo)運(yùn)用引參法：把第一個(gè)方程的比值設(shè)為K，把X、Y都用K表示出來(lái)，再代入第二個(gè)方程求出K，從而求出X、Y的值）。

（A、B、C類(lèi)學(xué)生是按照學(xué)生平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)能力進(jìn)行分層的。）

預(yù)習(xí)作業(yè)的設(shè)計(jì)是考慮到每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同，遵循以人為本、因材施教的原則，對(duì)不同的學(xué)生提出不同的作業(yè)要求。本節(jié)復(fù)習(xí)課就是要讓學(xué)生靈活掌握代入消元和加減消元這兩種消元方法。二元一次方程組問(wèn)題非常容易和一元一次方程、函數(shù)解析式、函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo)等問(wèn)題整合，作為一種常用工具學(xué)生需熟練掌握。此作業(yè)能夠面向全體學(xué)生，能在比較輕松的解題過(guò)程中鞏固這兩種方法，為整節(jié)課作好開(kāi)路先鋒。

二、意在診斷的作業(yè)設(shè)計(jì)，促使學(xué)生知識(shí)的理解

對(duì)知識(shí)沒(méi)有理解就不能從本質(zhì)上把握知識(shí)，只能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。反之，能夠抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，就能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決一些綜合性的問(wèn)題，從而表現(xiàn)出運(yùn)用知識(shí)的靈活性。隨著初中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的不斷深入，數(shù)學(xué)的抽象性越來(lái)越強(qiáng)，許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也只是停留在表面不夠深入，要想改變這種現(xiàn)狀，教師在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)要注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

案例3：解方程組2（x+y）-3（x-y）=34（x+y）+3（x-y）=15

C類(lèi)學(xué)生：選擇自己喜歡的方法求解；

B類(lèi)、A類(lèi)學(xué)生：利用消元思想尋找更加簡(jiǎn)便的求解方法。

根據(jù)方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，讓B類(lèi)A類(lèi)學(xué)生探索用整體代入（換元）法求解。不同同學(xué)在課堂上采用了基本解法求解，加減消元化為更簡(jiǎn)單的同解方程組來(lái)求解，以及利用換元化成兩個(gè)簡(jiǎn)單的方程組來(lái)求解等方法。不同的解法反映了學(xué)生對(duì)消元思想不同層次的理解。無(wú)論運(yùn)用整體代入解法還是運(yùn)用換元的方法都是比較簡(jiǎn)便的解法，這種方法突破了學(xué)生循規(guī)蹈矩、按部就班的思維定式，但又借助于代入消元法和加減消元法的基本原理，認(rèn)真分析觀察了方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用整體代入，同樣達(dá)到了消元的目的，這樣能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，充分體現(xiàn)了思維遷移的靈活性。

三、形成討論的作業(yè)設(shè)計(jì)，促使學(xué)生學(xué)習(xí)的合作

小組合作可以促進(jìn)學(xué)生之間的相互交流協(xié)作，可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)、團(tuán)隊(duì)精神，可以在互補(bǔ)促進(jìn)中得到共同提高。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)討論性的作業(yè)是一個(gè)很好的選擇，拓寬學(xué)生學(xué)習(xí)的空間，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生發(fā)表自己的看法，在參與學(xué)習(xí)的活動(dòng)中得到愉悅的情感體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的智力因素和非智力因素的共同發(fā)展。為此，我給出的討論性作業(yè)設(shè)計(jì)如下：

案例4：用消元的思想我們可以求得二元一次方程組的解，你能求出關(guān)于x，y的方程組mx+y=42x+5y=8的解嗎？

幾分鐘后同學(xué)們開(kāi)始躍躍欲試交流結(jié)果。

生1：我用代入消元法求出這個(gè)方程組的解為x=■y=■。

生2：我用加減消元法也求出了這個(gè)解，這個(gè)解應(yīng)該是正確的。

生3：我認(rèn)為這個(gè)方程組的解要分兩種情況討論，當(dāng)2-5m≠0時(shí)，方程組才是這個(gè)解；當(dāng)2-5m=0時(shí)，這個(gè)方程組無(wú)解。

開(kāi)展討論目的是讓學(xué)生運(yùn)用消元的基本方法解含有參數(shù)的二元一次方程組，并與一元一次方程結(jié)合根據(jù)一元一次方程ax=b的解的情況，對(duì)二元一次方程組的解進(jìn)行分類(lèi)。由此，我們發(fā)現(xiàn)并不是所有二元一次方程組都有唯一解。二元一次方程組的解的情況與系數(shù)又有什么關(guān)系呢？教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探索案例5。

案例5：關(guān)于x，y的方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)滿(mǎn)足什么條件唯一解？無(wú)解？無(wú)數(shù)解？

通過(guò)小組間的交流合作，探究。同學(xué)們得出結(jié)論：當(dāng)■=■=■時(shí)方程組有無(wú)數(shù)解；當(dāng)■=■≠■時(shí)方程組無(wú)解；當(dāng)■≠■時(shí)方程組有唯一解。

結(jié)合一次函數(shù)、二元一次方程組的解就是兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，無(wú)解就是兩條直線平行，無(wú)數(shù)解就是兩條直線重合，唯一解就是兩條直線相交。這就為以后求解一次函數(shù)的圖像交點(diǎn)坐標(biāo)找到了解決問(wèn)題的途徑和方法，也理解了這種方法的合理性和學(xué)習(xí)的必要性。學(xué)生從中學(xué)到了獲取知識(shí)的方法，既鍛煉了能力又培養(yǎng)了興趣。

四、體系形成的作業(yè)設(shè)計(jì)，推動(dòng)學(xué)生知識(shí)的整理

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中掌握有效清晰的知識(shí)體系，有助于遇到題目時(shí)迅速有效地進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的提取，迅速地對(duì)題目作出判斷。因而，我們教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)，把所學(xué)的新知識(shí)進(jìn)行梳理歸納，以加深對(duì)所學(xué)新知識(shí)的理解，從而促進(jìn)學(xué)生多角度思考，多途徑解決問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)能力。這就能使學(xué)生進(jìn)一步深化知識(shí)，靈活運(yùn)用知識(shí)將起到很好的推進(jìn)作用。

案例6：解方程組x+y-z=1y+z-x=5z+x-y=11你有幾種不同的解法？

學(xué)生們用代入消元法或者加減消元法都得到了方程組的解，并把自己的解法和同學(xué)們開(kāi)展了交流，在作業(yè)訓(xùn)練中把數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維展現(xiàn)出來(lái)了，學(xué)生的解法都非常精彩。

生1：我用常規(guī)的代入消元法把三元一次方程組化為二元一次方程組就可求出這個(gè)方程組的解。

生2：我運(yùn)用了加減消元法，把第一個(gè)方程加上第二個(gè)方程求出了y的解，把第二個(gè)方程加第三個(gè)方程求出了z的解，第一個(gè)方程加第三個(gè)方程求出了x的解。

生3：我把三個(gè)方程相加得到新的方程x+y+z=17，再運(yùn)用整體消元的方法把新方程減第一個(gè)方程可求z的解，把新方程減第二個(gè)方程可求x的解，把新方程減第三個(gè)方程可求y的解……

學(xué)生們用多種方法解出了這道題，相信他們對(duì)消元的思想有了更深刻認(rèn)識(shí)。這類(lèi)作業(yè)設(shè)計(jì)主要來(lái)源于一個(gè)章節(jié)結(jié)束后的整理復(fù)習(xí)，在每節(jié)新授結(jié)束后都可用，重在對(duì)本節(jié)的知識(shí)進(jìn)行重新梳理，旨在形成清晰的脈絡(luò)，從而為學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。

通過(guò)實(shí)踐探討，我認(rèn)為科學(xué)合理的作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)著眼于學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，著眼于學(xué)生的發(fā)展，滿(mǎn)足不同需求的學(xué)生。這對(duì)教師來(lái)說(shuō)是一個(gè)創(chuàng)造性的行為，需要教師有比較深厚的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)。

當(dāng)然，學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力是有差異的，我們的作業(yè)設(shè)計(jì)力求盡可能地滿(mǎn)足所有學(xué)生的需求。新課標(biāo)倡導(dǎo)的是人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，作業(yè)有層次性才能讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，才有創(chuàng)造成功的可能。特別是學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生更要給他們提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功機(jī)會(huì)，更要鼓勵(lì)他們用自己的方式方法去解決問(wèn)題，要盡力去幫助他們逐步樹(shù)立學(xué)習(xí)信心，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

教師要設(shè)計(jì)與課堂教學(xué)相融的作業(yè)，減少不必要的重復(fù)性，以承載學(xué)習(xí)內(nèi)容、體現(xiàn)學(xué)習(xí)方式、實(shí)施過(guò)程性評(píng)價(jià)，為學(xué)生布置高質(zhì)量的作業(yè)題，才能引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展自主學(xué)習(xí)，才能融會(huì)到學(xué)習(xí)的全過(guò)程中，使課堂體現(xiàn)自主、合作、探究等學(xué)習(xí)方式，也就促使教師借作業(yè)研究帶動(dòng)備課改進(jìn)，從“教學(xué)設(shè)計(jì)”轉(zhuǎn)向“學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)”。

參考文獻(xiàn)：

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3.鄭娜.例談初中數(shù)學(xué)作業(yè)的分類(lèi)教學(xué).杭州教育[J].2017

（作者單位：浙江省杭州市臨安區(qū)於潛第二初級(jí)中學(xué)）