柳建鋒

一、背景介紹

相似三角形作為中考題的重要組成部分，是因?yàn)樗粌H可以考查學(xué)生對(duì)圖形相似的認(rèn)識(shí)有多深刻，并且又利于學(xué)生對(duì)以前學(xué)過(guò)的全等三角形知識(shí)進(jìn)行鞏固和提高。正是由于這種綜合性的特點(diǎn)，決定了相似三角形在中考中的重要地位。而在能力培養(yǎng)上，無(wú)論是邏輯思維能力，推理論證能力，還是分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，都可在全等三角形、相似三角形的教學(xué)中得以培養(yǎng)和提高。為此，我在設(shè)計(jì)這節(jié)課的時(shí)候，以學(xué)生為主體，讓他們?nèi)娴貐⑴c到學(xué)習(xí)過(guò)程中來(lái)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)的能力，來(lái)提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

二、課堂實(shí)錄及點(diǎn)評(píng)

片段一：典例探析

若等腰三角形的頂角∠A=108°，BC=a，AB=b，BD平分∠B交AC于D，則AD=______。（這道題沒(méi)有給出圖形）

生：在線段BC上取點(diǎn)E，使BA=BE，連結(jié)ED（圖1）

■

∵∠DBA=∠DBE，BD=BD

∴△DBA≌△DBE

∠DEB=∠A=108°

∴∠CED=72°

又∵AB=AC∠A=108°

∴∠C=∠CBA=36°

∴∠EDC=∠DEC=72°

∴CD=CE

∵BE=BA=b BC=a

∴CD=CE=a-b

∴AD=AC-CD=2b-a

師：肯定、表?yè)P(yáng)這位學(xué)生的思路及推理論證能力。利用在較長(zhǎng)線段上截取BE=BA，來(lái)構(gòu)造一對(duì)全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)得出角相等，推出△CDE為等腰三角形，從而得到AD的長(zhǎng)度。

師：接著問(wèn)，除了截長(zhǎng)這種方法外，還有類(lèi)似的方法嗎？

學(xué)生開(kāi)始積極思考起來(lái)，不一會(huì)兒，另一學(xué)生站了起來(lái)。

生：我還有一種方法，延長(zhǎng)線段BA至E（圖2），使BE=BC，連結(jié)DE，則

■

△EBD≌△CBD

∴DE=DC∠E=∠C=36°

∵∠BAC=108°

∴∠DAE=72°

∴∠ADE=∠DAE=72°

∴ED=EA=a-b

∴DC=DE=a-b

∴AD=b-（a-b）=2b-a

師：很好，這位同學(xué)主要利用延長(zhǎng)BA到E，使BE=BC，連結(jié)DE來(lái)構(gòu)造一對(duì)全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)得出角相等，推出△EAD為等腰三角形，得到EA=ED=CD，從而得到AD的長(zhǎng)度。

我的教學(xué)目的就是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，通過(guò)此例的兩種證法，可以說(shuō)達(dá)到了教學(xué)目的。正當(dāng)我準(zhǔn)備講下一個(gè)例題時(shí)，沒(méi)有想到突然又有一位學(xué)生舉手了。

片段二：學(xué)生質(zhì)疑

生：如圖3，設(shè)AD=x，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

■

∴∠E=∠ABD=∠CBD

∴CE=BC=a

∵CE∥AB

∴△ABD～△CED

∴AB/CE=AD/CD

∴b/a=x/（b-x）

∴x=b2/（a+b）

∴AD=b2/（a+b）

師：利用平行，構(gòu)造相似三角形，從而求出答案，很好，還有其他解法。

生：如圖4，設(shè)AD=x，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E

■

∴∠BDE=∠CBD=∠DBE=18°

∴DE=BE

∵DE∥BC

∴∠AED=∠ABC=36°

∠ADE=∠ACB=36°

∴∠AED=∠ADE

∴AE=AD=x

∴BE=b-x

∴DE=BE=b-x

∵DE∥BC

∴DE/BC=AD/AC

（b-x）/a=x/b

∴x=b2/（a+b）

∴AD=x=b2/（a+b）

生：我還有另一種證法，如圖5。設(shè)AD=x，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E

■

∴∠BDE=∠ABD=∠DBE=18°

∴BE=DE

∵DE∥AB

∴∠CED=∠ABC=36°=∠C

∴DE=CD=b-x

∴BE=DE=b-x

∴CE=a-b+x

∵DE∥AB

∴CD/AC=CE/BC

（b-x）/b=（a-b+x）/a

x=b2/（a+b）

∴AD=b2/（a+b）

學(xué)生的反應(yīng)出乎我意外，沉默了一會(huì)兒，又有學(xué)生舉手了。

生：如圖6，延長(zhǎng)BC至E，使CE=AC=b

■

∴∠E=∠CAE=（1/2）∠ACB=18°=∠CBD

∴BE=a+b

∵∠ABE=∠BCD=36°

∴△ABE～△DCB

∴AB/CD=BE/BC

∴b/（b-x）=（a+b）/a

∴AD=x=b2/（a+b）

師：太好了。

突然之間，我看到了答案并不一樣，但我發(fā)現(xiàn)整個(gè)學(xué)生的證明過(guò)程沒(méi)有一點(diǎn)錯(cuò)誤，同一道題有兩種不同的結(jié)果，這也超出了我的預(yù)料，于是我接著又問(wèn)學(xué)生了。

師：同學(xué)們有沒(méi)有察覺(jué)到有兩個(gè)結(jié)果，這是怎么回事？難道是我們分析錯(cuò)誤了嗎？氣氛一下子沉悶起來(lái)了。

片段三：分析原因

生：我認(rèn)為兩種答案都正確，只是a和b存在著某種關(guān)系。

師：那a和b有怎么樣的關(guān)系呢？

生：剛才同學(xué)們的分析都是正確的，只不過(guò)結(jié)論的呈現(xiàn)形式不同而已，所以我們只要列等式2b-a=■即可?？梢酝ㄟ^(guò)化簡(jiǎn)，得b2=a2-ab.，就能找到a和b的關(guān)系。

師：同學(xué)們認(rèn)為呢？

生：是的。

剛剛安靜下來(lái)，突然又有一位同學(xué)舉手了。

生：老師，本題屬于條件多余。

教室里一下子安靜下來(lái)了。

師：你能說(shuō)說(shuō)條件到底多在哪？

生：對(duì)于頂角固定的等腰三角形來(lái)說(shuō)，只要知道其中一腰或一底邊，就能確定此等腰三角形。

師：同學(xué)們覺(jué)得怎么樣？（我頓時(shí)豁然開(kāi)朗）

教室里頓時(shí)響起了掌聲。

師：及時(shí)肯定該學(xué)生。

師：有一個(gè)角是108度的等腰三角形形狀已定，所以只需再固定一邊就可以確定三角形，而本題給出了兩條邊的長(zhǎng)度，所以最后就出現(xiàn)了兩種答案，當(dāng)然這只是不同的表現(xiàn)形式，結(jié)果是一致的。

片段四：?jiǎn)栴}延伸

趁學(xué)生的興趣正濃時(shí)，我預(yù)感到上述結(jié)論還有別的證法，于是我接著問(wèn)：我們還有沒(méi)有別的方法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論呢（b2=a2-ab）？

考慮到問(wèn)題相對(duì)復(fù)雜，我先讓學(xué)生自主探索，再進(jìn)行合作交流，同時(shí)開(kāi)展小組之間競(jìng)爭(zhēng)。小組成員共同努力，相互合作，教師則觀察各組的活動(dòng)，對(duì)小組所遇到的困惑及時(shí)引導(dǎo)、鼓勵(lì)，對(duì)差一點(diǎn)的小組直接參與合作，整體把握各組的進(jìn)展情況，交流的氣氛是積極的，不久學(xué)生得出了結(jié)論。

生：如圖7，在線段BC上取點(diǎn)D，使CD=CA=b

■

∴BD=BC-CD=a-b

∵∠C=36°

∴∠ADC=72°

∴∠BAD=∠B=36°=∠C

∴△ABD～△CBA

∴AB/BC=BD/AB

∴b/a=（a-b）/b

∴b2=a2-ab

沒(méi)等這位學(xué)生說(shuō)完，另一位學(xué)生舉手了。

生：如圖8，我還有另一種證法，就是延長(zhǎng)BA，截取BD=BC。連結(jié)DC，可證∠D=∠BCD=72°。從而可得△DCA∽△DBC。

■

∴DC/DA=DB/DC

∴b/（a-b）=a/b

∴b2=a2-ab

生：如圖9，，作∠BCD=108°，與線段BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，從而可得△ABC∽△CBD。

■

∴AB/BC=BC/BD

∴b/a=a/（a+b）

∴b2=a2-ab

同學(xué)們的發(fā)言越來(lái)越激勵(lì)

師：及時(shí)肯定學(xué)生的想法，表?yè)P(yáng)、贊賞。

師：你們能講講你們的思路嗎？

生：要證明b2=a2-ab.只要把式子化為b2=a（a-b），即■=■，然后構(gòu)造出一對(duì)適當(dāng)?shù)南嗨迫切?，即可得證。（總結(jié)一下形如b2=a2-ab.的證明方法）

太棒了！

我想借此機(jī)會(huì)把這道題再深掘一下，讓學(xué)生對(duì)這道題有更深的印象。

師：同學(xué)們，從剛才的所得結(jié)論中，你們是否又有新的發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)同學(xué)們一起討論一下。

課堂氣氛一下子又活躍起來(lái)，沒(méi)過(guò)多久其中一位同學(xué)舉手了。

生：借助a，b的數(shù)關(guān)系，我們能求出cos36°的值。

師：說(shuō)說(shuō)你的想法。

生：如圖10，作AM⊥BC于M，則BM=MC=■a由上述結(jié)論b2=a2-ab，

■

得a2-ab-b2=0，則a=■b.

則a>0，∴a=■b，

∴cos36°=■=■=■.

師：真棒。本題是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn)，我們可以通過(guò)構(gòu)造一些幾何圖形，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到事半功倍的效果。

生：我們也可以求sin36°的值。

師：太好了！

……

三、課后思考

縱觀整節(jié)課，雖然我沒(méi)有完成事先預(yù)定的教學(xué)計(jì)劃，但是我和我的學(xué)生在這節(jié)課上都有較大的收獲。學(xué)生從中學(xué)習(xí)了提出問(wèn)題、探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法。對(duì)這節(jié)課我有下面幾點(diǎn)反思：

亮點(diǎn)1：注重“學(xué)為中心”的教學(xué)理念。這節(jié)課十分清楚地呈現(xiàn)了“以學(xué)為中心”的教學(xué)思想，不僅讓學(xué)生從已有知識(shí)和觀念開(kāi)始，讓學(xué)生以研究的方式來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓教師服務(wù)于學(xué)生，更重要的一點(diǎn)是，始終讓課堂上充盈著學(xué)生的“聲音”，并在互動(dòng)交流中提醒學(xué)生，在這樣的活動(dòng)中，學(xué)生不僅能主動(dòng)獲取知識(shí)，而且能不斷豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。在思考中學(xué)會(huì)自主編題，學(xué)生學(xué)習(xí)自主性被最大程度體現(xiàn)，最后編制出的問(wèn)題類(lèi)似于中考題，激發(fā)學(xué)生在題源下從結(jié)論、條件、方式方法下進(jìn)行各種創(chuàng)新。

亮點(diǎn)2：這的確是一堂節(jié)外生枝的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，筆者原本準(zhǔn)備了5個(gè)例題，然而在分析例1時(shí)就出現(xiàn)了種種問(wèn)題，讓筆者始料不及，可貴的是筆者及時(shí)調(diào)整教學(xué)思路，改變教學(xué)方式，圍繞學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題展開(kāi)探究。這樣的教學(xué)過(guò)程不僅滿足了學(xué)生的探究欲望，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給了學(xué)生，生成了新型的師生關(guān)系，還讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神和動(dòng)手操作能力。新課程理念下的數(shù)學(xué)課堂，立足于“一切為了學(xué)生的終身發(fā)展”的根本目的，以真實(shí)有效、互動(dòng)生成為特色，具有不可預(yù)設(shè)性、不可復(fù)制性。在教學(xué)中許多問(wèn)題是無(wú)法預(yù)設(shè)的，因?yàn)閷W(xué)習(xí)活動(dòng)的主體是學(xué)生，他們的思維與成人有一定距離，并且每個(gè)學(xué)生的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、思維、靈感、興趣都不盡相同，因此學(xué)習(xí)活動(dòng)中會(huì)呈現(xiàn)出豐富性、多變性和復(fù)雜性，就是我們平常所說(shuō)的“非預(yù)設(shè)生成”。筆者深刻體會(huì)到非預(yù)設(shè)性生成是學(xué)生智慧與創(chuàng)造力的最佳體現(xiàn)，教師教學(xué)中面臨著嚴(yán)峻的考驗(yàn)和艱難的抉擇，如果引導(dǎo)得當(dāng)，會(huì)使教學(xué)富有靈性，彰顯智慧。

（作者單位：浙江省余姚市高風(fēng)中學(xué)）