王國杰，季家威，常軍

(蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011)

0 引言

預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)應(yīng)用范圍非常廣泛。在建筑工程中，預(yù)應(yīng)力技術(shù)是建造大跨度、大開間結(jié)構(gòu)的重要技術(shù)，也是建造高層和轉(zhuǎn)換層等承受特種荷載結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵技術(shù)。在公路工程中，預(yù)應(yīng)力技術(shù)是解決路面混凝土開裂的有效手段[1]。在橋梁和隧道工程中，由于預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)有利于承受動荷載，可以充分利用高強材料減輕結(jié)構(gòu)自重[2]，自20世紀(jì)50年代以來，我國絕大部分大型橋梁使用了預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)。目前我國在役的預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁，由于混凝土徐變以及預(yù)應(yīng)力筋松弛等原因普遍存在較大的預(yù)應(yīng)力損失，嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的正常工作。故評估結(jié)構(gòu)的有效預(yù)應(yīng)力是預(yù)應(yīng)力橋梁檢測的重要部分[3]。已有的檢測預(yù)應(yīng)力損失的技術(shù)，如鋼筋應(yīng)力緩釋孔技術(shù)(SSRHT)、形狀記憶合金技術(shù)等，為有損檢測方法，對結(jié)構(gòu)不利。無損檢測技術(shù)，如聲發(fā)射技術(shù)等的識別精度有待于進一步提高[4]。而基于結(jié)構(gòu)自振頻率的動力檢測技術(shù)則能有效避免上述不足[5]。

國內(nèi)外許多專家學(xué)者在預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析領(lǐng)域取得了一定的成果[6]。Saiidi、李瑞鴿、劉齡嘉等[7-10]通過試驗證明混凝土簡支梁的自振頻率隨著預(yù)應(yīng)力值的增大而增大，這種變化趨勢與理論計算有差異，導(dǎo)致通過結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別結(jié)構(gòu)的有效預(yù)應(yīng)力存在困難。為了建立結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)與預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)損傷的精確關(guān)系，進而采用結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別預(yù)應(yīng)力損失，本文引入結(jié)構(gòu)非線性，研究預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的數(shù)值模擬和試驗研究結(jié)果的差異性。

1 考慮幾何非線性的預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)數(shù)值分析

1.1 非線性分析理論

ABAQUS有限元軟件采用Newton迭代法、修正的Newton迭代法、Quasi-Newton法作為求解非線性平衡方程的數(shù)值方法。

線性分析是指施加的荷載與結(jié)構(gòu)的響應(yīng)之間為線性關(guān)系，即荷載增量df與位移增量dx的比值為常數(shù)。在線性有限元分析中，結(jié)構(gòu)的柔度矩陣只需要求解一次，剛度矩陣只需要對柔度矩陣求逆，所以結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是始終不變的。

在工程計算中，線性分析只是為了計算方便，在滿足計算精度的情況下對非線性行為進行近似。非線性結(jié)構(gòu)的剛度是隨著結(jié)構(gòu)的變形而變化的，非線性系統(tǒng)的響應(yīng)不是施加荷載的線性函數(shù)，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)不能再通過初始柔度矩陣乘以施加的荷載來計算，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣在分析過程中需要進行多次迭代，每一次迭代都伴隨剛度矩陣的變化。非線性分為幾何非線性、材料非線性[11]和邊界條件非線性。只要位移的大小影響到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)就會發(fā)生幾何非線性。結(jié)構(gòu)發(fā)生大的撓度或轉(zhuǎn)動、突然翻轉(zhuǎn)、受到初始應(yīng)力或荷載加強都會發(fā)生幾何非線性[12]。鑒于鋼梁材料的各向同性，故本文基于幾何非線性研究鋼梁的模態(tài)問題。

1.2 有限元模態(tài)分析理論

有限元軟件ABAQUS是在線性攝動(linear perturbation)的頻率分析步中進行結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析，分析采用式(1)的自由振動方程：

(1)

式中:x表示位移向量;[M]為質(zhì)量矩陣;[K]為剛度矩陣。

運用ABAQUS軟件進行模態(tài)分析時，將考慮預(yù)載引起的初始應(yīng)力和荷載剛度效應(yīng)，并在基態(tài)(base state)增量步繼承上一分析步結(jié)束時的剛度矩陣，這為預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析提供了條件。在預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的特征值提取過程中，頻率分析步是線性分析步，所有的外荷載、阻尼等非線性特性都會被忽略。雖然在頻率分析步打開了幾何非線性選項，但整個特征值提取過程是線性過程，幾何非線性作為分析的初始條件只是在基態(tài)增量步被考慮進去，而基態(tài)的幾何非線性來自于考慮幾何非線性的上一分析步。

在ABAQUS頻率分析步中，結(jié)構(gòu)的剛度都是基于初始狀態(tài)的剛度(即基態(tài)增量步的剛度)，若頻率分析步是第1個分析步，則結(jié)構(gòu)的剛度就是基態(tài)增量步的剛度；若頻率分析步之前是通用靜力分析步，則基態(tài)增量步的剛度會繼承通用靜力分析步的最后1個增量步的剛度。詳細(xì)非線性迭代過程見圖1。

圖1 非線性迭代過程

由圖1可知，若第1個分析步(靜力分析步)是線性的，正如線性分析理論所述，在迭代過程中，其剛度矩陣不會發(fā)生變化并且始終為K1。若第1個分析步(靜力分析步)是非線性的，其剛度矩陣會隨著迭代過程發(fā)生變化，從第1增量步的剛度K1變化到第n增量步的剛度Kn，則第2個分析步(頻率分析步)的初始剛度繼承靜力分析步的最后1個增量步的剛度Kn，這樣第1個分析步的非線性迭代過程使整體分析過程變成了非線性模態(tài)分析過程。

故預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析需要使用2個分析步，通用靜力分析步作為第1分析步用于施加預(yù)應(yīng)力，頻率分析步作為第2分析步用于提取自振頻率。這樣就可分析預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的自振頻率。

上述分析表明：模態(tài)描述的是結(jié)構(gòu)在一定狀態(tài)下的振動情況，與外荷載無關(guān)，但外荷載是改變結(jié)構(gòu)所處狀態(tài)的因素，當(dāng)狀態(tài)改變時，結(jié)構(gòu)的固有頻率也會隨之改變。故在對受初始應(yīng)力的結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析時，需要考慮初始應(yīng)力對結(jié)構(gòu)所處狀態(tài)的影響，即需要考慮初始應(yīng)力對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的初始變形。

1.3 理論分析模型

軸向力作用下各向同性材料的簡支梁會產(chǎn)生初始變形，設(shè)梁的運動符合彎曲變形的平截面假定,則梁的彎曲變形運動方程[13]為

(2)

式中:m表示分布質(zhì)量;x為梁上某點到梁左端的長度;u為梁上某點的豎向位移;P為作用在梁上的外力;EI為梁的抗彎剛度;N為軸向力或預(yù)應(yīng)力筋的拉力;t為時間。

根據(jù)簡支梁的邊界條件，求得考慮軸向力時簡支梁的自振頻率

(3)

式中：L為簡支梁的計算跨徑；n=1,2,…，∞。

將式(3)寫成

(4)

從式(4)可知，軸向力使結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化。N為軸向壓力且N小于屈曲荷載時，0≤α≤1，軸向力使結(jié)構(gòu)剛度減?。籒為軸向拉力時，α>1，軸向力使結(jié)構(gòu)剛度變大。

綜上，軸向力作為一種初始應(yīng)力改變了結(jié)構(gòu)的初始幾何狀態(tài)，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了幾何非線性，同時導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生相應(yīng)變化，最終使結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)發(fā)生相應(yīng)變化。

2 預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)差異性分析

2.1 預(yù)應(yīng)力簡支鋼梁的模態(tài)分析

本文選用王龍林[14]鋼梁試驗?zāi)Ｐ瓦M行有限元模擬和理論計算的對比分析，鋼梁的試驗布置如圖2所示。

圖2 試驗布置圖(單位：mm)

為了方便進行有限元模擬及理論計算，忽略型鋼倒角。鋼梁計算跨徑為1 800 mm，型鋼截面為20 mm×10 mm的方管截面，管壁厚1 mm。鋼梁材料為Q235，彈性模量E=2.1×105MPa，鋼梁的密度ρ=7 850 kg/m3。通過計算得到結(jié)構(gòu)關(guān)于橫軸的慣性矩Ix=898.667 mm4，橫截面積A=56 mm2，單位長度質(zhì)量m=ρA=7.85×10-9×56 t/mm =4.396×10-7t/mm。由式(3)求得簡支鋼梁的自振頻率見表1。

表1 各級荷載工況下結(jié)構(gòu)自振頻率的理論值

利用ABAQUS有限元軟件進行建模，單元選擇B31梁單元，兩端鉸接，材料屬性與理論計算相同，在模型的兩端對結(jié)構(gòu)施加軸向壓力來模擬預(yù)應(yīng)力效應(yīng)。有限元模型如圖3。

圖3 有限元模型

不考慮幾何非線性，施加不同等級的預(yù)應(yīng)力，有限元分析結(jié)果顯示：結(jié)構(gòu)的一、二、三階自振頻率分別為10.000、39.979、89.868 Hz。每一階自振頻率都不隨預(yù)應(yīng)力大小的改變而變化。

考慮幾何非線性，施加不同等級的預(yù)應(yīng)力，利用有限元軟件得到結(jié)構(gòu)在不同荷載工況下的頻率響應(yīng)，見表2。

表2 考慮幾何非線性結(jié)構(gòu)自振頻率的有限元計算值

對比可知，不考慮幾何非線性，有限元分析結(jié)果與理論計算結(jié)果不符?？紤]幾何非線性，有限元分析結(jié)果與理論計算結(jié)果基本一致：結(jié)構(gòu)的各階自振頻率隨著預(yù)應(yīng)力的增大而減小，特別地，預(yù)應(yīng)力達(dá)到574.3 N時，結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲失穩(wěn)，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的自振頻率為0。這說明考慮幾何非線性更能反映結(jié)構(gòu)在初始應(yīng)力狀態(tài)下的模態(tài)參數(shù)。

結(jié)合表1和表2，考慮幾何非線性，不同荷載工況下結(jié)構(gòu)自振頻率的理論計算值、有限元計算值與試驗值的對比分析見表3。

計算結(jié)果顯示，預(yù)應(yīng)力會使結(jié)構(gòu)的自振頻率發(fā)生改變。雖然在148.8 N荷載工況下結(jié)構(gòu)自振頻率的試驗值相對于前一工況有所增加，但整體上結(jié)構(gòu)的自振頻率是隨著預(yù)應(yīng)力的增大而減小。這說明，預(yù)應(yīng)力改變了結(jié)構(gòu)的初始幾何狀態(tài)，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了幾何非線性，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度減小，即預(yù)應(yīng)力使鋼梁發(fā)生了“壓力軟化”效應(yīng)[15]。

表3 考慮幾何非線性不同荷載工況下結(jié)構(gòu)的自振頻率對比

注：①試驗值只有一階頻率值，試驗值取HHT變換結(jié)果中最小頻率與最大頻率的平均值。

②對于結(jié)構(gòu)的一階頻率，以試驗值作為真實值。對于結(jié)構(gòu)的二階頻率和三階頻率，以理論值作為真實值。

③荷載574.3 N為由式(2)計算得到的屈曲荷載值。

對于結(jié)構(gòu)的一階頻率值，各個荷載工況下，理論計算值及有限元計算值與試驗值的誤差大小在1.37%～8.12%，除了第1個荷載工況誤差較大，其余工況誤差較小。誤差在可接受范圍內(nèi)。造成上述誤差的原因是：1)在進行理論計算和有限元分析時，沒有對實際結(jié)構(gòu)進行倒角處理，這相當(dāng)于增大了截面，造成結(jié)構(gòu)的剛度有所增大；2)存在不可避免的鋼梁制作誤差；3)理論計算及有限元模擬均忽略了結(jié)構(gòu)的重力，實際結(jié)構(gòu)在試驗中受到的豎直向下的重力對其自振頻率有一定影響。

2.2 預(yù)應(yīng)力混凝土梁的模態(tài)分析

本文基于張耀庭的試驗研究[16]進行了數(shù)值模擬，并將數(shù)值模擬結(jié)果與試驗結(jié)果進行對比，以探究預(yù)應(yīng)力對混凝土梁結(jié)構(gòu)頻率的影響。試驗梁的截面尺寸為b×h=120 mm×240 mm,梁長為3 900 mm，計算長度為3 700 mm,混凝土標(biāo)號為C40。采用1根7Φs5、1860級鋼絞線，其公稱截面面積為139 mm2。圖4為梁的構(gòu)造示意圖。

混凝土采用C3D8R單元，鋼筋采用T3D2兩節(jié)點線性三維桁架單元，考慮分析過程中的幾何非線性，忽略材料非線性，預(yù)應(yīng)力通過等效荷載法施加，采用有限元軟件建立結(jié)構(gòu)的有限元模型見圖5。

有限元計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比見表4。

(a)梁截面圖

(b)梁構(gòu)造示意圖圖4 梁構(gòu)造示意圖(單位：mm)

圖5 試驗梁的有限元模型

當(dāng)預(yù)應(yīng)力由0 kN 增加到120 kN，對于試驗結(jié)果，梁的一階頻率值從28.36 Hz增大到29.80 Hz，

表4 有限元結(jié)果與實驗結(jié)果對比

即頻率增加了1.44 Hz；二階頻率值由100.71 Hz增大到105.53 Hz，即頻率增大了4.82 Hz。對有限元結(jié)果，一階頻率由29.48 Hz減小到28.90 Hz，即頻率減小了0.58 Hz；二階頻率由81.05 Hz減小至80.28 Hz，即頻率減小了0.77 Hz?？傮w來看，預(yù)應(yīng)力簡支梁的自振頻率隨著預(yù)應(yīng)力的變化趨勢，試驗結(jié)果與有限元模擬結(jié)果剛好相反。發(fā)生這種情況的原因是：實際結(jié)構(gòu)中的混凝土材料是各向異性的，其內(nèi)部會存在許多初始微裂縫，這些微裂縫會削弱混凝土梁的截面，即實際混凝土梁中都存在初始損傷。預(yù)應(yīng)力的加載使得初始微裂縫逐漸愈合，結(jié)構(gòu)的剛度也相應(yīng)增大，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的各階固有頻率相應(yīng)增大。

對于一階頻率值，有限元結(jié)果與試驗結(jié)果的誤差(最大誤差為3.96%)在可接受范圍內(nèi)。對于二階頻率值，有限元結(jié)果與試驗結(jié)果的誤差較大，由于試驗環(huán)境的不確定性，此處誤差原因還有待進一步研究。

綜上，試驗中的預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁存在幾何非線性與材料非線性，而有限元中只考慮了梁的幾何非線性，故試驗結(jié)果的頻率變化趨勢與有限元結(jié)果的頻率變化趨勢相反。材料非線性對結(jié)構(gòu)剛度硬化的貢獻大于幾何非線性對結(jié)構(gòu)剛度軟化的貢獻，在材料非線性與幾何非線性的綜合影響下，預(yù)應(yīng)力混凝土梁表現(xiàn)為自振頻率隨著預(yù)應(yīng)力的增大而增大。由于鋼梁材料是各向同性的，材料非線性對其模態(tài)參數(shù)的影響可以忽略不計，在理論計算與有限元模擬中，只考慮幾何非線性就能使結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好。

3 結(jié)語

簡支鋼梁的理論分析結(jié)果、有限元分析結(jié)果均表明，不考慮幾何非線性，無法反映結(jié)構(gòu)在初始應(yīng)力作用下的模態(tài)參數(shù)的變化；考慮幾何非線性，受軸向力作用的簡支鋼梁會發(fā)生“剛度軟化”效應(yīng)，導(dǎo)致其各階的自振頻率減小，這與試驗結(jié)果一致。試驗結(jié)果表明，預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁的固有頻率隨著預(yù)應(yīng)力的增加而增大，即預(yù)應(yīng)力的存在提高了結(jié)構(gòu)的剛度，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的固有頻率增大，但是僅考慮幾何非線性的有限元結(jié)果表明，預(yù)應(yīng)力的存在導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的各階自振頻率減小。

對比簡支鋼梁和預(yù)應(yīng)力混凝土梁得出：鋼材作為各向同性材料，在頻率分析中可以只考慮幾何非線性的影響，混凝土作為復(fù)雜的各向異性材料，其內(nèi)部會存在微裂縫，在只考慮幾何非線性的情況下，其數(shù)值模擬結(jié)果與試驗結(jié)果相反，故對預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析，需要同時考慮幾何非線性與材料非線性的影響。

深入研究預(yù)應(yīng)力與結(jié)構(gòu)的固有頻率的定量關(guān)系，是利用結(jié)構(gòu)的固有頻率變化識別結(jié)構(gòu)有效預(yù)應(yīng)力大小的基礎(chǔ)。本文基于幾何非線性探究了預(yù)應(yīng)力與結(jié)構(gòu)的固有頻率的關(guān)系，但由于在有限元計算中未考慮混凝土的材料非線性，導(dǎo)致頻率變化趨勢與試驗相反。故選擇合理的材料性能參數(shù)，充分考慮混凝土的材料非線性，將是后續(xù)工作中需要進一步研究的問題。