新課標明確指出：“學生學習應(yīng)當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，動手實踐、自主探索與合作交流是學習數(shù)學的重要方式?！爆F(xiàn)代教學理論也認為：學習不是學生對教師所授予知識的被動接受，而是學生以自身已有知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動研究和構(gòu)建活動。那么，如何有效踐行新課程理念，提升學生動手操作活動的有效性，使實踐操作活動擺脫表面的熱鬧，由膚淺走向深入呢？下面，就以筆者執(zhí)教的武漢市優(yōu)質(zhì)課《圓的周長》為例，對此問題加以反思和探索。

片段一：創(chuàng)設(shè)情景、激疑——操作感知對象

師：上節(jié)課我們認識了圓，感受了圓的神奇，那么這節(jié)課我們來繼續(xù)學習圓的有關(guān)知識。（課件出示“圓的周長”主題圖）圓桌和圓形菜板有點開裂，需要在它們的邊緣箍上一圈鐵皮。要求所需鐵皮的長，就是求什么呢？

生：圓桌和圓形菜板的周長。（課件抽象出圓形）

師：這節(jié)課我們就來研究圓的周長問題。（板書課題）

師：對于周長，大家并不陌生，因為我們已經(jīng)知道了很多平面圖形的周長。那么什么是圓的周長呢？老師這兒有一個圓形的物體，誰能告訴老師它的周長指的是哪一部分的長？請同學們舉起你手中的圓片，用手指一指、摸一摸。誰能用自己的話說一說什么是圓的周長？

生：繞圓一周線的長。

師（結(jié)合課件演示）：對！我們把圍成圓曲線的長叫圓的周長。

師：圓的周長，怎么測量呢？

【反思】《數(shù)學課程標準》明確要求數(shù)學教學內(nèi)容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索。課始，創(chuàng)設(shè)學生生活中常見的情境——要給圓桌和圓形菜板的邊緣箍上一圈鐵皮，引出圓的周長的概念；再通過用手摸一摸圓的周長、指一指圓的周長的操作，讓學生在初步感知的基礎(chǔ)上對圓周長的概念進行描述。觸摸之后的語言概括，幫助學生充分而有效地從具體到抽象建構(gòu)了圓周長的概念。這個課堂導入部分，既讓學生感受到數(shù)學來源于生活，也激發(fā)了他們的探究欲望，同時也引出了本堂課需要學習的教學內(nèi)容——圓的周長。

片段二：探討測量圓周長的方法，滲透化曲為直的數(shù)學思想和方法——操作測量對象

師：（出示學具）老師給你們準備了直尺、皮尺、線等材料，用這些材料你能想辦法測量圓的周長嗎？同學們可在小組內(nèi)議一議，也可動手試一試！（學生自選材料嘗試操作）

師：誰來把你的方法介紹給大家？

生1：我是在圓上繞繩，再把繩子拉直，在直尺上量出這段繩子的長。

師：是這樣嗎？（放課件）圓周是曲線，不方便直接測量，你想到用繩子間接測量圓的周長，把圓周的這條曲線轉(zhuǎn)化成了直線段，你真了不起！誰還想出了其他方法？

生2：我將圓放在直尺上滾一周，直尺所對的刻度就是圓的周長。

師：（放課件）這個方法也挺有創(chuàng)意！可怎么就知道圓正好滾了一周呢？

生3：我直接將圓環(huán)剪開，圓環(huán)的長就是這個圓的周長。

生4：我用透明膠在硬幣上繞一周，這樣可以減少誤差！

……

師總結(jié)：同學們真不錯！想到了不同的測量方法。不知大家注意到?jīng)]有，這些方法有什么共同點？

生：都是把圓周的這條曲線轉(zhuǎn)化成了直線段。

師：（板書：化曲為直）這就是我們數(shù)學中研究幾何問題常用到的方法——化曲為直。

師：（激起矛盾）大家想一想，是不是所有的圓都能用剛才的方法測量它們的周長呢？

生：不是的，比如說很大的圓就不方便用線繞法。

生：還有，像電扇轉(zhuǎn)動形成的圓都沒法用線繞和滾動法測量。

師：有道理！看來，我們的方法存在著一定的局限性。那么，你認為我們該怎么辦呢？

生：計算長方形、正方形的周長都有公式。如果我們可以找到一個計算圓周長的公式，那就好了！

【反思】“測量圓周長”是本節(jié)課第一次操作活動。我把操作的主動權(quán)交給學生，改變傳統(tǒng)教學中給學生準備好材料，讓學生在老師的預(yù)先設(shè)定下尋找測量方法的做法。在這個動手操作環(huán)節(jié)中，放手讓學生探索操作，發(fā)揮了學生學習的主動性，而學生也不負所望，通過自主的動手操作實踐探索出“繞”“滾”“截”三種方法測量圓的周長。教師則在學生得出結(jié)論后進行引導，順勢引導學生歸納出它們的共同點：“化曲為直”，同時分析反思和評價不同測量方法的優(yōu)劣，并巧妙地設(shè)置認知矛盾：“是不是所有的圓都能用剛才的方法測量它們的周長呢？”這個提問打破了學生的思維平衡，使學生原有的認知失衡，進一步激發(fā)起他們的探究欲望，開始認真思考測量圓周長的一般方法：“要解決所有圓的周長問題，該怎么辦呢？”至此，通過一步步的操作、測量、觀察、思考和表達，學生的思維也得到一步步的深化。可以說，這個環(huán)節(jié)的操作活動是有效的，它同時也為第二次的操作——探究圓周長的計算公式埋下了伏筆。

片段三：舊知遷移，大膽猜想——明確操作驗證的目的與方向

師：圓的周長會與它的什么有關(guān)呢？

生：直徑。

生：半徑。

生：圓的大小。

師：圓的大小又是由什么來決定的呢？在同一個圓內(nèi)，直徑是半徑的兩倍，圓的周長與半徑有關(guān)系，實際就是與直徑有關(guān)系。請看大屏幕（課件出示大小不同的三個圓）觀察一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：圓的直徑越長，周長越長；直徑越短，周長越短。

師：看來，圓的周長確實與直徑有關(guān)。（板書：圓的周長、直徑）今天我們就來研究圓的周長與直徑的關(guān)系。到底圓的周長與直徑有什么樣的關(guān)系呢？同學們不妨大膽猜一猜！

生：我覺得圓的周長與直徑可能有某種倍數(shù)關(guān)系。

……

生：因為正方形的周長是它邊長的4倍，而正方形的內(nèi)切圓的周長比正方形周長小一些，所以我覺得圓的周長可能是直徑的3倍多。

師：那你的意思是你感覺到圓的周長與直徑之間可能有某種倍數(shù)關(guān)系，而且是3倍多，是嗎？當然，這只是猜想（板書），為了證明這個猜想，我們必須通過實驗來驗證（板書）。要驗證圓周長與直徑的倍數(shù)關(guān)系，你打算怎么研究？

生：我想量出一些圓的周長與直徑，分別用周長除以直徑，看看商是不是固定的值，如果是，那么到底是多少。

師：通過測量、計算的方法來驗證，這個主意不錯！誰還有其它方案？

生：我們直接用繩子繞圓片一周，減去多余的部分，也就是圓的周長。再直接拿這條繩子去量這個圓的直徑，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

……

【反思】在探索“圓的周長與直徑的關(guān)系”時，很多老師都是直截了當，讓學生按教材意圖完成一些指定性的操作：先測量出圓的周長，再測量出該圓的直徑，最后計算出該圓周長與直徑的商，從而引出“圓周率”。至于為什么要測量圓的周長和直徑，為什么要算出周長與直徑的商，卻缺乏探究，以至于讓學生感到一片茫然，完全不知其所以然。

本節(jié)教學中，為了確定研究的方向，提高操作的有效性，我先引導學生進行兩次合理猜想，一是通過對大小不同的三個圓的直覺觀察引發(fā)學生猜測，讓學生猜想出圓的周長與直徑有關(guān)。二是根據(jù)正方形的周長與邊長的關(guān)系而類比產(chǎn)生猜測，猜想出圓的周長與直徑有倍數(shù)關(guān)系。合理的猜想科學地定位了探究的思路，提高了課堂的實效。學生在猜想過程中，新舊知識的碰撞，激發(fā)出智慧火花，也拓展了思維，提高了數(shù)感，發(fā)展了推理能力，鍛煉了數(shù)學思維。為了使后面的操作更加明晰，在學生確定圓的周長與半徑或直徑的關(guān)系后，教師再引導學生自主制定操作方法——要驗證圓周長與直徑的倍數(shù)關(guān)系，你打算怎么研究？這樣，學生知道“做什么”“怎么做”以及“為什么要這么做”，這樣的實踐操作才是有效的，也是學生感興趣的。

片段四：驗證猜想，發(fā)現(xiàn)圓周率——給足學生動手操作的時間與空間

師：為了配合大家做好研究，老師為每個小組準備的一張實驗報告單就藏在你們的抽屜里，請組長把它取出來。為了同學們實驗的順利進行，老師提出兩條建議，請看大屏幕。（課件出示“溫馨提示”）明白了嗎？那就在小組長的帶領(lǐng)下小組合作，動手實驗吧！我們看看哪個小組能最先證明出圓的周長與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系。（學生分小組動手實際測量、計算、填表；師巡視，了解活動情況，及時指導幫助）

師：哪個小組來匯報一下你們測量的周長和直徑的數(shù)據(jù)？（師板書填表）觀察這些數(shù)據(jù)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：他們的商都是三點多。

師：也就是每個圓的周長大約是它直徑的3倍多一些。其他小組計算的圓的周長與直徑也有這樣的關(guān)系嗎？請四人小組相互交流一下。（生小組交流）你們手中的圓的周長與直徑的關(guān)系又是怎樣的？

生1：我們小組每個圓的周長也大約是直徑的3倍多一些。

生2：我們小組圓周長與直徑的關(guān)系也是這樣。

……

師：凡是通過測量計算發(fā)現(xiàn)你的圓周長是直徑的3倍多一些的同學請舉手。（生都舉起了手）其實，關(guān)于圓周長和直徑之間的這種關(guān)系，人們在一千多年前就開始研究了。我們的數(shù)學家們早就發(fā)現(xiàn)任意一個圓的周長都是它直徑的3倍多一些，它是一個固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率，用π表示。請看大屏幕。（課件介紹圓周率及祖沖之）

【反思】合理的猜想，只有經(jīng)過科學的驗證，才能彰顯智慧的光環(huán)。在驗證中，教師應(yīng)留給學生足夠的時間，讓學生的腦、手、眼、口等多種感官參與到探究過程，并在此基礎(chǔ)上通過觀察、計算、分析、歸納和概括尋找出結(jié)論。由于測量的誤差，學生只能計算出圓的周長是直徑的3倍多一些，對這樣的測量結(jié)果，教師給予了應(yīng)有的尊重。教師這種實事求是的科學態(tài)度，不僅能進一步激發(fā)學生探究的熱情，同時對學生嚴謹治學態(tài)度的培養(yǎng)也有不可估量的作用。

在教學過程中對祖沖之的一段內(nèi)容介紹后，我并沒有對學生進行思想教育，而是提了這樣一個問題：“讀了這則小故事，你有何感想？”讓學生自己談?wù)勼w會與感觸。正是由于教師充分信任學生，把教學的主動權(quán)還給學生，讓學生自己教育自己，起到了事半功倍的作用。學生們通過學習、比較，不但感受到我國源遠流長的古代文化，也感受到古人勤奮努力、積極探索的精神；同時通過史話的介紹，也讓學生感覺到圓周率發(fā)現(xiàn)的不易，由此從小培養(yǎng)他們嚴謹科學、堅韌不拔的探索精神。

片段五：推導圓周長計算公式——讓思維在動手操作過程中內(nèi)化與提升

師：我們知道了圓周長與直徑的關(guān)系，你會求圓的周長了嗎？如果用字母C表示圓的周長，用d表示直徑，用字母怎樣表示圓的周長公式？

生1：只要測量出圓的直徑再乘圓周率就行了。

生2：用圓的半徑乘2再乘圓周率也行。

生 1：C=πd。

生2：C=2πr。（教師根據(jù)學生回答板書，并提問：第二個公式為什么要乘2？）

【反思】有效的操作，通過語言的表達才能得以內(nèi)化。學生在進行動手操作的過程中，在觀察、分析、猜測、比較、綜合、概括、反思等一系列活動的基礎(chǔ)上，結(jié)合語言的表述，才能完成從感性到理性的內(nèi)化過程。這樣才能讓學生透過動手操作活動的表面去深入思考，使知識得到內(nèi)化，使能力得到發(fā)展。

片段六：全課總結(jié)——提升數(shù)學學習思想方法

師：同學們，這節(jié)課你們有什么收獲？

生1：我不僅知道了什么是圓的周長，還知道了要想求圓的周長既可以用測量的方法，也可以用計算的方法。

生2：我還自己動手推導出了圓周長的計算公式呢！

生3：我知道了我國古人在研究圓周率上的驕人業(yè)績。它們太了不起了！我一定要學習他們刻苦研究的精神。

生4：我知道了驗證猜想最好的辦法是動手實驗。

……

師：同學們很了不起！這節(jié)課我們不僅學到了圓周長的有關(guān)知識，還一起經(jīng)歷了曲線圖形的研究方法——化曲為直；除此以外，還通過猜想、驗證的方法找到了圓的周長計算公式，這都是很重要的方法，也是我們以后學習中常用到的方法。那同學們還有什么疑問嗎？

生5：老師，我很想知道我國古人劉薇、祖沖之他們當時是用什么方法計算出圓周率的。跟我們今天研究的方法一樣嗎？

生6：圓的周長不是圓直徑的3倍多一些嗎？那為什么我國的數(shù)學專著《周裨算經(jīng)》中卻是“周三徑一”的說法？

生7：我還想知道圓周率小數(shù)點后上萬億位后的數(shù)是多少？

師：同學們善于動手、肯于動腦、敢于提問，太好了！關(guān)于圓周率的知識還多著呢！古人是怎么研究出圓周率的？又正是由于圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù)，人類對它的探究遠沒有停止！它的小數(shù)點后上萬億位后的數(shù)究竟是多少，還有待在座的同學們?nèi)ミM一步探索和研究。若感興趣，就上網(wǎng)或查閱相關(guān)資料吧！

【反思】葉圣陶先生有句名言：“教是為了不教。”教師在教學中不僅應(yīng)該注重數(shù)學思想方法的滲透，培養(yǎng)學生主動獲取知識的學習能力，更應(yīng)幫助學生總結(jié)歸納學習方法，在發(fā)展學生數(shù)學思維的同時，掌握科學的探究方法?！皩W無止境”，讓學生帶著疑問離開課堂，體現(xiàn)了“學起于疑，又終于疑”的教學理念?！罢n已盡，而意無窮”，我們要不斷激起學生對知識繼續(xù)探究的強烈渴望，因為這種渴望才是他們進一步學習的動力。

案例反思

本節(jié)課教學內(nèi)容是新課標人教版小學數(shù)學六年級上冊第62—64頁“圓的周長”?！皥A的周長”計算方法的教學，是學生初步研究曲線圖形基本方法的開始，又是后面學習“圓的面積”以及今后學習圓柱、圓錐等知識的基礎(chǔ)。因此它起著承前啟后的作用，是小學幾何初步知識教學中的一項重要內(nèi)容。這個內(nèi)容不僅是學生第一次研究平面上的曲線圖形的周長，也是第一次化曲為直方法的滲透，更是接觸極限思想的第一次。

本節(jié)課教師確立了知識和能力并重的教學目標，教學中以“問題”為導向，引導學生通過“觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——驗證”等方式來開展知識的探究活動，促使學生主動探索，讓學生真正成為數(shù)學學習的探索者。

l．數(shù)學知識的探索，貫穿于課堂教學的始終

著名的美國數(shù)學家和數(shù)學教育家喬治·波利亞認為，學習任何新知的最佳途徑是由學生自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握內(nèi)在的規(guī)律和聯(lián)系?！稊?shù)學課程標準》也指出：學生學習數(shù)學并非單純的依賴模仿和記憶，數(shù)學學習的過程實質(zhì)上是學生主體富有思考性的探索過程。所以，數(shù)學知識的探索軌跡，作為學生是否主動參與的標志，展現(xiàn)于課堂教學的全過程。在本課例中，無論“圓的周長”的引出，“圓周長意義”的理解，還是“圓周長公式”的建構(gòu)都是來自于學生生活經(jīng)驗、親身體驗和自由表達。每個知識點的發(fā)現(xiàn)，都是學生自主探索的成果，而不是學生被動接受的結(jié)論。探索，作為學生學習數(shù)學的重要方式，在本節(jié)課的教學中得到了最大的體現(xiàn)。

2.讓學生帶著問題去學習，培養(yǎng)學生主動探索的精神

教師在本節(jié)課先創(chuàng)設(shè)一個問題情境，使學生感悟到：要知道圓的周長，可以直接測量，包括滾測、繩測、截斷等方法，而問題“是不是所有的圓都能用剛才的方法測量它們的周長”讓學生感受到直接測量圓的周長有時很麻煩，有時根本不可能，“要解決所有圓的周長問題，該怎么辦”的提問促使學生去尋找解決問題的辦法。大家通過猜測，提出“圓的周長可能和它的直徑或半徑有關(guān)，而且有倍數(shù)關(guān)系”的猜想，再通過小組合作驗證猜想，發(fā)現(xiàn)圓周長的計算方法。在學生“興趣點”“關(guān)鍵點”“新舊知識的鏈接點”處激疑、質(zhì)疑，無疑能激起和鼓舞學生的探知、求知精神。這次課后，我深切地感受到以學生為主體的本質(zhì)就是激發(fā)和喚醒學生學習的興趣與思考。

3．注重思維方式和學習方法的引導，在探究中培養(yǎng)學生思維能力，滲透數(shù)學思想

“圓的周長”這節(jié)課教學是重知識還是重思維方式、學習方法？我個人認為，思維方式與學習能力的提升是更高層次的數(shù)學學習，而單一化的歸納呈現(xiàn)知識目標應(yīng)是基于思維后的知識產(chǎn)物。展示學生數(shù)學思考的過程，更多的還是在培養(yǎng)和展現(xiàn)學生多維分析問題的能力。“圓的周長”是在學生已經(jīng)掌握了長方形、正方形周長的基礎(chǔ)上開展的學習，學生完全有能力自主探究這部分知識。同時，圓作為小學階段第一個平面上的曲線圖形，圓的周長計算方法的探索，對學生也存在一定的挑戰(zhàn)性?！盎鸀橹薄钡乃枷?、“猜測、驗證”的方法都是學生研究中最常用的方法，也是最重要的方法，對研究圓的周長有效，對發(fā)現(xiàn)其它知識也有效?！笆谌艘贼~，不如授人以漁?！闭莆者@些思想和方法并應(yīng)用到其它知識的探究中，這比單純學到知識更重要。同時，讓學生在親身經(jīng)歷數(shù)學知識的探究過程中發(fā)現(xiàn)知識、理解知識、應(yīng)用知識，這樣，學生獲取的并非純粹的知識本身，而是數(shù)學的態(tài)度、思想方法，更是一種探究的品質(zhì)。

4．在探究操作過程中培養(yǎng)學生的科學精神和方法

新課程標準目標中明確指出：“讓學生通過操作實踐，學習科學研究方法，使學生具有初步的創(chuàng)新意識和實事求是的科學態(tài)度。”本節(jié)課中，學生親身經(jīng)歷探究的過程，從提出猜想——實踐驗證——分析判斷——得出結(jié)論，就是科學研究的過程。在這個過程中尊重學生由于實驗誤差找到的“周長是直徑的3倍多一些”的實驗結(jié)論，就是實事求是的科學態(tài)度……學生從探究操作過程中獲得了數(shù)學活動經(jīng)驗的同時，更收獲了科學研究的方法和實事求是的科學精神。