孫福明

【摘 要】邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)課程的標志性思維特點。提升邏輯推理的核心素養(yǎng)需要將學(xué)生置于課堂活動主體地位，通過豐富、生動的活動，讓學(xué)生在問題驅(qū)動的思維場域得到有效鍛煉。教師的理念和專業(yè)素養(yǎng)是提高學(xué)生素養(yǎng)的必備條件之一。

【關(guān)鍵詞】邏輯推理；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思維

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）25-0019-03

數(shù)學(xué)是嚴肅的，主要是因為其抽象化的特點。從表達形式來說，數(shù)學(xué)具有符號化、形式化的特征。例如，數(shù)學(xué)概念需要抽象化概括，數(shù)學(xué)規(guī)律要求形式化的表達。從其內(nèi)容來說，數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性需要證明，證明必須符合抽象的邏輯推理，而演繹推理正是數(shù)學(xué)的標志性思維，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的嚴謹、嚴密特征。但數(shù)學(xué)又是生動活潑、平易近人的。正如波利亞所說：數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面是歐幾里得的嚴謹，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來像是一門試驗性的歸納科學(xué)。數(shù)學(xué)的產(chǎn)生之初常來源于對具體問題的研究，在此基礎(chǔ)上通過歸納、類比等合情推理去發(fā)現(xiàn)對象的一般規(guī)律，進而借助于邏輯推理建構(gòu)數(shù)學(xué)課程的體系。

邏輯推理是高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個維度之一。邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。高中階段培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)的途徑有一暗一明兩條線，暗線意指兩類推理素養(yǎng)蘊含在數(shù)學(xué)一般性的知識之中，通過各類知識的教學(xué)，滲透邏輯推理的素養(yǎng)。例如，各類概念、定理法則的學(xué)習(xí)，就包含著非常豐富的歸納、類比等這類核心素養(yǎng)，平面幾何的證明部分的學(xué)習(xí)就是演繹推理素養(yǎng)的習(xí)得過程。所謂明線，就現(xiàn)行教材而言，就是《推理與證明》這部分內(nèi)容。教材設(shè)置該部分的目的是希望學(xué)生通過對已有知識的回顧與總結(jié)，進一步體會觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、演繹證明等數(shù)學(xué)思維過程，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，進而形成理性思維和科學(xué)精神，而這些都是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)。

那么，怎樣設(shè)計這部分內(nèi)容才能更好地體現(xiàn)核心素養(yǎng)的達成目標呢？要完成核心素養(yǎng)理念支撐下的育人目標，教師又該對自己提出什么樣的要求呢？筆者以近期參與的“合情推理”為內(nèi)容的同題異構(gòu)教研活動為例，談一些個人淺見，以期達到拋磚引玉之效果。

一、 基本情況

1. 三位執(zhí)教教師

三位執(zhí)教教師分別簡稱為教師甲（工作10年）、教師乙（工作14年）、教師丙（工作5年）。

2. 班級

城區(qū)重點中學(xué)，生源狀況較好，學(xué)生基礎(chǔ)扎實、學(xué)習(xí)能力等都比較強。

3. 教材

江蘇教育出版社《普通高中課程標準實驗教材》。

二、教學(xué)目標的定位折射教師的理念

教學(xué)目標對課堂教學(xué)的核心引領(lǐng)和主線導(dǎo)引顯然是至關(guān)重要的，它不僅決定著教學(xué)顯性目標的達成度，更決定著學(xué)生核心素養(yǎng)的達成度，決定著教學(xué)質(zhì)量的品質(zhì)，也直接決定著這位教師采取何種教學(xué)策略、教學(xué)方法來組織和實施教學(xué)。

比較三節(jié)課，三位教師最大的“異構(gòu)”就是課堂教學(xué)目標的理解認識和定位。教師丙定位于教學(xué)過程中通過互動的教學(xué)方式讓學(xué)生逐步感悟知識的發(fā)生發(fā)展過程，讓學(xué)生在材料呈現(xiàn)后有更多的時間和空間的感悟和體驗。教師乙定位于方法熏陶，采用以問題為情境、總結(jié)方法收尾的歸納式教學(xué)方法，著眼于學(xué)生能亦步亦趨地掌握一些歸納的程序。教師甲則明顯定位于知識的傳授，大容量、快節(jié)奏、高頻率的講授，以大量文字語言的形式進行短、平、快的“速溶”式“灌輸”，把該課演變?yōu)椤叭绾芜M行歸納推理”的習(xí)題訓(xùn)練課。

三節(jié)課值得注意的一個現(xiàn)象是：教師的年齡越大，講得越多，課堂控制度越強，給學(xué)生的自主空間更少，相反，年輕教師把教學(xué)過程展開得很充分，而年齡居中的教師，隨著教學(xué)經(jīng)驗的豐富，有過度“包裝知識”和“精細講解”的跡象。

“合情推理”一節(jié)內(nèi)容從課標定位及課題內(nèi)容特點的角度分析，是可以發(fā)揮學(xué)生自由想象，讓學(xué)生的主體得到充分張揚，讓學(xué)生的思維得到熏陶和數(shù)學(xué)文化浸潤的一節(jié)課。所以，本節(jié)課應(yīng)該定位于以具體案例為載體，以學(xué)生主體性活動為主，在教師適時、適度的點撥下，逐步培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力和核心素養(yǎng)。所以，細細品味本節(jié)課的目標，可以有四個層面：第一個層面是把歸納推理作為一種概念，就是要弄清什么叫歸納推理。從這個層面上，本節(jié)課的核心就是引導(dǎo)學(xué)生“從理性上認識歸納推理”，具體地說，就是使學(xué)生了解歸納推理的含義（即什么是歸納推理）、歸納推理的思維過程（即初步了解怎樣進行歸納推理，但不是具體的操作性的技能）、歸納推理的特點（即思維形式、結(jié)論的或然性及科學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中的創(chuàng)造性），其中最為重要的是歸納推理概念的形成過程。當然，這個概念與一般數(shù)學(xué)概念是有差別的，它是一種描述性的定義，描述的是思維的動態(tài)過程，不同于一般數(shù)學(xué)概念的靜態(tài)表現(xiàn)形式，也缺少一般數(shù)學(xué)概念的嚴謹與精細；第二個層面就是把歸納推理看作一種方法，是一種程序性的知識，掌握歸納的步驟是什么，如第一步、第二步、第三步等每一步的做法分別是什么；第三個層面把歸納推理看作一種態(tài)度，一種探究事物規(guī)律的態(tài)度。面對紛繁復(fù)雜的自然、社會，自然產(chǎn)生探索的欲望，看到一種現(xiàn)象，就想要找到規(guī)律。這其實也是數(shù)學(xué)的教育價值的體現(xiàn)之一，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，剝離事物的具體形態(tài)和屬性，從中歸納出一般性的本質(zhì)屬性；第四個層面就是作為一種數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，進一步提高歸納推理的能力。歸納能力的關(guān)鍵是分析的能力，是思維的能力。歸納的結(jié)論是否符合事物的本質(zhì)需要學(xué)生有較強的綜合能力和核心素養(yǎng)，能力需要在問題解決中逐步培養(yǎng)，更需要在素養(yǎng)的浸潤中順利達成。

要達到上述四個層面的認識層次，教師需要不斷提高個人的教學(xué)理念和專業(yè)功底，教師的教學(xué)素養(yǎng)直接關(guān)系到學(xué)生核心素養(yǎng)的達成度。從數(shù)學(xué)課程的角度，教師應(yīng)該認識到合情推理有助于學(xué)生認識到數(shù)學(xué)既是演繹的科學(xué)，又是歸納的科學(xué)，數(shù)學(xué)不單是現(xiàn)成結(jié)論的體系，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程也是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從而形成對數(shù)學(xué)較為完整的認識，形成正確的數(shù)學(xué)課程觀和價值觀。

三、教學(xué)法的運用反映教師的智慧

1. 延展過程，錘煉思維

縱觀三位教師的教學(xué)過程，基本都是采用從特殊到一般的歸納方法，但是歸納過程的重點不一樣。教師丙堆積了大量的例子，然后直接“飛躍”給出了一般模式，教師甲則給出了3個例子后就給出了一般模式，然后就是各種題材的練習(xí)。相比較而言，教師乙注意到學(xué)生的認知特點，采用了特殊到一般再到特殊的螺旋式上升的教學(xué)步驟，具體過程是：教師呈現(xiàn)一些具體實例，讓學(xué)生初步感知歸納推理的過程，特別是結(jié)構(gòu)上的特點，然后再讓學(xué)生模仿舉出若干例子，在例子基礎(chǔ)上，生生、師生互動，讓學(xué)生從過程和結(jié)構(gòu)上與教師已經(jīng)舉出的例子進行比較，判斷哪些例子是正確的，哪些是不恰當?shù)模徽_的原因和環(huán)節(jié)是什么。此環(huán)節(jié)的目的是加深學(xué)生感性認識，進一步強化學(xué)生的認識的層次。接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生開始歸納模式，在精心設(shè)計板書——按照相同的結(jié)構(gòu)進行板書的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般進行抽象歸納。這一步是整個教學(xué)環(huán)節(jié)中最重要的一環(huán)，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的最關(guān)鍵之處。因此，要突出抽象與概括的思維過程，主要是符號化和結(jié)構(gòu)化，最后歸納總結(jié)出下面的歸納推理的一般思維模式：

模式1：

模式2：

應(yīng)該說這樣的設(shè)計才使得從“特殊到一般”的概念化可能得到真正的建構(gòu)，學(xué)生經(jīng)過這個過程的孕育，抽象概括的核心素養(yǎng)才得到很好的培養(yǎng)，學(xué)生的抽象概括能力、建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的能力才能得到提高。新課程提倡展開教學(xué)過程，這個過程指的是能提升學(xué)生思維能力、核心素養(yǎng)的過程，而不是無意義的、與實施課程價值無關(guān)的“偽探究”“偽活動”的過程。

2. 問題驅(qū)動，學(xué)生主體

思維能力是需要逐步形成的，能力需要在有一定難度的情境中培養(yǎng)，所以數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該更多的是過程教學(xué)、是學(xué)生活動參與式的漸進過程。縱觀三節(jié)課，有效設(shè)計、組織學(xué)生活動的精彩之處少得可憐，即使有活動，也是蜻蜓點水，一蹴而至，根本談不上深度與廣度。主要表現(xiàn)在引發(fā)活動的問題設(shè)計上，教師提出的問題空洞而泛泛，學(xué)生根本無法回答。問題指向性不明，問題關(guān)聯(lián)性不強，問題層次不強是突出的問題。

教師在完成了教學(xué)的專業(yè)知識儲備之后，接下來要做的是如何設(shè)計問題鏈引導(dǎo)學(xué)生進入探究的世界和軌道。例如，本節(jié)課應(yīng)該從本源性問題“為什么要學(xué)歸納推理”開始，讓學(xué)生感受其實“歸納無所不在”，自然思考“如何進行正確的歸納推理”“歸納推理的基本模式或者規(guī)律是什么”“如何發(fā)揮歸納推理的價值”等邏輯相關(guān)的問題，學(xué)生思維在這樣的問題鏈的思考解決過程中得到深度上的提高、品質(zhì)上的提升。

其實，根據(jù)教學(xué)目標的分析，本節(jié)課型應(yīng)該定位于數(shù)學(xué)方法的課型，重在數(shù)學(xué)方法的熏陶，用歸納推理的方法講歸納推理。因此，教學(xué)方法與知識傳授型的課堂應(yīng)大不同，可以把課上得更加趣味些、生動些和活潑些。通過精心組織、呈現(xiàn)材料，讓課堂有更大的開放性，思維具有廣泛的動態(tài)性，學(xué)生有更廣闊的參與性，師生、生生之間可有更多的碰撞和交流。

四、超越知識，彰顯素養(yǎng)

1. 材料的加工反映教師的學(xué)科專業(yè)化程度

教學(xué)材料的組織要為教學(xué)目標服務(wù)，材料既要“夠味”——體現(xiàn)本節(jié)課的主題和重點，又要“色形俱佳”——適合學(xué)生的認知特點，“有山有水”，形式多樣。不管是采用集中呈現(xiàn)社會生活中的的方式，還是采用對比呈現(xiàn)材料的方式，其目的都在于讓學(xué)生體驗蘊含在日常推理中的常見思維模式和思維過程。對教學(xué)材料沒有琢磨透徹、對教學(xué)材料的功能沒有挖掘到位、對材料缺乏精心設(shè)計是三節(jié)課的普遍問題，現(xiàn)象之一就是大量提供了生活及數(shù)學(xué)中的實例，但量的增加并沒有引起質(zhì)的變化——學(xué)生對歸納推理的概念感受不強烈，感受不充分，有一種浮于材料表面、對概念本質(zhì)隔靴搔癢的感覺。例如，很多實例脫離學(xué)生日常生活實際，無形當中增加了學(xué)生建立模型的障礙。有的例子不相干的信息太多，喧賓奪主，沖淡了歸納推理的模型，尤其甲教師和丙教師顯然駕馭組織材料的方式稍顯簡單，材料與數(shù)學(xué)概念的抽象過程融合得還不夠，顯得油水分離。教師乙之所以能把教學(xué)組織得有章有法、抑揚頓挫，就是因為他把教學(xué)目標和學(xué)生學(xué)習(xí)心理特點緊密結(jié)合起來，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)理念指導(dǎo)下，既讓學(xué)生成為思維的主體，在問題解決中提高核心素養(yǎng)，又適時引導(dǎo)，居高臨下地點撥，引領(lǐng)學(xué)生思維往高處發(fā)展。因此，要落實好核心素養(yǎng)的教學(xué)目標，教師應(yīng)該不斷提升學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)法素養(yǎng)，要讓教師的教學(xué)素養(yǎng)為學(xué)生的核心素養(yǎng)服務(wù)。

2. 形式化的過程與結(jié)果的關(guān)系

只要人在思維，那么推理就如影相隨。但一直存在不代表學(xué)生能真切感受到。所以，本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)目標之一就是“結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活實例，了解合情推理的含義”，具體就是“識別”與“初步學(xué)會”，這就要求教師在大量感性案例的基礎(chǔ)上，把蘊含在實例中的一般合情推理的基本類型和每一種類型的基本模式“顯化”，讓學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度更清晰地認識和理解合情推理這種思維過程的脈搏。

但顯化是否一定要高度抽象到一般模式，然后如何認識這個一般思維模式，又是一個課題。個別教師把這個思維模式作為知識、結(jié)論講給學(xué)生，讓學(xué)生記憶，似乎這樣這一節(jié)課的目標才算完成。如果按照這位教師的思路，這樣把思維模式傳授下去后，學(xué)生的歸納能力水平能有所提高的話，似乎也無可非議。但遺憾的是，如果學(xué)生把這個思維模式作為一把“尺”，去對生活或數(shù)學(xué)中的實例進行“測量”——歸納的話，顯然是行不通的。因此，教學(xué)過程需要適度形式化，形式化的過程是提高學(xué)生思維能力和培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑，讓學(xué)生成為形式化過程的主體，一旦學(xué)生有能力完成歸納推理形式化的任務(wù)，那么教學(xué)的目標就已經(jīng)達到了，至于最后形式化的結(jié)果只是個次要產(chǎn)品，是知識固化的形態(tài)。

就形式而言，數(shù)學(xué)是演繹性的科學(xué)。但數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)證明思路的發(fā)現(xiàn)過程等主要靠合情推理，即觀察、實驗、歸納、猜想等。因此，從數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程以及數(shù)學(xué)研究方法的角度看，數(shù)學(xué)與自然科學(xué)一樣，又是歸納的科學(xué)。歸納中充滿發(fā)現(xiàn)的樂趣，充滿了多樣化的思維形態(tài)，這樣的多樣化是學(xué)生豐富個體的體現(xiàn)，這樣的過程是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑。所以，數(shù)學(xué)課不必都那么嚴肅，可以讓學(xué)生的思維活起來，讓培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的步伐更扎實一些！

參考文獻：

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（編輯：張 婕）