◎ 李 貞

“組合變式”是對數(shù)學(xué)教學(xué)中變式的發(fā)展研究。本文闡述了“組合變式”產(chǎn)生的背景，同時列舉了“組合變式”的兩個具體課例。實(shí)踐證明，“組合變式”對于解決復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生自主建構(gòu)完整的學(xué)科體系、提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)力有著積極的作用。

一、“組合變式”的設(shè)計背景

變式教學(xué)是在不斷發(fā)展變化的，“組合變式”的雛形已經(jīng)顯現(xiàn)出它的生命力。2012年筆者受新加坡國家教育部的邀請，對新加坡的全體數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了為期兩周的培訓(xùn)，其中包括變式教學(xué)的培訓(xùn)。

（一）變式教學(xué)發(fā)展的訴求

以往，一般教師在對習(xí)題進(jìn)行變式時，比較多的是單一地改變條件或結(jié)論，或者將問題中的條件和結(jié)論互換，形成新的問題，這樣單一的變換能在一定程度上喚起學(xué)生的求知欲，但是對于問題的本質(zhì)以及各條件、結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，學(xué)生并沒有整體的認(rèn)識。而在概念課教學(xué)中，一般教師往往按照書本流程進(jìn)行教學(xué)，對各定理逐一進(jìn)行講解，只注重單一定理的教學(xué)，不考慮定理和定理之間的聯(lián)系，對于定理的整體性認(rèn)識較弱。經(jīng)過一堂課或一個階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生體會不到知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解不深刻，影響了學(xué)習(xí)質(zhì)量。

（二）“組合變式”的內(nèi)涵闡釋

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有相當(dāng)一部分的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)由若干個獨(dú)立的條件和結(jié)論組成，而將問題中的條件和結(jié)論拆開，看作是確定這一問題的若干個并列的元素，再將其中的幾個元素作為已知條件，其余元素作為結(jié)論，可以衍變出許多互相關(guān)聯(lián)的問題。我們稱這種變式方法為“組合變式”。

（三）“組合變式”的研究價值

筆者認(rèn)為，“組合變式”的研究具有一定的實(shí)踐和理論價值。具體體現(xiàn)在：通過“組合變式”可以構(gòu)建復(fù)雜多變的問題系列；在學(xué)生的知識建構(gòu)中可以起到積極的作用；可以與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)整合起來，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。

筆者長期以來運(yùn)用“組合變式”進(jìn)行課堂教學(xué)，發(fā)現(xiàn)這一方法在整個初中數(shù)學(xué)中有較大的普適性。例如，“平行四邊形的判定”“相似三角形的判定”“垂徑定理” “圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”“直角三角形的性質(zhì)”“直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用”等，均可用“組合變式”編寫教案，組織教學(xué)。于是筆者從中選取兩個具有代表性的課例作為研究的載體，以此來說明怎樣通過教師教學(xué)方法和教學(xué)策略的改變，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方法和思維方式的改變，以達(dá)到提高學(xué)習(xí)效率的目的。

二、“組合變式”在幾何概念課中的實(shí)施

如果一個命題的條件和結(jié)論的個數(shù)和在3個或3個以上，那么相應(yīng)的這類概念、定理的教學(xué)就可嘗試采用“組合變式”進(jìn)行教學(xué)。如果問題條件或結(jié)論的獨(dú)立元素總數(shù)是n，能確定結(jié)論成立的元素個數(shù)是m(n＞m) ，那么可以組合衍變出Cmn個問題。教師可以根據(jù)任教班級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，選擇其中若干個問題組織課堂教學(xué)。下文以“平行四邊形的判定”一課為例，具體說明“組合變式”在幾何概念課中如何實(shí)施。

“平行四邊形的判定”是一節(jié)幾何概念課，教材上安排了兩課時。筆者第一次上這堂課就意識到：平行四邊形的判定與在這之前遇到的特殊圖形的判定不一樣，例如等腰三角形、直角三角形只要把性質(zhì)定理反過來就是了，不存在“對不對”“還有沒有”的問題；第二次上這堂課，把這幾條判定定理做了一番梳理，讓學(xué)生體會出這幾條判定定理與平行四邊形性質(zhì)之間的關(guān)系；第三次上這堂課之前深入地思考了這些問題，把“對邊平行”“對邊相等”“對角相等”“對角線平分”作為單獨(dú)的條件，兩兩組合，逐一審視。

（一）教學(xué)設(shè)計過程

1. 列出組合清單

平行四邊形的兩組對邊平行、兩組對邊相等、兩組對角相等，共六個條件。反過來，對于一般四邊形，從其中的兩個條件出發(fā)，是不是都能推出這個四邊形是平行四邊形呢？

圖1 組合圖示

這15種情況可以分為以下3種類型。

（1）（圖1中雙實(shí)線所示） 平行四邊形的定義（兩組對邊分別平行），或容易轉(zhuǎn)化為平行四邊形的定義（一組對邊平行且一組對角相等）；

（2）（圖1中單實(shí)線所示） 真命題（圖1 中 1、2、3）；

（3）（圖1中單虛線所示）不能確定是否為真命題（一組對邊平行且另一組對邊相等，一組對邊相等且一組對角相等）。

2. 確定解決方案

對真命題，經(jīng)過證明確定其正確性，得到判定定理1、2、3，這是本課的重點(diǎn)所在。不能確定是否正確的命題，如果能夠舉出反例（即符合條件但不能推出是平行四邊形），那么該命題為假命題，這是本課的難點(diǎn)所在。對于“一組對邊相等且一組對角相等”舉反例比較困難，下面提供兩個反例做參考。

圖2 反例圖示

3. 開拓延伸空間

考慮將“對角線平分”也納入并列的條件，又有哪些情況？如圖3所示。

圖3 “對角線平分”納入并列的條件情況示例

根據(jù)上文，做類似的分析如下。

（1）從“OA=OC且OB=OD”出發(fā)，能推出圖形是平行四邊形，得到判定定理4；

（2）從“OA=OC且AB//DC”出發(fā)，能推出圖形是平行四邊形，但不納入判定定理；

（3）從“OA=OC且AB=DC”出發(fā)，屬于“邊邊角”，不能推出圖形是平行四邊形；

（4）從“OA=OC且∠A=∠C”出發(fā)，能否推出圖形是平行四邊形？

（5）從“OA=OC且∠B=∠D”出發(fā)，能否推出圖形是平行四邊形？

進(jìn)一步思考可知（4）是假命題，反例如圖4所示。

圖4 反例圖示

（5）是真命題，證明思路見圖5（反證法）。

圖5 反證法圖示

（二）課堂教學(xué)行為的變化

在課堂教學(xué)實(shí)踐過程中，筆者特別關(guān)注以下幾個環(huán)節(jié)。

1. 基于已有平行四邊形的性質(zhì)的認(rèn)知準(zhǔn)備，學(xué)生積極猜測判定一個四邊形是平行四邊形的條件

在學(xué)生回顧了平行四邊形的定義和性質(zhì)后，教師鼓勵學(xué)生利用已有的知識大膽猜測來判定一個四邊形是平行四邊形的可能條件。相應(yīng)的教學(xué)片段如下。

師：剛才我們一起回憶了平行四邊形的性質(zhì)，并結(jié)合圖形用數(shù)學(xué)符號一一羅列。我們把這些條件看作是確定圖形的條件，請你思考一下，在這些條件里，選擇盡可能少的條件判定這個四邊形是平行四邊形。

生：AB=CD，AD=BC；∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD；AO=CO，BO=DO。

師：還有嗎？

生：AD=BC，AD//BC；AD=BC，AB//CD。

生：還有AD//BC，∠ABC=∠ADC ；AB//CD，∠BAD= ∠BCD 。

生：我覺得剛才他說的兩種情況是重復(fù)的。

師：的確，這兩種情況都是一組對邊平行，一組對角相等。還有別的組合嗎？

生：我不知道這個組合能不能判定這個四邊形是不是平行四邊形。

師：沒事，說說看。

生：我覺得還有AD=BC，∠ABC=∠ADC；AD=BC，AO=CO；AD//BC，AO=CO；∠ABC=∠ADC ，AO=CO……

在上述片段中，教師讓學(xué)生在確定平行四邊形的條件中，選擇盡可能少的條件來判定一個四邊形是平行四邊形，而不是給出書本上的四個判定定理，逐一證明。這樣，學(xué)生會從條件的組合出發(fā)，得出更多的猜想，這里有真命題，也有假命題。由于這是學(xué)生自己猜想得出的，因此誘發(fā)了他們迫切的證明其真假的愿望。

2. 學(xué)生自主探究，驗(yàn)證命題

學(xué)生在八年級第一學(xué)期已經(jīng)學(xué)習(xí)過要證明一個命題是真命題需要嚴(yán)格論證，而要說明一個命題是個假命題只要舉出一個反例。以下教學(xué)片段是學(xué)生小組討論后的全班交流。

師：請說說你們的想法。

生：我們小組舉了個例子說明“AD=BC，AB//CD”這兩個條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形。

師：噢？請拿好工作單上臺展示給大家看。

生：我畫了一個等腰梯形，這個等腰梯形AB//CD，AD=BC，但是這不是平行四邊形。

師：非常好！我們要說明一個命題是假命題，只要舉出一個反例就可以了。

生：老師，我們小組覺得“AD=BC，∠ABC=∠ADC ”也不能判定四邊形ABCD是平行四邊形。

師：嗯，說說你們的想法。

生：聯(lián)結(jié)AC，必須要證明“三角形ADC和三角形CBA全等”，但是這里證明全等的條件是SSA。

師：有道理噢，但是我們不能因?yàn)樽C不出來就說這是個假命題，還是需要像前一個小組一樣舉出一個反例來……

上述片段是學(xué)生對自己得出的錯誤命題的反駁。一組學(xué)生對于“一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”這一猜想找到了“等腰梯形”這一反例，成功地將其反駁。另一組學(xué)生在證明“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”時出現(xiàn)“邊邊角”而無法證明其正確性，認(rèn)為這是一個假命題。此時教師出場，引導(dǎo)學(xué)生一起尋找反例。

在以往的教學(xué)中，我們往往關(guān)注知識的傳授與獲得。例如，在本節(jié)課的教學(xué)中，會把學(xué)生是否掌握平行四邊形的判定定理作為教學(xué)成功與否的唯一標(biāo)準(zhǔn)。而“組合變式”把所有的條件和結(jié)論都看成是“平等的”因素，對這些因素做各種不同的組合，一部分作為條件，另一部分作為結(jié)論，大大擴(kuò)大了逆命題的范圍，豐富了幾何定理的內(nèi)涵。本課中涉及的幾何命題有二三十個之多，必須迅速地判定其真?zhèn)?，并迅速地確定處理方法，是對學(xué)生邏輯思維能力和轉(zhuǎn)換判斷能力的全面考察。這種能力具體表現(xiàn)為三個方面：一是關(guān)聯(lián)組合能力，二是逆向思維能力，三是推理論證能力。因此在這節(jié)課中筆者更關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和學(xué)習(xí)能力的提高?！敖M合變式”拉近了學(xué)生與學(xué)生之間的距離，增強(qiáng)了學(xué)生間相互交流的機(jī)會，形成了合作學(xué)習(xí)的課堂氛圍。

三、“組合變式”在習(xí)題課中的運(yùn)用

在初中數(shù)學(xué)中絕大部分的習(xí)題都是由若干個條件和結(jié)論組成的（條件和結(jié)論的個數(shù)總和是三個和三個以上），這類習(xí)題也可以用“組合變式”嘗試教學(xué)。具體操作方法是：將題目中的條件和結(jié)論看作是確定這一問題的若干個并列的元素，選取其中若干個元素作為已知條件，其余元素作為結(jié)論，組合變化出一系列問題。當(dāng)然，如果題目中條件與結(jié)論的總個數(shù)太多，可選擇其中個別元素作為大前提，固定不變，讓其余元素參與組合變換。在組織教學(xué)時，若學(xué)生的學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，可跟學(xué)生講清“組合變式”的規(guī)則，讓學(xué)生參與改題編題。下面筆者以“直角三角形的性質(zhì)（第三課時）”一課為例，具體說明“組合變式”在習(xí)題課中如何實(shí)施。

“直角三角形的性質(zhì)第三課時”是一節(jié)習(xí)題課。這節(jié)課是運(yùn)用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題，課本安排了兩個例題。一般在課堂教學(xué)時教師會先教這兩個例題再完成書后練習(xí)，有時候也會根據(jù)班級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力增加1—2個習(xí)題。那么究竟增加什么練習(xí)？究竟怎樣把書本上的例題用足、用透？為此，筆者對這兩道例題以及和它們相關(guān)的練習(xí)題放在一起進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)它們的條件和結(jié)論穿插交替出現(xiàn)，可以看作幾個并列的元素，將其中的一個元素作為結(jié)論，其余元素作為條件，都能構(gòu)成真命題。以下兩個例題是介紹如何靈活運(yùn)用 “組合變式”的。

例題1 如圖6所示，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F是 AB的中點(diǎn)。求證：EF//AC。

圖6 例題1圖示

這道題可以看作由① AD平分∠BAC ，②BE⊥AD，③ 點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)這三個條件和④ EF//AC這個結(jié)論組成，把這三個條件和一個結(jié)論看作并列的四個元素，取其中三個作為條件，第四個作為結(jié)論，可以組合出四個不同的問題。例題1的原題是①②③推得④，其余三個問題（①②④推③、①③④推②、②③④推①），可以證明這三個都是真命題。這樣一來，例題1運(yùn)用“組合變式”方法就可變出四道題，在解決這四個問題的過程中，不僅僅運(yùn)用了直角三角形的性質(zhì)，而且使學(xué)生更進(jìn)一步認(rèn)識了圖形的本質(zhì)，條件與條件之間的關(guān)聯(lián)。

例題2 如圖7所示，在三角形ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、 D分別是AB、MB的中點(diǎn)。求證：CD⊥AB。

圖7 例題2圖示

可以用研究例題1的方法研究例題2。這道題可以看作“在三角形ABC中∠ACB=90°”這個大前提下，由①∠A=30°，② M是AB的中點(diǎn)，③ D是MB的中點(diǎn)這三個條件和④CD⊥AB這個結(jié)論組成，同樣地把三個條件和一個結(jié)論看作并列的四個元素，取其中三個作為條件，第四個作為結(jié)論，可以組合出四個不同的命題。例題2的原題是①②③推得④。其余三個命題也都可以證明是真命題，由于已有例題1運(yùn)用這一研究方法的活動經(jīng)驗(yàn)，因此例題2完全可以放手讓學(xué)生自己對四個元素進(jìn)行組合得出變式題，然后嘗試解決。

在完成例題2的四個變式題之后，還可以將例題2中的部分條件和圖形中的部分線段隱去，成為以下這道開放題3，在解決這一問題時再次提升對圖形本質(zhì)的認(rèn)識。

開放題3 如圖8所示，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，________________ 。求證：∠A=30°。請?jiān)跈M線上填寫一個條件（必須是關(guān)于圖8中兩條線段之間數(shù)量關(guān)系的條件）。

圖8 開放題3圖示

四、結(jié)論與反思

經(jīng)過筆者十多年對變式教學(xué)的探索，從習(xí)題變式、單一條件與結(jié)論互換的變式，逐步形成問題系列的“組合變式”。相對于一般的變式方法，“組合變式”可以做到更具規(guī)范性、更有條理性，變式的容量是有計劃的、可預(yù)測的。這一教學(xué)方法大大提高了教學(xué)效能，從中得出以下三個方面的結(jié)論。

（一）“組合變式”的適用范圍廣泛

變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)課中已經(jīng)得到普遍的推廣和運(yùn)用。經(jīng)過多年的課堂教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為，“組合變式”比以往單一的傳統(tǒng)的變式具有更強(qiáng)的普適性和目的性。這一教學(xué)方法可廣泛運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)概念課、習(xí)題課，且適用于不同基礎(chǔ)的學(xué)生及不同類型的學(xué)校。除本文前面提到的兩堂課之外，筆者對九年級第二學(xué)期的“垂徑定理”、八年級第一學(xué)期的“直角三角形性質(zhì)2的兩個推論”都采用這一方法進(jìn)行了教學(xué)，而且在不同的范圍內(nèi)做過公開展示。實(shí)踐證明，在這樣的思維訓(xùn)練下，學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解和認(rèn)識水平、分析和解決問題的能力都有大幅度提高。

（二）“組合變式”推動教學(xué)方式的改變

“組合變式”給學(xué)生提供了一個較為完整的知識整體結(jié)構(gòu)和完整的問題系列，有利于學(xué)生對知識做全面深入的理解，并形成合理的、本質(zhì)相關(guān)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。一旦將“組合變式”運(yùn)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，問題的思維深度、問題的變式容量大大增加，這就迫使教師改變一講到底的教學(xué)方式，而采用合作學(xué)習(xí)的方式。也迫使學(xué)生改變原有的被動接受的學(xué)習(xí)方式，主動構(gòu)建過程體驗(yàn)，改變了被動學(xué)習(xí)的習(xí)慣。因此，教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖M合變式”創(chuàng)造了有利條件，“組合變式”進(jìn)一步推動了課堂教學(xué)的轉(zhuǎn)型。

（三）“組合變式”提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量

學(xué)習(xí)方式改變的真正目的在于改進(jìn)學(xué)習(xí)質(zhì)量。近幾年筆者將“組合變式“教學(xué)運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，對學(xué)生進(jìn)行長期科學(xué)的變式訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解程度、學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、探究和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力都有顯著提升。與此同時，師生關(guān)系更加融洽，學(xué)生對學(xué)好數(shù)學(xué)這門課的自信心有所提高。

然而，代數(shù)課中能不能運(yùn)用“組合變式”來組織教學(xué)？這也是筆者正在思考的問題。變式思想的“變”是趣味無窮的，運(yùn)用“組合變式”進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的領(lǐng)域?qū)拸V，課題豐富，值得教師繼續(xù)開發(fā)研究，繼續(xù)探究實(shí)踐。

［1］張人利. 后“ 茶館式”教學(xué)［M］. 上海：上海教育出版社，2014.

［2］張人利. 后“ 茶館式”教學(xué)的實(shí)踐指導(dǎo)［M］. 上海：上海教育出版社，2016.