吳必潛

【摘要】導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為利用導(dǎo)數(shù)來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題、拐點(diǎn)以及最值問(wèn)題，在導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題中總是涉及一些問(wèn)題求導(dǎo)后可化簡(jiǎn)成二次函數(shù)的“類二次函數(shù)”問(wèn)題，如何解決以“類二次函數(shù)”為背景的含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題，顯得尤為重要，本文將以“類二次函數(shù)”為背景的含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題劃分為四種類型，并提出分類的標(biāo)準(zhǔn).

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；參數(shù)

微積分是數(shù)學(xué)發(fā)展史上繼歐氏幾何又一個(gè)劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，是數(shù)學(xué)史發(fā)展的里程碑，也是銜接高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的重要橋梁.導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為利用導(dǎo)數(shù)來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題、拐點(diǎn)以及最值問(wèn)題，在導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題中總是涉及一些問(wèn)題求導(dǎo)后可化簡(jiǎn)成二次函數(shù)的“類二次函數(shù)”問(wèn)題，由于這類問(wèn)題往往涉及對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對(duì)參數(shù)的討論，因此，很多學(xué)生對(duì)“從何處著手”“關(guān)鍵點(diǎn)在哪里”“怎樣討論”等問(wèn)題往往表現(xiàn)出一片茫然.如何解決以“類二次函數(shù)”為背景的含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題，顯得尤為重要，本文將以“類二次函數(shù)”為背景的含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題劃分為三種類型，并提出分類的標(biāo)準(zhǔn).

類型一：已知參數(shù)大范圍，根據(jù)題意細(xì)分小范圍

探究1 已知函數(shù)f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）.

（1）當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間12，1上的最小值.

解 （1）f′（x）=2ax+（1-2a）-1x

=2ax2+（1-2a）x-1x=（2ax+1）（x-1）x.

因?yàn)閍>0，x>0，所以2ax+1>0，解f′（x）>0，得x>1，

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）.

（2）當(dāng)a<0時(shí)，由f′（x）=0，得x1=-12a，x2=1.

① 當(dāng)-12a>1，即-12

所以f（x）在A=12，1上的最小值為f（1）=1-a.

② 當(dāng)12≤-12a≤1，即-1≤a≤-12時(shí)，

f（x）在12，-12a上是減函數(shù)，在-12a，1上是增函數(shù)，

所以f（x）的最小值為f-12a=1-14a+ln（-2a）.

③ 當(dāng)-12a<12，即a<-1時(shí)，f（x）在12，1上是增函數(shù)，

所以f（x）的最小值為f12=12-34a+ln2.

綜上，函數(shù)f（x）在區(qū)間12，1上的最小值

[f（x）]min=12-34a+ln2，a<-1；1-14a+ln（-2a），-1≤a≤-12；1-a，-12

類型二：雙參數(shù)，定一參變一參

探究2 已知函數(shù)f（x）=13ax3+bx2+x+3，其中a≠0.

（1）當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f（x）取得極值？

（2）已知a>0，且f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍.

解 （1）由已知得f′（x）=ax2+2bx+1，令f′（x）=0，得ax2+2bx+1=0，

f（x）要取得極值，方程ax2+2bx+1=0必須有解，

所以Δ=4b2-4a>0，即b2>a，此時(shí)方程ax2+2bx+1=0的根為

x1=-2b-4b2-4a2a=-b-b2-aa，x2=-2b+4b2-4a2a=-b+b2-aa，

所以f′（x）=a（x-x1）（x-x2）.

當(dāng)a>0時(shí)，

x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）

f′（x）+0-0+

f（x）增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)

所以f（x）在x1，x2處分別取得極大值和極小值.

當(dāng)a<0時(shí)，

x（-∞，x2）x2（x2，x1）x1（x1，+∞）

f′（x）-0+0-

f（x）減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)

所以f（x）在x1，x2處分別取得極大值和極小值.

綜上，當(dāng)a，b滿足b2>a時(shí)，f（x）取得極值.

（2）要使f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，需使f′（x）=ax2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立.

即b≥-ax2-12x，x∈（0，1]恒成立，

所以b≥-ax2-12xmax.

設(shè)g（x）=-ax2-12x，g′（x）=-a2+12x2=ax2-1a2x2，

令g′（x）=0，得x=1a或x=-1a（舍去），

當(dāng)a>1時(shí)，0<1a<1，當(dāng)x∈0，1a時(shí)，g′（x）>0，g（x）=-ax2-12x為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)x∈1a，1時(shí)，g′（x）<0，g（x）=-ax2-12x為單調(diào)減函數(shù).

所以當(dāng)x=1a時(shí)，g（x）取得最大，最大值為g1a=-a，

所以b≥-a.

當(dāng)0

當(dāng)x=1時(shí)g（x）最大，最大值為g（1）=-a+12，

所以b≥-a+12.

綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)，b≥-a；當(dāng)0

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社，2007.

[2]羅增儒，羅新兵，陶君.波利亞的怎樣解題表[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004（4）：14.