熊擇正 胡瓊

【摘要】在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材中，對(duì)級(jí)數(shù)斂散性判別的介紹主要集中在有具體表達(dá)式、遞推關(guān)系或不等式關(guān)系的級(jí)數(shù)中，而對(duì)已知性質(zhì)較少的抽象級(jí)數(shù)研究甚少.本文將通過(guò)一個(gè)具體例子來(lái)引出一類抽象級(jí)數(shù)斂散性判別的定理，希望能為相關(guān)問(wèn)題的研究提供可借鑒的方法與思想.

【關(guān)鍵詞】抽象級(jí)數(shù)；斂散性；函數(shù)

一、問(wèn)題的提出

在文獻(xiàn)中常出現(xiàn)類似這樣的一個(gè)級(jí)數(shù)問(wèn)題，即在正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑nan收斂的條件下，∑nann+pn（p∈N+）是否收斂.在流行的高等數(shù)學(xué)教材中所介紹的半徑判斂法等普通方法無(wú)法處理這類抽象級(jí)數(shù)的問(wèn)題，而要應(yīng)用比較判斂法也很難找到合適的級(jí)數(shù)與之進(jìn)行比較，下面我們引入一個(gè)定理，再解決此類問(wèn)題.

二、定理及其證明

定理 若f（n）為關(guān)于n的任意一恒正函數(shù)，并滿足 limn→+∞f（n）1-f（n）→+∞，那么對(duì)于任意正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)∑nan，必有∑naf（n）n收斂.

證明

由于關(guān)于an的已知條件只有an>0以及∑nan收斂，那么自然想到用集合的方法進(jìn)行處理.現(xiàn)設(shè)集合

M={n|n滿足an，f（n）1，K∈Z}.

若n∈M，則∑naf（n）n顯然收斂.

以下研究nM的情況：

若nM，則有af（n）n≥Kan，

即有|f（n）|<1，且an≤K1-f（n），

亦即af（n）n≤K-f（n）1-f（n）.

而根據(jù)假設(shè)，有

limn→+∞f（n）1-f（n）→+∞，

亦即

∑nMK-f（n）1-f（n）

收斂，所以

∑nMaf（n）n

收斂，兩部分合二為一即得

∑naf（n）n

收斂.

若f（n）≥1，則∑naf（n）n顯然收斂.

證畢.

三、結(jié) 論

根據(jù)上述判別定理，第一部分中提到的問(wèn)題屬于f（n）=nn+p（p∈N+）時(shí)的特殊情況，顯然迎刃而解：由于 limn→+∞nn+p1-nn+p→+∞，因此，級(jí)數(shù)∑nann+pn（p∈N+）收斂.這里我們?cè)偬岢鲆粋€(gè)類似的定理：若limn→0an=0，∑nan發(fā)散，且f（n）為滿足 limn→+∞f（n）1-f（n）→+∞和f（n）>1的任意函數(shù)，則∑naf（n）n也一定發(fā)散.證明方法和第二部分中定理的證明非常類似，感興趣的讀者可以進(jìn)一步證明該定理.

由于本文中證明的定理對(duì)an和f（n）都沒有具體形式的要求，因此，該定理的適用范圍較廣.我們希望通過(guò)這兩個(gè)定理的引入，為相關(guān)級(jí)數(shù)問(wèn)題的研究提供新的視角與方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.