李麗紅

【摘要】本文中利用一元函數(shù)的極限求解二元函數(shù)的極限，從而使二元函數(shù)的極限求解簡單化.

【關(guān)鍵詞】一元函數(shù)極限；無窮小量；無窮小量的階

二元函數(shù)的極限存在，是指點P（x，y）以任何方式無限趨于點P0（x0，y0）時，函數(shù)都趨于同一個數(shù)值A(chǔ)，這與一元函數(shù)的極限定義有著相同的形式.所以二元函數(shù)的極限也可以利用“夾逼定理”“無窮小乘有界量”的方法來解決，但是有些問題利用這種方法不易求解，本文給出一種方法將二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)的極限，這樣二元函數(shù)的極限求解就變得簡單多了.

定理 （1）設(shè)函數(shù)f（x，y）在U（x0，y0）內(nèi)有定義，lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）=A.

（2）函數(shù)y=φ（x）在U（x0）有定義，且 limx→x0φ（x）=y0，

則 lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）=limx→x0f（x，φ（x））=A.

證 ε1>0，取ε1=δ2，則當0<|x-x0|<δ2，有

|y-y0|<ε1.

δ>0，ε>0，當0<（x-x0）2+（y-y0）2<δ，

即（x，y）∈U0（x0，y0）時，總有

|f（x，y）-A|=|f（x，φ（x））-A|<ε

成立，所以

lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）=limx→x0f（x，φ（x））=A.

證畢.

類型一 求二元函數(shù)的極限

例1 當（x，y）→（0，0）時，下列四個命題正確的是（ ）.

① xy是x2+y2的高階無窮小量；

② xy是x2+y2的同階無窮小量；

③ x2y是x2+y2的高階無窮小量；

④ （x2+y2）2是xy的高階無窮小量.

A.①② B.②④ C.③④ D.①③

分析 ① 設(shè)當x→0時，y=φ（x）→0是關(guān)于x的α階無窮小量.

xy是關(guān)于x的α+1階無窮小量.

當α≥1時，

x2+y2是關(guān)于x的1階無窮小量（α+1>1）；

當0<α<1時，

x2+y2是關(guān)于x的α階無窮小量（α+1>α）.

綜上所述，xy是x2+y2的高階無窮小量.

同理：

② x2y是x2+y2的高階無窮小量；

③ 當α≥1時，

（x2+y2）2是關(guān)于x的4階無窮小量.

α=3時，xy是（x2+y2）2同階無窮?。?/p>

α>3時，xy是（x2+y2）2高階無窮小；

α<3時，xy是（x2+y2）2低階無窮小.

當0<α<1時，

（x2+y2）2是關(guān)于x的4α階無窮小量.

α=13時，xy是（x2+y2）2同階無窮??；

α<13時，xy是（x2+y2）2高階無窮?。?/p>

α>13時，xy是（x2+y2）2低階無窮小.

同理：

④ xy與x2+y2隨著α取值不同，無窮小的關(guān)系也不同.

答案選D.

類型二 用于如何選擇特殊的路徑證明二元函數(shù)極限不存在

例2 求lim（x，y）→（0，0）x2y2x-y.

分析 設(shè)當x→0時，y=φ（x）→0是關(guān)于x的α階無窮小量.

x2y2是x-y的高階無窮小量（除y=φ（x）～x外）.

若y=φ（x）～x，令y=φ（x）=x+kx4（此時，x2y2是關(guān)于x的4階無窮小量）.

lim（x，y）→（0，0）x2y2x-y=lim（x，y）→（0，0）x2（x+kx4）2x-x-kx4=-k.

此極限會隨著k的取值不同而不同，所以 lim（x，y）→（0，0）x2y2x-y不存在.

用這類方法不同路徑的選擇變得容易很多，此類思想還可以用于分析函數(shù)在一點處的其他性質(zhì)，例如極值點.

【參考文獻】

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