陳方玉， 曾昌濤

(重慶市第八中學(xué)校， 重慶 400030)

在此從1道重慶市2016年“一診”考題說起，題目如下：

引例(重慶2016年“一診”16題)如圖1所示，過直線x+y=2上任意一點P向圓C:x2+y2=1作兩條切線，切點分別為A，B，線段AB的中點為Q，則點Q到直線l的距離的取值范圍為 .

圖1 引例圓C坐標圖

首先給出解析法：

解答設(shè)點P(t，2-t)，則經(jīng)過O，A，P，B4點的圓的方程為

即x2-tx+y2-(2-t)y=0

得兩圓的相交弦AB方程為tx+(2-t)y=1(也可直接由切點弦方程的公式直接給出)，而直線OP方程：(2-t)x-ty=0

則點Q到直線l的距離為

此題解析法關(guān)注點Q坐標的表示以及距離d的取值范圍的求解，思路清晰，但計算比較繁瑣，其實可以探求此題的射影幾何背景.其本質(zhì)上是一種繁衍變換，為了從這個角度來思考問題，下面先介紹一些相關(guān)的概念和性質(zhì).

1 調(diào)和點列

性質(zhì)1 共軛性

若點A，B被點C，D調(diào)和分割，同時點C，D也被點A，B調(diào)和分割.

性質(zhì)2 調(diào)和性

性質(zhì)3 等比性

若AB中點為M，則有MB2=MC·MD.

2 極點、極線

2.1 定 義

特別地，點P對有心二次曲線(設(shè)其中心為O)的調(diào)和共軛點為Q，且PQ通過中心O，則稱點P變到點Q的變換稱為反演變換，O為反演中心，P，Q互為反點.顯然由調(diào)和點列的等比性，若P，Q互為反點，有OP·OQ=OR2成立.

結(jié)合完全四邊形的性質(zhì)，還可以得到一個有趣的結(jié)論：如圖2所示，A，B是圓錐曲線C的一條對稱軸l上的兩點(不在C上)，若A，B關(guān)于C調(diào)和共軛，過B任作C的一條割線，交C于P，Q兩點，則∠PAB=∠QAB.

圖2 圓錐曲線C

(2) 不在二次曲線Γ上的定點P關(guān)于二次曲線的調(diào)和共軛點軌跡是一條直線，這條直線l叫做P關(guān)于此二次曲線的極線，P為這條直線l關(guān)于此二次曲線的極點.

二次曲線Γ上的點P關(guān)于Γ的極線為二次曲線在P處的切線.

2.2 圓錐曲線中極線的方程

所以點P(x0，y0)關(guān)于二次曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的極線方程為

即(2Ax0+By0+D)x+(Bx0+2Cy0+E)y+Dx0+Ey0+2F=0.

特別地：

(3) 對于拋物線y2=2px，與點P(x0，y0)對應(yīng)的極線方程為y0y=p(x0+x).

2.3 配極原則

如果點P的極線通過點Q，則點Q的極線也通過點P

配極原則是一種特殊的對偶原則，規(guī)定了一個點列與其對應(yīng)線束之間的一個射影對應(yīng).由配極原則，不難得到共線點的極線必共點，共點線的極點必共線.

由此，可以解決文章開頭提出的問題，解析如下：

圖3 引例解析坐標圖C

2.4 極線的作圖方法

若一個三角形每一個頂點關(guān)于二次曲線的極線都是其對邊(每邊的極點也是其所對頂點)，則稱三角形為自極三角形.內(nèi)接于二次曲線Γ的完全四點形ABCD的對邊三點形△PQR為自極三角形(如圖4).

由此，可以得到定點P關(guān)于二次曲線Γ的極線的作法：

圖4 自極三角形

如圖5(a)，P為不在二次曲線Γ上的點，過點P引兩條割線依次交二次曲線于4點E，F(xiàn)，G，H，連接EH，F(xiàn)G交于N，連接EG，F(xiàn)H交于M，則MN為點P對應(yīng)的極線.

在圖5中，還得到了過二次曲線Γ外一點P切線的作法：如圖5(b)，事實上，連接MN交二次曲線Γ于A，B兩點，則PA，PB恰為二次曲線的兩條切線.

(a) (b)

3 極點、極線理論的應(yīng)用

極點、極線理論雖然在高中課標內(nèi)沒有要求，但作為圓錐曲線的一種基本特征，無論是在教材中還是在各地的高考試題和模擬試題中以此為背景的題目屢見不鮮，一線教師了解一些極點、極線理論，可以以較高的觀點去看待試題，有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)生指導(dǎo)和試題研究.

3.1 極點、極線的直接應(yīng)用：判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

解析設(shè)A(x0，y0)，則由P是線段AB的中點得B(2-x0，2-y0)，而A，B在雙曲線上，故

變式(人教A選修2-1 2.4.2例6)已知拋物線的方程為y2=4x，直線l過定點P(-2，1)，斜率為k.k為何值時，直線l與拋物線y2=4x：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？

例2 (2016年全國新課標卷(文科)20題)如圖6，在直角坐標系xOy中，直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點P，點M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.

圖6 例2拋物線C坐標圖

3.2 極點、極線性質(zhì)的深層體現(xiàn)

例3 (2015年全國1卷理科20題)

曲線C:x2=4y與直線y=kx+a(a>0)交于M，N兩點.

(I) 當k=0時，分別求C在點M，N處的切線方程；

(II)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN，說明理由.

解析(I)略；在(II)中，直線y=kx+a與y軸的交點為Q(0，a)，它關(guān)于拋物線的共軛點是其關(guān)于頂點的對稱點P(0，-a)，則根據(jù)調(diào)和共軛的性質(zhì)知：P(0，-a)滿足∠OPM=∠OPN.

類似的，2015年福建文科第19題、2015年四川理科第20題都是利用本題中調(diào)和共軛點的這一性質(zhì)進行命制的.

例4 (2010年江蘇文、理科18題)

(I) 設(shè)動點P滿足PF2-PB2=4，求點P的軌跡；

(III) 設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關(guān)).

圖7 例4橢圓坐標圖

例5 (2011年四川理科21題)

如圖8，橢圓兩頂點A(-1，0)，B(1，0)，過其焦點F(0，1)的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P.直線AC與直線BD交于點Q.

圖8 例5橢圓坐標圖

類似地，2008年安徽理科第22題、2011年山東文科第22題、2011年四川文科第21題、2012年北京理科第19題也是利用極點、極線的尋找或者性質(zhì)為背景命制，另外，還可以看到極點、極線的理論在面對解析幾何中定值、定點問題的處理時，往往會帶來意想不到的解題思路或者突破口.

例6 (1995年全國卷理科26題)

圖9 例6橢圓C坐標圖

解析由題，點P，Q互為反點，點Q是點P的極線與射線OP的交點.

此題其實是對反演變換的一種推廣，廣義反演變換把通過反演中心的直線仍然變?yōu)橹本€本身，把不通過反演中心的直線變成通過反演中心，對稱軸與基橢圓的對稱軸平行且與基橢圓相似的橢圓.

類似地， 2015年北京理科第19題也是以反演變換和反演點性質(zhì)為背景命制.

例7 過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點縱坐標為y1，y2，求證：y1y2=-p2.

變式(2006年全國2卷理科21題)

(II) 設(shè)△ABP的面積為S，寫出S=f(λ)的表達式，并求S的最小值.

相比例1—例4中以極點、極線為背景命制試題，例5及變式是對極點、極線中配極原則的應(yīng)用. 如果用類似的處理方法解決2005年江西理科第22題，會使運算過程大幅度簡化，也會給認識問題本質(zhì)提供方向.

當然以上解析直接作為解題的解答過程顯然是不合適的，但上述分析過程可以幫助教師和高水平的學(xué)生理解試題的背景或者探求解題的方向. 我們一直相信：一個有科學(xué)精神的人，在研究一個問題的時候，第一件事就是遙望一下這個問題的結(jié)果！問題研究的過程，從來都是“大膽猜想，小心論證”的過程.

4 結(jié)束語

極點、極線理論在高等幾何中對二次曲線描述是極為重要的一個基本特征. 教師可以通過對二次曲線在射影幾何的觀點下多加研究，引導(dǎo)學(xué)生用射影幾何的方法處理中學(xué)解析幾何問題. 這樣既能幫助學(xué)生利用舊知識去理解新知識，反過來又能用新知識解決舊問題，使新舊知識結(jié)合起來，這無疑對于指導(dǎo)學(xué)生從更高層次理解中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，從而更深層次地把握幾何知識的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)有積極的意義.

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