陳龍，李濤，徐嘯峰

南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院，南京210044

基于概率密度函數(shù)的時(shí)滯依賴(lài)故障檢測(cè)與診斷

陳龍，李濤，徐嘯峰

南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院，南京210044

CNKI網(wǎng)絡(luò)出版：2017-04-14,http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20170414.1723.018.html

1 引言

隨著科技的不斷進(jìn)步，現(xiàn)代控制系統(tǒng)的形式變得越來(lái)越復(fù)雜，而故障發(fā)生的比例也隨之增長(zhǎng)。控制系統(tǒng)一旦發(fā)生故障，就有可能造成整個(gè)系統(tǒng)的不穩(wěn)定、失效，甚至人員和財(cái)產(chǎn)的巨大損失。為了避免故障的發(fā)生，或者將故障發(fā)生時(shí)帶來(lái)的危害降到最低，人們不斷研究新技術(shù)來(lái)應(yīng)付故障系統(tǒng)，以保證系統(tǒng)能夠安全、可靠地運(yùn)行。因此，對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行故障檢測(cè)與診斷研究，保障現(xiàn)代復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性與安全性，具有十分重要的意義[1]。

近幾年，隨機(jī)系統(tǒng)是控制理論與控制工程領(lǐng)域中的一個(gè)重要的研究方向。經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者多年的深入研究，隨機(jī)控制已形成較為系統(tǒng)和完善的理論體系。目前，隨機(jī)系統(tǒng)控制研究的主要成果有馬爾可夫參數(shù)過(guò)程控制[2]、最小方差控制[3]、自校正控制[4]和線性高斯二次型[5]等。但是，在這些傳統(tǒng)的隨機(jī)控制中，大都假設(shè)系統(tǒng)中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性服從高斯分布，然而在實(shí)際應(yīng)用中并非如此，大多統(tǒng)計(jì)特性是非高斯分布，往往都是要求過(guò)程變量的概率密度函數(shù)[6-7]。文獻(xiàn)[8]提出了一種有理平方根B樣條模型，并設(shè)計(jì)了一種線性隨機(jī)系統(tǒng)的輸出概率密度函數(shù)控制和建模方法。文獻(xiàn)[9]基于有理平方根B樣條模型中實(shí)際權(quán)重與偽權(quán)重的關(guān)系，提出了PDF的建模方法，并在此方法上設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制器。文獻(xiàn)[10]基于有理平方根B樣條模型，設(shè)計(jì)了一種針對(duì)輸出概率密度函數(shù)的預(yù)測(cè)控制算法，并設(shè)計(jì)了控制器。為了讓隨機(jī)系統(tǒng)更加可靠，對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行故障檢測(cè)和診斷也越來(lái)越受到重視[11-15]。文獻(xiàn)[16]利用PDF信息設(shè)計(jì)了一種基于觀測(cè)器的故障檢測(cè)方法。文獻(xiàn)[17]基于輸出概率密度函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器提出了一種新的故障檢測(cè)與診斷策略。這類(lèi)設(shè)計(jì)方法具有很大的應(yīng)用潛力，比如在礦物加工浮選工藝中，浮選過(guò)程表現(xiàn)出多變量、非線性等特點(diǎn)，而且浮選泡沫尺寸的非高斯分布、左偏斜、高峰值等分布特性，導(dǎo)致常規(guī)的方法無(wú)法準(zhǔn)確檢測(cè)和診斷浮選過(guò)程中出現(xiàn)的故障。文獻(xiàn)[18]通過(guò)對(duì)泡沫尺寸分布的輸出概率密度函數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析，建立了非線性不確定性權(quán)動(dòng)態(tài)模型，基于PDF設(shè)計(jì)了一種新的浮選過(guò)程故障檢測(cè)和診斷方法。

另外，時(shí)滯現(xiàn)象廣泛存在于現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)中，由于時(shí)滯的存在，得到的是被滯后了的控制信息，導(dǎo)致被控量不能及時(shí)控制信號(hào)動(dòng)作，時(shí)滯是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的一個(gè)重要原因[19]。數(shù)十年來(lái)許多學(xué)者對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究[20-24]。在隨機(jī)分布系統(tǒng)的故障檢測(cè)與診斷過(guò)程中考慮時(shí)滯的影響也是非常重要的。然而，目前關(guān)于隨機(jī)分布系統(tǒng)時(shí)滯依賴(lài)的故障檢測(cè)與診斷方法并不多。

因此，受到上述問(wèn)題的啟發(fā)，本文的主要目的是設(shè)計(jì)一個(gè)包含時(shí)滯信息的故障檢測(cè)觀測(cè)器和故障估計(jì)器，得到時(shí)滯依賴(lài)的故障檢測(cè)與診斷方法。首先，針對(duì)一類(lèi)包含時(shí)滯和建模誤差的隨機(jī)分布系統(tǒng)，建立基于PDF信息的殘差，然后通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫泛函，建立基于LMI時(shí)滯依賴(lài)的故障檢測(cè)觀測(cè)器的方法，進(jìn)一步，在此基礎(chǔ)上加入故障估計(jì)，設(shè)計(jì)了故障估計(jì)器的方法。最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，證明其有效性。

2 問(wèn)題描述

這里的概率密度函數(shù)是利用有理平方根B樣條函數(shù)[25]來(lái)描述的。假定隨機(jī)系統(tǒng)在時(shí)刻t的輸出η(t)∈[a,b]是一致有界的隨機(jī)過(guò)程，u(t)為輸入向量，F(xiàn)(t)為故障。則在任意時(shí)刻，η(t)的分布可以用它的概率密度函數(shù)γ(z,u(t),F(t))來(lái)描述，定義如下：

P(α≤η(t)≤β|u(t))表示系統(tǒng)在u(t)的作用下，輸出z(t)落在區(qū)間[α,β]的概率。假設(shè)區(qū)間[a,b]已知，輸出概率密度函數(shù)γ(z,u(t),F(t))連續(xù)且有界，則可以用如下的有理平方根B樣條模型來(lái)逼近，并且在建模過(guò)程中考慮了建模誤差：

這里bi(z)(i=1,2,…,n)是預(yù)先給定的定義在區(qū)間[a,b]上的基函數(shù)，BT是與基函數(shù)相關(guān)的函數(shù)，V(t)為權(quán)值，，δ是給定的正數(shù)，并且給定矩陣U1，對(duì)于任意的V1(t)和V2(t)，成立。

假設(shè)B樣條模型中權(quán)值V(t)與輸入u(t)和故障F(t)之間滿足如下的系統(tǒng)描述：

其中，x(t)是系統(tǒng)的狀態(tài)，d(t)是時(shí)變時(shí)滯，F(xiàn)(t)是系統(tǒng)故障，A,Ad,G,H,J,E是具有合適維數(shù)的系統(tǒng)矩陣，其初值表示為x(t)=φ(t)(-τM≤t≤-τ0),τ0和τM表示常時(shí)滯。給定矩陣U2,對(duì)于任意x1(t)和x2(t),成立。

引理[26]對(duì)任意矩陣R＞0，對(duì)于x∈[α1,α2]，始終滿足下列不等式：

其中

3 時(shí)滯依賴(lài)故障魯棒檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

故障檢測(cè)主要是通過(guò)殘差信號(hào)來(lái)進(jìn)行檢測(cè)的，為了產(chǎn)生殘差，構(gòu)造觀測(cè)器如下：

定義狀態(tài)誤差：

于是可得誤差系統(tǒng)如下：

這里

ξ1(t)可表示為：

下面的定理給出了包含時(shí)滯信息及建模誤差信息的故障觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。

定理1給定標(biāo)量λi＞0(i=1,2)，時(shí)間τM＞τ0≥0，0＜d?(t)＜1，及αi(i=1,2,3,4,5,6)，如果存在矩陣P＞0，Q1＞0，Q2＞0，Q3＞0，S1＞0，S2＞0，R和任意可逆矩陣H1，標(biāo)量η＞0，滿足如下不等式：

其中

則不存在故障F(t)時(shí)，誤差系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的，且對(duì)任意t∈[τ0τM]滿足：

證明構(gòu)造李雅普諾夫泛函為：

則：

對(duì)于任意矩陣H，如下的等式恒成立：

其中：

聯(lián)合式（7）、（14）、（15），并令：H2=α1H1,H3=α2H1,H4=α3H1,H5=α4H1,H6=α5H1,H7=α6H1。

所以

證明結(jié)束。

4 故障估計(jì)

為了估計(jì)故障的大小，設(shè)計(jì)故障估計(jì)器如下：

這里的F?(t)是故障F(t)的估計(jì)值，γi(i=1,2)是待設(shè)計(jì)的故障估計(jì)增益量?？傻玫饺缦抡`差系統(tǒng)：

Γ1，Γ2和Δ(t)定義于式（7）。假設(shè)

下面的定理提供一種故障F(t)的估計(jì)算法。

定理2給定標(biāo)量λi＞0(i=1,2)，τM＞τ0≥0，0＜d?(t)＜1，αi(i=1,2,3,4,5,6,7)，如果存在矩陣P＞0，Q1＞0，Q2＞0，Q3＞0，S1＞0，S2＞0，R，γ1，γ2和任意可逆矩陣H1，標(biāo)量μ＞0，κ＞0，滿足如下不等式：

Ω見(jiàn)定理1。

于是在故障估計(jì)器（16）的作用下，誤差系統(tǒng)（17）是漸近穩(wěn)定且對(duì)于任意t∈[τ0τM]滿足：

證明構(gòu)造李雅普諾夫泛函：

則

令：

則

其中：

令：H2=α1H1,H3=α2H1,H4=α3H1，H5=α4H1，H6=α5H1，H7=α6H1，H8=α7H1。

則

所以

5 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文提出方法的有效性，本章在Matlab環(huán)境下對(duì)包含時(shí)滯和建模誤差的隨機(jī)分布系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。假設(shè)輸出概率密度函數(shù)可以用

來(lái)逼近，這里的z定義于區(qū)間[0，1.5]，并且

其中i=1,2,3。系統(tǒng)參數(shù)如下：

非線性函數(shù)的界分別為U1=diag{}0.1,0.1，U2=，計(jì)算得和Λ3=0.25。于是當(dāng)σ(z)=1時(shí)可得Γ1=[0.954 9 1.273 2],Γ2=0.381 3。

設(shè)置初始狀態(tài)為：

本文考慮如下故障：

其中

令λ1=1,λ2=1,d?(t)=0.1,τ0=0.01 s,并選取α1=α2=α3=α4=α5=α6=α7=0.1。當(dāng)τM=0.02 s時(shí)，通過(guò)Matlab Toolbox求解定理1得到η=0.130 9，ρ2=0.040 0。

通過(guò)定理2得到：

圖1至3描述的分別是當(dāng)τ0=0.01 s,τM=0.02 s時(shí)，故障檢測(cè)閾值與評(píng)估函數(shù)的響應(yīng)，殘差的響應(yīng)，以及故障及故障估計(jì)的響應(yīng)。

圖1 τ0=0.01 s,τM=0.02 s時(shí)故障檢測(cè)閾值與評(píng)估函數(shù)的響應(yīng)

圖2 τ0=0.01 s,τM=0.02 s時(shí)殘差的響應(yīng)

圖3 τ0=0.01 s,τM=0.02 s時(shí)故障與故障估計(jì)的響應(yīng)

當(dāng)τM=0.2 s時(shí)，通過(guò)Matlab Toolbox求解定理1得到η=0.116 2，ρ2=0.041 2。

通過(guò)定理2得到：

圖4至6描述的分別是當(dāng)τ0=0.01 s,τM=0.2 s時(shí)，故障檢測(cè)閾值與評(píng)估函數(shù)的響應(yīng)，殘差的響應(yīng)，以及故障及故障估計(jì)的響應(yīng)。

圖4 τ0=0.01 s,τM=0.2 s時(shí)故障檢測(cè)閾值與評(píng)估函數(shù)的響應(yīng)

圖5 τ0=0.01 s,τM=0.2 s時(shí)殘差的響應(yīng)

圖6 τ0=0.01 s,τM=0.2 s時(shí)故障與故障估計(jì)的響應(yīng)

當(dāng)τM=2.5 s時(shí)，通過(guò)Matlab Toolbox求解定理1得到η=0.077 6。

此時(shí)ρ2=0.238 4。

圖7描述的是當(dāng)τ0=0.01 s,τM=2.5 s時(shí)，故障檢測(cè)閾值與評(píng)估函數(shù)的響應(yīng)。

圖7 τ0=0.01 s,τM=2.5 s時(shí)故障檢測(cè)閾值與評(píng)估函數(shù)的響應(yīng)

圖1和圖4的閾值和評(píng)估函數(shù)的比較，證明了本文方法可以檢測(cè)出故障，而圖7是則顯示出當(dāng)時(shí)滯過(guò)大時(shí)，不能檢測(cè)出故障。圖2和圖5描述的是故障發(fā)生時(shí)，在估計(jì)故障的過(guò)程中，殘差信號(hào)的響應(yīng)，并且可以看到時(shí)滯較大時(shí)，殘差信號(hào)的超調(diào)量以及調(diào)節(jié)時(shí)間都會(huì)相應(yīng)增大。圖3和圖6描述的是故障發(fā)生時(shí)，故障及其估計(jì)值的響應(yīng)曲線，從中可以看出本文故障估計(jì)器可以較準(zhǔn)確地估計(jì)出發(fā)生的故障，而隨著時(shí)滯的增加，故障與其估計(jì)值之間的偏差會(huì)變大，故障估計(jì)的效果下降。

6 結(jié)論

本文針對(duì)包含時(shí)滯的隨機(jī)分布系統(tǒng)，通過(guò)設(shè)計(jì)故障檢測(cè)觀測(cè)器和故障估計(jì)器，得到了故障檢測(cè)與診斷的方法。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文提出的方法可以準(zhǔn)確地對(duì)故障進(jìn)行檢測(cè)與估計(jì)。并且通過(guò)加入不同的時(shí)滯，得到時(shí)滯對(duì)故障檢測(cè)與診斷的影響，可以看到故障估計(jì)的效果會(huì)隨著時(shí)滯的增加而下降。

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CHEN Long,LI Tao,XU Xiaofeng.Fault detection and diagnosis based on PDF and time-delay.Computer Engineering andApplications,2018,54（6）：257-263.

CHEN Long,LI Tao,XU Xiaofeng

School of Information and Control,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China

In this paper,a method of fault detection and diagnosis based on Probability Density Function（PDF）is proposed for stochastic distributed systems with time-delay.The residual of the PDF information is established firstly,then it designs fault detection observer and fault estimator based on the linear matrix inequality utilizing the theory of fault detection and diagnosis,and passes through the stability analysis,realizes fault detection and estimation of the system.Finally,the numerical simulation shows the effectiveness of the method.

time-delay;stochastic distribution system;fault detection and diagnosis;observer

針對(duì)包含時(shí)滯的隨機(jī)分布系統(tǒng)，提出了一種基于概率密度函數(shù)（PDF）的時(shí)滯依賴(lài)故障檢測(cè)與診斷方法。建立了基于PDF信息的故障檢測(cè)殘差，利用故障檢測(cè)與診斷理論，設(shè)計(jì)了基于線性矩陣不等式的故障檢測(cè)觀測(cè)器和故障估計(jì)器，并且通過(guò)了穩(wěn)定性分析，實(shí)現(xiàn)了對(duì)該系統(tǒng)的故障檢測(cè)以及估計(jì)。通過(guò)數(shù)值仿真，證明了該方法的有效性。

時(shí)滯；隨機(jī)分布系統(tǒng)；故障檢測(cè)與診斷；觀測(cè)器

2016-09-21

2017-01-17

1002-8331（2018）06-0257-07

A

TP271

10.3778/j.issn.1002-8331.1609-0295

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.61573189，No.61573190）；江蘇省杰出青年基金項(xiàng)目（No.BK20140045）；江蘇省六大人才高峰計(jì)劃（No.2015-DZXX-013）。

陳龍（1992—），男，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)楣收蠙z測(cè)與診斷，E-mail：1576163595@qq.com；李濤（1979—），男，博士，博士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)闀r(shí)滯系統(tǒng)，故障診斷；徐嘯峰（1992—），男，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)闀r(shí)滯系統(tǒng)。