孫欣 王乃濤

【摘 要】推理是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備品質(zhì)。當(dāng)前的課堂教學(xué)中存在著“推理假象”。兒童的推理認(rèn)知具有直接性、直覺性、具象化、半邏輯化等特點(diǎn)。在教學(xué)中，可以通過催生推理意識(shí)、助長推理能力、培育推理品質(zhì)等策略來培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)推理品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】推理假象；推理意識(shí)；推理能力；推理品質(zhì)；規(guī)則意識(shí)

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2018）09-0040-04

【作者簡介】1.孫欣，淮陰師范學(xué)院第一附屬小學(xué)（江蘇淮安，223001）課程教學(xué)部副主任，一級(jí)教師，淮安市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人；2.王乃濤，江蘇省淮安經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)教師發(fā)展中心（江蘇淮安，223005）教研員，高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師。

推理是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備品質(zhì)，是落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力。2011版課標(biāo)將“推理能力”作為數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)的學(xué)生的十個(gè)核心能力之一。小學(xué)階段主要涉及合情推理與演繹推理兩種推理形式。推理品質(zhì)的提升有助于兒童體會(huì)推理產(chǎn)生的必要性和重要性，增強(qiáng)其規(guī)則意識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理更多是作為知識(shí)獲得或問題解決的一種路徑，推理過程本身具有非標(biāo)準(zhǔn)化的特點(diǎn)，容易形成推理教學(xué)假象。

一、數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的幾種“推理假象”

當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著“推理假象”。推理假象是指不符合推理本質(zhì)的表面現(xiàn)象，看似在推理，實(shí)質(zhì)上沒有經(jīng)歷推理本質(zhì)，而流于形式化、空洞化、表面化。

1.暗示性推理假象：推理思路的暗示性取代了學(xué)生的主動(dòng)思考。暗示性推理假象的集中表現(xiàn)是不加思考地接受意見或指令。教學(xué)中常見學(xué)生不動(dòng)腦子地執(zhí)行命令，推理流于形式。教學(xué)蘇教版五下《3的倍數(shù)的特征》，教師讓學(xué)生猜一猜3的倍數(shù)會(huì)有怎樣的特征，學(xué)生經(jīng)歷了只看個(gè)位行不通的過程之后，教師提示：看來3的倍數(shù)只看個(gè)位是不行的，把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字加起來，有什么發(fā)現(xiàn)……學(xué)生機(jī)械地執(zhí)行教師的指令。

2.無端式推理假象：推理原點(diǎn)的欠缺性忽視了學(xué)生的有意猜想。無端式推理假象的集中表現(xiàn)是推理沒有依據(jù)、沒有來由。教師雖引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了猜想和驗(yàn)證過程，但不能準(zhǔn)確把握他們的思維起點(diǎn)，而導(dǎo)致學(xué)生的猜想毫無由頭，成為無源之水。教學(xué)蘇教版三下《長方形、正方形的面積計(jì)算》，在學(xué)生用數(shù)格子的方法推導(dǎo)出了兩種圖形的面積計(jì)算公式之后，教師提示：大膽地猜想一下，正方形比較特殊，它的面積計(jì)算會(huì)不會(huì)也有特殊的方法呢？學(xué)生沉默……教師原想拓展用對(duì)角線相乘除以2的方法計(jì)算正方形的面積，但學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)鞏固、內(nèi)化不夠，猜想特殊方法沒有依據(jù)，沒有特殊個(gè)例發(fā)現(xiàn)，沒有相似特征類比，讓他們憑空想象，他們自然無從思考。

3.無數(shù)學(xué)事實(shí)的推理假象：推理要素的偏差性導(dǎo)致了學(xué)習(xí)的本質(zhì)偏離。無數(shù)學(xué)事實(shí)的推理假象的集中表現(xiàn)，是在推理活動(dòng)中信息變量很多，生活事實(shí)和數(shù)學(xué)事實(shí)交織，學(xué)生無法準(zhǔn)確識(shí)別與推理相關(guān)的要素。教學(xué)蘇教版四下《三角形的三邊關(guān)系》，教師組織學(xué)生開展用小棒圍三角形的活動(dòng)，讓學(xué)生匯報(bào)圍成三角形的三根小棒有什么特點(diǎn)時(shí)，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“三根小棒顏色一樣”“紅黃藍(lán)各選一根”之類的回答。教師沒有提出關(guān)鍵問題“為什么有些選擇不能圍成三角形”，學(xué)生由于沒有讀取關(guān)鍵數(shù)學(xué)事實(shí)，而游離于推理的邊緣。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)課堂“推理假象”的成因剖析

1.教師的教學(xué)理念出現(xiàn)了認(rèn)識(shí)偏差，教沒有向?qū)W轉(zhuǎn)變。有些教師重“教知識(shí)”而輕“教思考”，導(dǎo)致重知輕能的現(xiàn)象依然存在。教師更關(guān)注探索活動(dòng)的最終結(jié)論，學(xué)生沒有經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象、形成猜想、舉例驗(yàn)證、得出結(jié)論的全過程，難以真正感悟推理思想。

2.教師欠缺推理能力，缺乏實(shí)踐性知識(shí)。要培養(yǎng)學(xué)生的推理品質(zhì)，需要教師懂推理、會(huì)推理。一些教師教學(xué)時(shí)側(cè)重于解題技巧訓(xùn)練，實(shí)踐性知識(shí)提升乏力，無法落實(shí)推理任務(wù)。

3.教師的教學(xué)意識(shí)錯(cuò)位，不重視學(xué)習(xí)方式。部分教師不重視推理的方式，淡化學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)的方式。學(xué)生在課堂上有奇思妙想，但創(chuàng)造力和想象力常被扼殺。教師過于關(guān)注完成知識(shí)教學(xué)任務(wù)，擔(dān)心讓學(xué)生經(jīng)歷推理過程會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，從而讓推理過程流于形式。

4.教師的教學(xué)方式簡單，替代學(xué)生思考。一些教師不以學(xué)生的視角審視教材、課堂，不關(guān)注其真實(shí)起點(diǎn)的對(duì)話生成，用講代替學(xué)，用問代替思，代替學(xué)生進(jìn)行思考，課堂封閉、單一。

三、兒童數(shù)學(xué)推理品質(zhì)的內(nèi)涵、價(jià)值及特點(diǎn)

（一）兒童數(shù)學(xué)推理品質(zhì)的意蘊(yùn)理解

兒童的數(shù)學(xué)推理品質(zhì)，是指兒童對(duì)于數(shù)學(xué)推理表現(xiàn)出的思維品性，包括發(fā)現(xiàn)問題的敏感度、主動(dòng)推理的自覺性、推理步驟的清晰度、推理過程的邏輯性、推理方法的靈活性等。推理品質(zhì)的提升能從整體上考量兒童對(duì)于推理規(guī)則的理解，喚醒兒童心中理性的規(guī)則意識(shí)。

（二）培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)推理品質(zhì)的價(jià)值認(rèn)知

1.體現(xiàn)著深層學(xué)習(xí)的需要。史料論證、案情論證、統(tǒng)計(jì)論證等都屬于推理的范圍。復(fù)雜的信息需要甄別、判斷、推理。無論是學(xué)習(xí)自然科學(xué)還是社會(huì)科學(xué)，都需要兒童具備推理品質(zhì)，這體現(xiàn)著他們深層學(xué)習(xí)的需求。

2.體現(xiàn)著核心素養(yǎng)的訴求。推理的實(shí)質(zhì)就是發(fā)現(xiàn)，它是啟迪思維和發(fā)展智慧的重要方法與手段，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力，是核心素養(yǎng)的重要指標(biāo)，能夠助推數(shù)學(xué)思考維度的課程目標(biāo)的達(dá)成。

3.體現(xiàn)著學(xué)科本質(zhì)的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)本質(zhì)是對(duì)客觀世界抽象概括、建構(gòu)模型、形成認(rèn)知的過程，蘊(yùn)含著聯(lián)想、類比、歸納、猜測、實(shí)驗(yàn)等推理手段。推理基于舊知，指向新知，推動(dòng)著人在數(shù)學(xué)方面的發(fā)展。

（三）兒童數(shù)學(xué)推理認(rèn)知的特點(diǎn)把握

兒童的數(shù)學(xué)推理有著不同于成人的特征，存在著明顯的年級(jí)差異，隨年級(jí)升高而逐步提升，運(yùn)算推理的能力在五年級(jí)達(dá)到高峰，提出數(shù)學(xué)猜想的能力在四年級(jí)有一個(gè)飛躍。

1.直接性。信息和順序會(huì)在兒童腦中先形成“自然結(jié)構(gòu)”，他們調(diào)整加工信息，對(duì)加工后的推理結(jié)構(gòu)進(jìn)行輸出，表現(xiàn)出類似于直接猜想的過程。

2.直覺性。兒童的推理認(rèn)知具有典型的直覺性，不經(jīng)過一步步仔細(xì)分析與推敲的過程就提出假設(shè)，可以看成一種非邏輯推理。

3.具象化。兒童的思維以具體形象思維為主，尚不能完全脫離實(shí)物、圖表等具象進(jìn)行邏輯思考，推理認(rèn)知具象化強(qiáng)于抽象化，推理時(shí)需要以具體形象和表象作為支撐。

4.半邏輯化。兒童的推理認(rèn)知理解與運(yùn)用會(huì)經(jīng)過直觀形象推理，發(fā)展到介于直觀形象推理與抽象邏輯推理之間的階段，這是兒童推理認(rèn)知的半邏輯化過程。

四、培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)推理品質(zhì)的策略

（一）催生推理意識(shí)——形成兒童數(shù)學(xué)推理品質(zhì)發(fā)展的精神自覺

推理意識(shí)主要包括猜想、驗(yàn)證、分類研究、確定推理范圍、推理信息梳理等方面。擁有推理意識(shí)，才能自覺主動(dòng)地想到推理，把握時(shí)機(jī)適時(shí)推理，尋找路徑合理推理。

1.推理原點(diǎn)創(chuàng)情境：啟發(fā)兒童合理猜想。

問題情境是兒童主動(dòng)學(xué)習(xí)的前提。情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)源于兒童的推理原點(diǎn)，貼合兒童的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，引發(fā)兒童猜測，使他們獲得推理靈感，不讓猜想變成推理教學(xué)的標(biāo)簽。例如：教學(xué)蘇教版四下《平行和相交》時(shí)，可以先組織學(xué)生觀察火車軌道、雙杠、秋千架側(cè)柱的共同點(diǎn)——不相交，再引導(dǎo)他們感知實(shí)物原型，抽象出兩條直線，并想象它們永不相交的樣子，從而概括出平行線的定義。讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活原型中受到原理性啟發(fā)，尋找生活原型和數(shù)學(xué)對(duì)象間的思維對(duì)接點(diǎn)，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、猜想、歸納過程，有助于啟發(fā)他們合理猜想。

2.推理支點(diǎn)搭支架：啟發(fā)兒童直覺思考。

合情推理常用的方法是聯(lián)想、想象，可以根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象間的表面相似性進(jìn)行從形式到形式的聯(lián)想，也可以根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象間的聯(lián)系進(jìn)行從內(nèi)在到內(nèi)在的聯(lián)想。在兒童的“最近發(fā)展區(qū)”搭建推理支架，發(fā)展他們的思維。例如：教學(xué)蘇教版五上《小數(shù)的意義》，教師借助米尺幫助學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)一位（兩位）小數(shù)表示十分之幾（百分之幾），讓學(xué)生聯(lián)想三位小數(shù)表示千分之幾，然后追問：需要把1000份全部畫出來嗎？學(xué)生：畫出來的話每一份太小了，看不清楚，只要在頭腦中想就可以了。教師適時(shí)點(diǎn)撥：學(xué)習(xí)中有時(shí)并不需要把所有的情況都表示出來，想象、推理同樣能夠幫助我們得到結(jié)果。美國認(rèn)知心理學(xué)家奧蘇伯爾的認(rèn)知同化理論揭示出數(shù)學(xué)知識(shí)同化過程包含新舊知識(shí)建立上位聯(lián)系、下位聯(lián)系、聯(lián)合意義。因此，教師要注重讓兒童同化新知的上位概念、下位概念或相似概念，憑借直覺產(chǎn)生聯(lián)想、想象。

3.推理生長點(diǎn)造沖突：啟發(fā)兒童嚴(yán)謹(jǐn)求證。

一些教師教學(xué)時(shí)，在推理中重視猜想，卻忽視舉例驗(yàn)證，即使任舉幾個(gè)例子，也往往因缺少“類例子”的思考，致使兒童把猜想當(dāng)成結(jié)論。教師應(yīng)關(guān)注論證前提、范圍，聚焦論證難點(diǎn)、生長點(diǎn)，適時(shí)制造沖突，培養(yǎng)兒童的推理品質(zhì)。例如：在蘇教版四下《加法交換律》舉例環(huán)節(jié)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不同類型的數(shù)、特殊數(shù)0和1，規(guī)范驗(yàn)證過程記錄格式。教學(xué)蘇教版四下《加法結(jié)合律》一課，舉例驗(yàn)證的生長點(diǎn)在于規(guī)律存在的前提條件變復(fù)雜：運(yùn)算順序發(fā)生變化，數(shù)、運(yùn)算符號(hào)、三個(gè)加數(shù)的位置都沒變。教師應(yīng)聚焦生長點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)不完全歸納驗(yàn)證過程的艱難，避免學(xué)生產(chǎn)生不需驗(yàn)證也可獲得結(jié)論的錯(cuò)覺，有助于他們養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求證的推理習(xí)慣。

（二）助長推理能力——把握兒童數(shù)學(xué)推理品質(zhì)發(fā)展的方法建構(gòu)

1.推理空間多維化：尋找合情與演繹的契合點(diǎn)。

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞說：“我們靠合情推理為猜想提供依據(jù)，靠論證推理肯定數(shù)學(xué)知識(shí)?！焙锨橥评硎茄堇[推理的準(zhǔn)備，演繹推理是合情推理的升華。例如：教學(xué)蘇教版六上《長方體和正方體的認(rèn)識(shí)》，學(xué)生通過比、量等操作，發(fā)現(xiàn)長方體的相對(duì)面相同，相對(duì)棱長度相等。教師啟發(fā)學(xué)生：如果不動(dòng)手操作，還能知道相對(duì)棱長度相等嗎？學(xué)生依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)做出推理：一組相對(duì)棱依次叫a、b、c、d，因長方形對(duì)邊相等，故a=b、b=c、c=d、d=a，依據(jù)相等關(guān)系的傳遞性，可知a=b=c=d，同理可證明長方體相對(duì)面完全相同。教學(xué)經(jīng)歷了從“直觀幾何”到“實(shí)驗(yàn)幾何”再到“邏輯幾何”的過程，學(xué)生獲得了演繹推理體驗(yàn)，有效溝通了合情推理與演繹推理，有助于他們構(gòu)建數(shù)學(xué)推理體系。

2.推理過程高效化：尋找?guī)缀闻c代數(shù)的融合點(diǎn)。

幾何推理與代數(shù)推理貫穿整個(gè)小學(xué)階段，是教學(xué)的重點(diǎn)，單一運(yùn)用或兩者結(jié)合都能幫助學(xué)生深入理解直觀或抽象的數(shù)學(xué)問題。例如：教學(xué)蘇教版四下《多邊形內(nèi)角和》，引導(dǎo)學(xué)生通過量、算、拼等方法發(fā)現(xiàn)四邊形內(nèi)角和是三角形的兩倍后，教師啟發(fā)：怎么會(huì)有這樣的關(guān)系？能不能想辦法讓人一眼就看出來？學(xué)生對(duì)照圖連對(duì)角線理解四邊形內(nèi)角和=180°×2的道理。五邊形、六邊形則直接讓學(xué)生分一分、算一算，他們結(jié)合圖形直觀，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并得出結(jié)論：多邊形的內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)-2）。借助數(shù)學(xué)抽象與幾何直觀進(jìn)行歸納推理，用圖形直觀對(duì)公式的合理性進(jìn)行解釋，有助于推進(jìn)學(xué)生對(duì)代數(shù)推理意義的理解。

3.推理個(gè)體統(tǒng)一化：尋找思維與語言的結(jié)合點(diǎn)。

語言是思維的外殼，數(shù)學(xué)語言直接影響兒童思維的發(fā)展。教師應(yīng)重視推理語言訓(xùn)練，與推理思維有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)兒童語言外顯與思維內(nèi)隱的和諧統(tǒng)一。例如：判斷25是否是3的倍數(shù)，多數(shù)學(xué)生會(huì)說：因?yàn)?加5等于7，所以25不是3的倍數(shù)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生完整地表達(dá)：因?yàn)楦鱾€(gè)數(shù)位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的數(shù)才是3的倍數(shù)，而2加5的和不是3的倍數(shù)，所以25不是3的倍數(shù)。兒童的推理具有直接性的特點(diǎn)，不能按照邏輯表達(dá)，應(yīng)鼓勵(lì)他們說清楚推理的依據(jù)、過程及結(jié)論。

（三）培育推理品質(zhì)——培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)推理品質(zhì)發(fā)展的深度思維

1.轉(zhuǎn)換視角，靈活選擇：延展推理路徑。

教材基本從一個(gè)視角呈現(xiàn)推理過程，學(xué)生的思維難免局限、單一，教師應(yīng)注意引導(dǎo)他們轉(zhuǎn)換視角。例如：教學(xué)蘇教版四下《乘法交換律》，用不完全歸納得出結(jié)論后，可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合長方形面積計(jì)算方法類比推理出同樣的結(jié)論（如圖1）。有此滲透，學(xué)習(xí)“乘法分配律”時(shí)，學(xué)生也能自覺地拓寬思路，運(yùn)用歸納、類比兩種推理方法得出結(jié)論（如圖2）。

2.隱性挖掘，因人而異：開發(fā)推理內(nèi)容。

教師應(yīng)關(guān)注兒童推理水平的差異性，關(guān)注不同學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，對(duì)他們分層提出要求。例如：蘇教版五下《圓的面積》一課，教材只介紹了將圓剪拼成近似長方形的方法。課末可以設(shè)問：圓形還能轉(zhuǎn)化成哪些圖形？用課件動(dòng)態(tài)演示將圓形剪拼成梯形的過程，讓學(xué)生思考轉(zhuǎn)化成梯形后怎樣推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式，為學(xué)有余力的學(xué)生提供更多營養(yǎng)。

3.整體把握，層級(jí)提升：遞進(jìn)推理水平。

教材體現(xiàn)出對(duì)不同年段學(xué)生的不同要求，教師要從整體上把握不同階段的推理要求，形成推理層級(jí)序列。例如：整體考量蘇教版“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”的推理層級(jí)（如表1），明確兒童推理品質(zhì)發(fā)展的序列，能有效地彌合兒童的推理認(rèn)知與學(xué)科體系間的斷層，螺旋上升式地培養(yǎng)他們的推理品質(zhì)。

綜上可知，兒童推理品質(zhì)的形成與發(fā)展不能一蹴而就，重要的是讓他們用推理思想認(rèn)識(shí)規(guī)律，用規(guī)則意識(shí)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，用理性精神創(chuàng)造世界。

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