沈科

摘 要：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理論為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)化指明了方向。本文分析了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與小學(xué)生推理能力培養(yǎng)的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上分析了小學(xué)數(shù)學(xué)推理的基本內(nèi)涵，并結(jié)合實(shí)例研究了基本的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；推理能力

無(wú)論是數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展，還是人們對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用，推理都在其中扮演著關(guān)鍵性的角色，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力已成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也明確指出應(yīng)將推理能力的培養(yǎng)貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程。小學(xué)是數(shù)學(xué)推理教學(xué)的初始階段，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容特點(diǎn)，都表明培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力有著特殊意義。

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與小學(xué)生推理能力的培養(yǎng)

在建構(gòu)基于學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂時(shí)，我們首先關(guān)注的是學(xué)生想象力的培養(yǎng)，即學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)與形的觀察進(jìn)行提煉、猜測(cè)和概括數(shù)學(xué)規(guī)律的能力，這也是我們常講的數(shù)學(xué)直觀。數(shù)學(xué)直觀和其他直觀的區(qū)別在于其抽象性，它只專(zhuān)注于對(duì)抽象的數(shù)與形進(jìn)行描述和理解，比如數(shù)學(xué)研究中的數(shù)字沒(méi)有單位，我們也很少考慮數(shù)字對(duì)應(yīng)哪些實(shí)物。當(dāng)然數(shù)學(xué)直觀也只能是直觀，任何直接由實(shí)踐總結(jié)或提煉而成的結(jié)論和猜想都具有一定的不確定性，甚至完全是錯(cuò)誤的。當(dāng)數(shù)學(xué)研究遇到上述問(wèn)題時(shí)，我們就需要依靠數(shù)學(xué)大廈的另一根支柱，即數(shù)學(xué)推理。

數(shù)學(xué)推理有著嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性等特征，可以幫助我們?cè)谘芯恐腥未嬲妫⑶夷軐?shù)學(xué)問(wèn)題中的千頭萬(wàn)緒梳理清楚，這將成為我們驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論正確性的前提，甚至在推理過(guò)程中還能發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律。因此，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力應(yīng)該是整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵性任務(wù)，這不僅因?yàn)樗呛诵乃仞B(yǎng)的重要組成，更因?yàn)樗峭苿?dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知前進(jìn)的重要?jiǎng)恿Α?/p>

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，我們要結(jié)合學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)規(guī)律來(lái)發(fā)展學(xué)生的推論能力，在低年級(jí)的數(shù)學(xué)課堂上，我們的教學(xué)目的主要是指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)、培養(yǎng)數(shù)感，然后慢慢過(guò)渡到更強(qiáng)調(diào)抽象思維的推理論證、邏輯訓(xùn)練的高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)。在不同階段推理能力培養(yǎng)的側(cè)重點(diǎn)不同，核心素養(yǎng)的滲透方式也大相徑庭。在低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生從具體事物中將“數(shù)”與“形”的概念提煉出來(lái)，并學(xué)習(xí)將其定量的方法，這是推理能力發(fā)展的根基所在；到了高年級(jí)，我們將引導(dǎo)學(xué)生接觸強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性的數(shù)學(xué)推理，學(xué)生也將逐步適應(yīng)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般、由已知到未知的數(shù)學(xué)推理過(guò)程，他們的邏輯思維能力和相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)將同步得到發(fā)展。

二、數(shù)學(xué)推理的定義和分類(lèi)

推理是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的一種思維方式，是由已知判斷推出未知判斷的思維過(guò)程，它在數(shù)學(xué)研究活動(dòng)中使用得最為普遍而廣泛，同時(shí)也更加直接、深刻和徹底。以推理能力發(fā)展的角度來(lái)審視數(shù)學(xué)教學(xué)，其整個(gè)活動(dòng)過(guò)程就是數(shù)學(xué)的推理過(guò)程。

有關(guān)推理，心理學(xué)、認(rèn)識(shí)論和邏輯學(xué)等都有不同的分類(lèi)方式，而從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)講，我們所研究的推理一般包括兩類(lèi)，即合情推理和演繹推理。

1. 合情推理

合情推理是個(gè)體由已知事實(shí)出發(fā)，憑借個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，采用歸納和類(lèi)比的方法來(lái)完成某些結(jié)果的推斷。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)復(fù)雜的心理過(guò)程，其聯(lián)想、想象和遷移都是與數(shù)學(xué)直觀相伴而行，因此數(shù)學(xué)思維往往表現(xiàn)出穿越感和跳躍性。合情推理由于是從前提發(fā)展出來(lái)的“想當(dāng)然”的推斷，因此其結(jié)論具有一定的或然性，比如在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形時(shí)，教師講：“我們將長(zhǎng)方形中比較長(zhǎng)的那條邊稱(chēng)為‘長(zhǎng)，那么相對(duì)較短的那條邊……”教師以刻意停頓來(lái)提示學(xué)生回答，學(xué)生則必然會(huì)說(shuō)：“那條邊就稱(chēng)為‘短?！?/p>

盡管合情推理的結(jié)論不一定可靠，但是它對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是非常重要的，而且在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)推理中所占的比重最大，它經(jīng)常被運(yùn)用于學(xué)生的思路探索和結(jié)論猜想中，為學(xué)生自主探究提供最強(qiáng)有力的支撐作用。合情推理一般可以分為類(lèi)比推理和歸納推理，前者是由特殊到特殊的推理，后者是由特殊到一般的推理。

2. 演繹推理

演繹推理是個(gè)體從已知事實(shí)和相關(guān)規(guī)則出發(fā)，按照邏輯法則展開(kāi)的一系列計(jì)算和證明?；臼聦?shí)是演繹推理的依據(jù)，合乎邏輯的推算和論證則是推理的核心過(guò)程，由此形成的結(jié)論與依據(jù)之間有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊蚬P(guān)系，因此往往被用于對(duì)猜想的驗(yàn)證過(guò)程。

小學(xué)數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“在解決問(wèn)題的過(guò)程中，兩種推理（即合情推理和演繹推理）功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。”課標(biāo)沒(méi)有明確提出有關(guān)演繹推理的具體要求，但是筆者認(rèn)為這也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的，因?yàn)樗芟驅(qū)W生展示數(shù)學(xué)最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊幻妗?/p>

三、小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)策略

小學(xué)生的思維依然以具象思維為主，這一特點(diǎn)與數(shù)學(xué)的抽象性、概括性、邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性存在一定的沖突，這也是困擾學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的主要矛盾。如何應(yīng)對(duì)這一矛盾，如何更好地發(fā)展學(xué)生推理能力，筆者有以下設(shè)想：

1. 建構(gòu)循序漸進(jìn)的培養(yǎng)體系

學(xué)生的推理能力應(yīng)該是一個(gè)動(dòng)態(tài)的概念，它應(yīng)該隨著學(xué)生在年齡、心理和知識(shí)等方面的成長(zhǎng)而不斷發(fā)展。任何一項(xiàng)能力的培養(yǎng)和發(fā)展都有其自身的特點(diǎn)與規(guī)律，我們的教學(xué)只有匹配相應(yīng)的發(fā)展規(guī)律，才能促成其有效成長(zhǎng)。簡(jiǎn)單地講，我們要建構(gòu)一個(gè)分層次、分階段的培養(yǎng)體系，這一體系的建構(gòu)不僅要研究學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，也要結(jié)合承載推理能力培養(yǎng)的內(nèi)容來(lái)設(shè)計(jì)。

培養(yǎng)體系可以分成兩個(gè)階段，第一階段是萌芽階段，該階段主要是針對(duì)一到三年級(jí)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，并鼓勵(lì)學(xué)生提出簡(jiǎn)單猜想。觀察是最基本的學(xué)習(xí)活動(dòng)，它以感知為基礎(chǔ)，和思維聯(lián)系在一起，它能為學(xué)生展開(kāi)推理積累必要的素材。小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多可供學(xué)生進(jìn)行觀察的內(nèi)容，比如認(rèn)識(shí)圖形、探求規(guī)律等，教師要指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)觀察的角度、順序和方法，并引導(dǎo)學(xué)生描述觀察的結(jié)果，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行猜想，波利亞就曾經(jīng)指出：“合情推理的實(shí)質(zhì)就是猜想”，要“教會(huì)學(xué)生大膽猜想”。

第二是成長(zhǎng)階段，該階段主要針對(duì)四到六年級(jí)，這時(shí)候的學(xué)生已經(jīng)具備推理的基礎(chǔ)，同期對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容也需要學(xué)生結(jié)合推理能力進(jìn)行學(xué)習(xí)和認(rèn)知。在這一階段，教師要指導(dǎo)學(xué)生嘗試著自主進(jìn)行歸納、類(lèi)比、演繹等推理活動(dòng)，以更加有序的思維來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

以上兩個(gè)階段的界限劃分比較模糊，尤其是在三四年級(jí)，教師要結(jié)合具體的情況來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)，一切以學(xué)生能適應(yīng)、能理解、能掌握為基本標(biāo)準(zhǔn)。

2. 以“推理”來(lái)代替“接受”

數(shù)學(xué)研究中涉及大量的原理和定理，正是這些理論指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題分析和解決，逐漸地，這些原理和定理也就成了規(guī)則。教師往往會(huì)以“告訴”的方式，讓學(xué)生被動(dòng)地“接受”規(guī)則，這種學(xué)習(xí)狀態(tài)顯然無(wú)助于學(xué)生主體性的發(fā)揮，怎么來(lái)改變這一現(xiàn)狀呢？我們可以借助推理的力量，即將規(guī)則的一小部分告訴學(xué)生，讓學(xué)生自己通過(guò)推理來(lái)完成對(duì)規(guī)則的認(rèn)識(shí)。

案例1：“小數(shù)的意義”教學(xué)中的推理片段

師：請(qǐng)大家回顧一下，如果對(duì)1米進(jìn)行平均分配，分成十份、一百份、一千份，其中的一份或幾份可以用哪些數(shù)來(lái)表示？

生：可以用小數(shù)或分?jǐn)?shù)進(jìn)行表示。

師：能具體說(shuō)說(shuō)嗎？

生：如果是分成十份，可以用十分之幾和一位小數(shù)表示；如果是分成一百份，可以用百分之幾和兩位小數(shù)表示；如果是分成一千份，則可以用千分之幾和三位小數(shù)表示。

師：如果再分下去，分成一萬(wàn)份、一百萬(wàn)份乃至更多，其中的幾份還能采用上述方式表達(dá)嗎？你能據(jù)此發(fā)現(xiàn)小數(shù)與誰(shuí)有著密切的聯(lián)系？是與哪些分?jǐn)?shù)有聯(lián)系？有著怎樣的聯(lián)系？

在以上案例中，教師先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行回顧，然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)展開(kāi)引申，并通過(guò)問(wèn)題串來(lái)引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)推理，這樣的過(guò)程將促成學(xué)生對(duì)規(guī)則的認(rèn)識(shí)。

在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)規(guī)則等程序類(lèi)的知識(shí)時(shí)，我們?nèi)绻芤龑?dǎo)學(xué)生展開(kāi)推理，那么將對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式帶來(lái)徹底的變化。學(xué)生將由原先的被動(dòng)接受與識(shí)記演變?yōu)橹鲃?dòng)探索、猜想和論證等數(shù)學(xué)推理活動(dòng)。這樣的課堂增添了很多智慧和靈動(dòng)，學(xué)生通過(guò)對(duì)推理過(guò)程的經(jīng)歷和體會(huì)，收獲的將不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，更有推理方法、經(jīng)驗(yàn)和思想，這能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和學(xué)習(xí)信心。

3. 由合乎情理到合乎邏輯

人們進(jìn)行知識(shí)探索和發(fā)明創(chuàng)造都是由合乎情理的猜想出發(fā)，再經(jīng)歷有根有據(jù)的論證，這是最常規(guī)的思維模式。我們引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)也要經(jīng)歷上述過(guò)程，即讓學(xué)生充分體驗(yàn)“由合乎情理到合乎邏輯”的推理過(guò)程，這樣才能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和完美性。

案例2：“小數(shù)的意義”復(fù)習(xí)中的推理片段

師：■=0.1，那么■等于多少？

生：■=0.3。

師：不錯(cuò)，我們?cè)谌昙?jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就曾做過(guò)猜想和推測(cè)，那么為什么會(huì)有這一結(jié)論呢？你能從數(shù)的組合角度給出證明嗎？

生：■是0.1，■是三個(gè)■，也就是三個(gè)0.1，所以等于0.3。

以上案例充分展示了合情推理與演繹推理在功能上的差別，前者主要運(yùn)用于思路的探索，學(xué)生將由此形成猜想；后者則側(cè)重于驗(yàn)證和證明，促使結(jié)論的形成。兩者完美地建構(gòu)了“猜想-論證”探究活動(dòng)的邏輯線索，有著相輔相成的關(guān)系。

4. 由合情推理向演繹推理過(guò)渡

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)演繹推理還有這樣的描述：“通過(guò)實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求?！焙锨橥评砗脱堇[推理有著相互促進(jìn)的作用，教師應(yīng)用注重引導(dǎo)和論證，引導(dǎo)學(xué)生由合情推理過(guò)渡到演繹推理，滲透演繹推理的思想。

案例3：“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)中的推理片段

師：請(qǐng)同學(xué)們自己畫(huà)出幾個(gè)大小不一的三角形，然后用量角器測(cè)量每個(gè)三角形的內(nèi)角度數(shù)，看看三角形的內(nèi)角和為多少？

學(xué)生開(kāi)始操作，并形成猜想：三角形的內(nèi)角和為180°。

師：180°是一個(gè)什么角？

生：平角。

師：你能對(duì)自己所畫(huà)的三角形進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟眉?，以此?lái)證明你們的猜想嗎？

學(xué)生對(duì)三角形進(jìn)行裁剪，將三個(gè)角拼成了一個(gè)平角，猜想獲得驗(yàn)證。

以上案例中，通過(guò)測(cè)量形成猜想是合情推理的過(guò)程，而后的裁剪拼湊則是演繹推理的過(guò)程。在教學(xué)中，教師無(wú)須讓學(xué)生全方位把握演繹推理的“三段論”（即大前提、小前提和結(jié)論），但也有必要讓學(xué)生知道最終結(jié)論的形成應(yīng)基于兩項(xiàng)前提：平角等于180°（大前提），三個(gè)角拼在一起形成一個(gè)平角（小前提）。以上就是由合情推理過(guò)渡到演繹推理的過(guò)程，這樣的教學(xué)可以讓學(xué)生不再停留于現(xiàn)象的表面，而能更加深入地理解知識(shí)的內(nèi)涵，并發(fā)展相應(yīng)的邏輯思維能力。

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，我們以合情推理為主，同時(shí)也要注重演繹推理思維方法的滲透，雖然它在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)體系中不占主導(dǎo)地位，但是其作用卻不容小覷，一方面合情推理的結(jié)論是否正確，需要由演繹推理來(lái)證實(shí)；另一方面，系統(tǒng)化地學(xué)習(xí)推理有助于學(xué)生更加全面地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，并且能逐步掌握學(xué)好數(shù)學(xué)的方法。