張 楊, 吳文海, 胡云安, 高 麗

(1. 海軍航空工程學(xué)院青島校區(qū)航空儀電控制系, 山東 青島 266041; 2. 海軍航空工程學(xué)院控制工程系, 山東 煙臺(tái) 264001)

0 引 言

而現(xiàn)在大多數(shù)處理非仿射模型方法都是將非仿射模型轉(zhuǎn)換為仿射模型。文獻(xiàn)[9-10]普遍采用泰勒公式和中值定理將非仿射模型轉(zhuǎn)換為仿射模型,然后再針對(duì)仿射型系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器。由于這種方法直接忽略了高階項(xiàng),難免產(chǎn)生較大的誤差。并且之前大多數(shù)是對(duì)控制理論或傳統(tǒng)飛控進(jìn)行研究,而在艦載機(jī)著艦領(lǐng)域的非仿射研究方案少之又少。

本文針對(duì)艦載機(jī)著艦?zāi)Ｐ吞岢隽嘶诜欠律漕A(yù)設(shè)性能的控制律方法,該方法在傳統(tǒng)反演方法基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì),但是無需對(duì)中間控制求導(dǎo),也無需引入動(dòng)態(tài)面等方法得到中間控制器的高階導(dǎo)數(shù),簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)過程;而且不需要自適應(yīng)估計(jì)或者神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法對(duì)未知函數(shù)近似,這無疑降低了控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜度;同時(shí)對(duì)模型的不確定性及外部的艦尾流擾動(dòng)有較強(qiáng)的魯棒性。

1 艦載機(jī)著艦非仿射模型

艦載無人機(jī)非線性數(shù)學(xué)模型[11]為

g(cosφcosθsinαcosβ+sinφ

cosθsinβ-sinθcosαcosβ)+

(1)

(2)

(3)

Lcosμ+Ft(cosμsinα+sinμsinβcosα)-mgcosγ]

(4)

(5)

(6)

δ2+

該縱向著艦非仿射純反饋模型為

(7)

式中,gh(γ)、gγ(h,γ,θ)、gθ(q)、gα(α,γ,q)、gq(h,γ,δ)是未知非線性連續(xù)函數(shù)。

2 縱向控制器設(shè)計(jì)

定義1連續(xù)函數(shù)ρ(t):R+→R+稱為性能函數(shù),并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:

(1)ρ(t)為正且嚴(yán)格遞減;

(2) limt→∞ρ(t)=ρ∞>0.

控制目標(biāo)(2)可以通過如下不等式實(shí)現(xiàn):

-Mρ(t)0

(8)

-ρ(t)

(9)

其中,M∈[0,1]為設(shè)計(jì)參數(shù)。本文設(shè)計(jì)思路主要參考文獻(xiàn)[15],令M=1,進(jìn)一步得到e(t)∈(-ρ(t),ρ(t)),?t≥0。性能函數(shù)取為ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-lt+ρ∞,ρ0>ρ∞>0,l>0。預(yù)設(shè)性能曲線圖如圖1所示。其中常數(shù)ρ∞表示預(yù)先設(shè)定的穩(wěn)態(tài)誤差的上界,ρ(t)的衰減速度為跟蹤誤差e(t)收斂速度的下界,同時(shí)跟蹤誤差的最大超調(diào)不會(huì)大于ρ(0)。因此,通過選擇適當(dāng)?shù)男阅芎瘮?shù)ρ(t)便可對(duì)輸出誤差的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)性能進(jìn)行限制。

圖1 預(yù)設(shè)性能曲線Fig.1 Prescribed performance curve

假設(shè)1目標(biāo)高度函數(shù)連續(xù)有界且已知,一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界但未知。

由于目標(biāo)(高度、姿態(tài)角等)通過衛(wèi)星或雷達(dá)引導(dǎo)可以實(shí)時(shí)測(cè)得,然而其導(dǎo)數(shù)并不是可直接獲得的數(shù)據(jù),因此假設(shè)一階函數(shù)相關(guān)信息未知。

假設(shè)2存在未知正常數(shù)使得

由于構(gòu)建的艦載機(jī)非仿射模型連續(xù)并可導(dǎo)有界,因此可知假設(shè)2成立。

本文控制器設(shè)計(jì)目標(biāo):

(1) 設(shè)計(jì)控制器使所有信號(hào)有界,系統(tǒng)全局穩(wěn)定;

(2) 高度、俯仰角、迎角和俯仰角速率等跟蹤誤差滿足預(yù)先設(shè)定的性能。

設(shè)計(jì)控制器之前首先定義轉(zhuǎn)換函數(shù)，即

ρ1(0)>|x1(0)-hc(0)|

ρ1(t)>(ρ10-ρ1∞)e-k1t+ρ1∞

式中,ρ10>ρ1∞>0；k1>0。

定義轉(zhuǎn)換誤差及控制律設(shè)計(jì)。預(yù)設(shè)性能的一個(gè)重要步驟便是重新定義轉(zhuǎn)換誤差,即

因此,設(shè)計(jì)第1步的虛擬控制律

(10)

ρ2(0)>|x2(0)-γc(0)|

ρ2(t)>(ρ20-ρ2∞)e-k2t+ρ2∞

式中,ρ20>ρ2∞>0;k2>0。

定義轉(zhuǎn)換誤差及控制律設(shè)計(jì)。類似步驟1,通過轉(zhuǎn)換誤差可得

設(shè)計(jì)第2步虛擬控制律

(11)

ρ3(0)>|x3(0)-θc(0)|

ρ3(t)>(ρ30-ρ3∞)e-k3t+ρ3∞

式中,ρ30>ρ3∞>0;k3>0。

定義轉(zhuǎn)換誤差及控制律設(shè)計(jì)。通過轉(zhuǎn)換誤差函數(shù),可得

設(shè)計(jì)第3步虛擬控制律

(12)

ρ4(0)>|x4(0)-qc(0)|

ρ4(t)>(ρ40-ρ4∞)e-k4t+ρ4∞

式中,ρ40>ρ4∞>0;k4>0。

定義轉(zhuǎn)換誤差及控制律設(shè)計(jì)。通過轉(zhuǎn)換誤差,可得

設(shè)計(jì)第4步虛擬控制律

(13)

ρ5(0)>|x5(0)-qc(0)|

ρ5(t)>(ρ50-ρ5∞)e-k5t+ρ5∞

式中,ρ50>ρ5∞>0;k5>0。

定義轉(zhuǎn)換誤差及控制律設(shè)計(jì)。與之前步驟相似,可得

設(shè)計(jì)最后一步實(shí)際控制律

(14)

由上文設(shè)計(jì)的控制器形式可知,該控制器不需要已知系統(tǒng)非線性項(xiàng)的相關(guān)參數(shù),或者是函數(shù)的上下界,也不需要對(duì)未知非線性進(jìn)行估計(jì)。并且和傳統(tǒng)反演不同的是,不需要中間虛擬控制的高階導(dǎo)數(shù),減少了控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜度。

3 穩(wěn)定性證明

定理1考慮閉環(huán)非仿射系統(tǒng)(7),在假設(shè)1、假設(shè)2的前提下,給定任意初始條件xi(0),i=1,2,3,4,5,設(shè)計(jì)的控制器(10)～(14),使得系統(tǒng)全局穩(wěn)定,所有信號(hào)有界并且跟蹤誤差滿足預(yù)先設(shè)定的性能。

證明

則

(15)

由

(16)

可得

ζ1(t,χ1,χ2)

(17)

同理，可得

ζ2(t,χ1,χ2,χ3)

(18)

ζ4(t,χ1,χ2,χ3,χ5)

(19)

ζ4(t,χ1,χ2,χ3,χ4,χ5)

(20)

(21)

由以上可得集合為

(22)

并定義開集為

Ωχ=(-1,1)×(-1,1)×(-1,1)×(-1,1)×(-1,1)

由定理1可知,式(22)存在唯一最大值使得Χ:[0,τmax)→Ωχ。因此對(duì)于所有的t∈[0,τmax),閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)有界,并且對(duì)于所有的t∈[0,τmax),Χ嚴(yán)格在開集Ωχ范圍內(nèi)。即

χ1(t)∈(-1,1),χ2(t)∈(-1,1),χ3(t)∈(-1,1),

χ4(t)∈(-1,1),χ5(t)∈(-1,1)

將式(17)～式(21)代入式(15)得到

[gγ(χ1(t)ρ1(t)+hc,χ2(t)ρ2(t)+γc,

[gα(χ4(t)ρ4(t)+αc,χ2(t)ρ2(t)+γc,

(23)

由假設(shè)2并結(jié)合平均值定理可得

gh(χ2(t)ρ2(t)+γc)=

(24)

同式(24)類似可得

gγ(χ1(t)ρ1(t)+hc,χ2(t)ρ2(t)+γc,

χ3(t)ρ3(t)+θc)=gγ(χ1(t)ρ1(t)+hc,

χ2(t)ρ2(t)+γc,χ3(t)ρ3(t))+

(25)

(26)

gα(χ4(t)ρ4(t)+αc,χ2(t)ρ2(t)+γc,

χ5(t)ρ5(t)+qc)=gα(χ4(t)ρ4(t)+αc,

χ2(t)ρ2(t)+γc,

(27)

gq(χ1(t)ρ1(t)+hc,χ2(t)ρ2(t)+γc,δ))=

gq(χ1(t)ρ1(t)+hc,χ2(t)ρ2(t)+γc,0)+

(28)

將式(24)～式(28)代入式(23),進(jìn)一步可得

χ2(t)ρ2(t)+γc,χ3(t)ρ3(t))-a2ε2(t)·

χ2(t)ρ2(t)+γc,χ5(t)ρ5(t))-

(29)

假設(shè)2進(jìn)一步可以表示為

由式(29)進(jìn)一步可得

χ2(t)ρ2(t)+γc,χ3(t)ρ3(t))-

χ2(t)ρ2(t)+γc,χ5(t)ρ5(t))-

(30)

另外,由

(gγ(χ1(t)ρ1(t)+hc,χ2(t)ρ2(t)+γc,

(gα(χ4(t)ρ4(t)+αc,χ2(t)ρ2(t)+γc,

|gγ(χ1(t)ρ1(t)+hc,χ2(t)ρ2(t)+γc,

|gα(χ4(t)ρ4(t)+αc,χ2(t)ρ2(t)+γc,

|gq(χ1(t)ρ1(t)+hc,χ2(t)ρ2(t)+γc,0)-

(31)

由式(31)可知,當(dāng)

Ω=Ωε1(t)∪Ωε2(t)∪Ωε3(t)∪Ωε4(t)∪Ωε5(t)

其中

為進(jìn)一步分析跟蹤誤差在預(yù)設(shè)性能,引入引理1。

引理1如果轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)ε(t)有界并且存在常數(shù)εB>0使得|ε(t)|≤εB,那么誤差e(t)∈(-ρ(t),ρ(t))。

證明

結(jié)合引理1可得

定理1得證。

證畢

本文設(shè)計(jì)的方法不需要類似傳統(tǒng)反演方法對(duì)中間控制變量進(jìn)行求導(dǎo),避免了“指數(shù)膨脹”問題,減少了計(jì)算量;并且控制器設(shè)計(jì)過程不需要著艦的精確模型;同時(shí)對(duì)于模型的不確定性有較強(qiáng)的魯棒性,不需要自適應(yīng)估計(jì)或者采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊控制等方法來對(duì)模型進(jìn)行近似。

4 仿真分析驗(yàn)證

著艦時(shí)需要考慮艦尾流的影響,本文采用的是目前運(yùn)用較多的軍標(biāo)MIL-HDBK-1797中[16]描述的艦尾流模型,包括雄雞尾流、尾流隨機(jī)分量、周期分量和隨機(jī)自由大氣紊流分量。

參數(shù)設(shè)置及初始值為

V0=50 m/s

Vr=70 m/s,H(0)-Hr(0)=8 m

α(0)=0.1,γ(0)=0,θ(0)=0.2,q(0)=8

a1=1,a2=0.1,a3=0.3,a4=3,a5=10

預(yù)設(shè)性能函數(shù)為

ρ1(t)=(22-1)e-0.25t+1

ρ2(t)=(0.6-0.02)e-0.5t+0.02

ρ3(t)=(1-0.1)e-0.25t+0.1

ρ4(t)=(0.5-0.01)e-1.5t+0.01

ρ5(t)=(20-2)e-0.2t+2

艦載機(jī)高度誤差隨時(shí)間變化的曲線如圖2所示。

圖2 高度跟蹤誤差Fig.2 Error of height tracking

由圖2可知，誤差曲線在預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi),并且誤差收斂較快。

艦載機(jī)俯仰角誤差隨時(shí)間變化的曲線如圖3所示。

圖3 俯仰角誤差及預(yù)設(shè)性能Fig.3 Pitch error and prescribed performance

由圖3可知，采用預(yù)設(shè)性能方法后使誤差在0.1的范圍內(nèi)進(jìn)行變化,并在預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi),在實(shí)際飛行過程中這樣的俯仰角跟蹤精度較高。本文設(shè)計(jì)的方法提供了快速準(zhǔn)確的俯仰角響應(yīng),盡管在10 s后加入了艦尾流擾動(dòng),但是跟蹤誤差仍然較小,具有較高的魯棒性能。

設(shè)計(jì)的舵偏角和推力控制曲線如圖4所示。

圖4 推力升降舵曲線Fig.4 Thrust and elevator curve

由圖4可知，盡管擾動(dòng)加入使得控制器設(shè)計(jì)出現(xiàn)波動(dòng),但是即使在存在艦尾流擾動(dòng)的情形下,升降舵偏角依然保持波動(dòng)較小。

迎角誤差隨時(shí)間變化的曲線如圖5所示。

圖5 迎角誤差考慮預(yù)設(shè)性能和未考慮預(yù)設(shè)性能對(duì)比圖Fig.5 Comparison chart of considering prescribed performance and without prescribed performance

為了進(jìn)一步分析本文方法的優(yōu)越性,本文和未考慮預(yù)設(shè)性能的迎角跟蹤誤差曲線進(jìn)行了對(duì)比,由圖5可知，考慮性能函數(shù)的誤差較大,沒有在預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi)。

俯仰角速率誤差跟蹤曲線如圖6所示。

圖6 俯仰角速率跟蹤誤差曲線Fig.6 Pitching angular rate tracking error curve

俯仰角速率誤差在開始的2 s較大,但是跟蹤誤差收斂較快且在預(yù)先設(shè)定的要求范圍之內(nèi)。從圖2、圖3、圖5、圖6可知，誤差曲線在預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi),滿足預(yù)先設(shè)計(jì)的要求。

速度控制曲線如圖7所示。

圖7 速度控制曲線Fig.7 Curve of velocity

由圖7可知，設(shè)計(jì)的控制器能快速地跟蹤期望的設(shè)定速度且跟蹤誤差較小。

綜合以上圖分析,盡管10 s加入了艦尾流擾動(dòng),但是控制器魯棒性能較好,采用預(yù)設(shè)性能方法的誤差都在預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi),并且滿足快速性和魯棒性。

5 結(jié) 論

針對(duì)艦載機(jī)著艦?zāi)Ｐ椭懈鼮橐话愕姆欠律浞蔷€性模型進(jìn)行了控制律的設(shè)計(jì),提出了非仿射著艦縱向預(yù)設(shè)性能控制器方法。從理論推導(dǎo)看出該方法無需對(duì)中間控制變量求導(dǎo),避免了“指數(shù)膨脹”問題,減少了計(jì)算量;簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)過程,控制器更加簡(jiǎn)單,不需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者模糊控制器對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì);考慮了艦尾流外部擾動(dòng),魯棒性較高。通過仿真證明了該方法的有效性和正確性。

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