郭致遠, 姚曉先, 張 鑫

(北京理工大學宇航學院, 北京 100081)

0 引 言

火箭彈大多是尾翼穩(wěn)定的低速旋轉彈,具有反應時間短、火力猛、威力大等優(yōu)勢,然而,其散布隨射程成倍增加。在常規(guī)彈藥制導化的發(fā)展趨勢下,火箭彈的低成本、簡易控制受到了越來越多的關注[1]。無控火箭彈的落點散布主要取決于主動段的擾動[2]?；鸺龔椵^難控制的一個原因在于其模型的時變特性和不確定性。對于無動力飛行段,與傳統(tǒng)導彈類似,速度和空氣密度都是對模型影響較大的因素;而對于續(xù)航段而言,盡管推力可以近似保持速度恒定,然而實際發(fā)動機所提供的推力也是變化的,此外,發(fā)動機提供推力的同時也會引起質量、質心和轉動慣量等的變化。

目前的研究多集中在無動力飛行,發(fā)動機推力的存在會加劇火箭彈數(shù)學模型的不確定性和時變性。文獻[3]和文獻[4]分別基于狀態(tài)依賴黎卡提方程(state-dependent Riccati equation, SDRE)和智能特征結構配置方法(intelligent eigenstructure assignment, IEA)設計了火箭彈的姿態(tài)控制器,這類控制器的設計均依賴于狀態(tài)反饋,但是,在火箭彈的飛行過程中,部分狀態(tài)變量難以測量和估計。文獻[5]基于推力矢量控制(thrust vector control, TVC),使用反饋線性化和SDRE設計了火箭彈的姿態(tài)控制器。文獻[6]通過離散自適應滑模設計了制導炸彈的解耦控制器。文獻[7]基于魯棒非線性反演控制方法設計了應對高靈敏度空空導彈強非線性和不確定性的控制器,然而該控制器的實現(xiàn)較為復雜。

增益調度控制是應對被控系統(tǒng)時變特性常見的控制器設計方案[8-9]。首先，將被控對象在各個工作點處線性化,將非線性、參數(shù)攝動、不確定性動力學作為模型不確定性,通過線性控制器綜合方法設計各點的控制器,然后通過插值或其他方式將獨立控制器綜合起來,得到全局控制器,最后通過仿真驗證控制器的穩(wěn)定性和性能。文獻[10]將高度作為調度變量,結合傳統(tǒng)頻域控制理論設計了用于末制導的火箭彈自動駕駛儀。文獻[11]將時間作為調度變量,結合協(xié)同進化增廣拉格朗日方法得到優(yōu)化的控制器參數(shù)。文獻[12]將速度和高度作為調度變量,使用魯棒增益調度方法設計了炮彈的自動駕駛儀,控制器具有比例-積分的結構,易于在工程應用中實現(xiàn)。

本文以122 mm單室雙推力火箭彈作為研究對象,使用常規(guī)線性鴨舵作為執(zhí)行機構,建立了該火箭彈包含參數(shù)攝動的以線性分式變換(linear fractional transformation, LFT)描述的線性變參數(shù)(linear parameter varying, LPV)模型。對該火箭彈使用魯棒增益調度技術設計了具有固定控制器結構的自動駕駛儀,利用定高飛行的設計目標在續(xù)航段將調度空間簡化為時間-速度域,在無動力飛行段將調度空間簡化為速度域,通過結構奇異值(structure singular value, SSV)分析了閉環(huán)系統(tǒng)在各特征點參數(shù)攝動情況下的魯棒穩(wěn)定性,并仿真驗證了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。

1 火箭彈動力學建模

本文所研究的火箭彈是軸對稱型,具有兩對線性鴨舵,呈“十”字布局,因此在滾轉通道不可控。依據(jù)文獻[13]中建立低速旋轉彈動力學模型所用的坐標系統(tǒng),建立了火箭彈的動力學模型,其中,火箭彈法向加速度表達式在彈道坐標系下為

(1)

其中

(2)

為了簡化分析,在控制系統(tǒng)設計過程中忽略重力和馬格努斯力,在式(1)的平衡點處做雅可比線性化處理,可以得到狀態(tài)方程為

(3)

其中

輸出方程為

(4)

其中

D11=cosγV,D12=sinγV

D21=sinγV,D22=-cosγV

選擇狀態(tài)變量、控制輸入和量測輸出分別如式(5)所示,可以得到線性化的火箭彈動力學模型為

(5)

在式(3)和式(4)中,由于在火箭彈飛行過程中,各參數(shù)依賴于飛行的平衡點,具有時變的特性,具體為

圖1 火箭彈動力學模型的上LFT描述Fig.1 Upper-LFT description of the dynamics model of the rocket

圖中

G=Fu(H,Δ)

(6)

Δ=

(7)

2 控制器設計

為了使加入控制器以后的閉環(huán)系統(tǒng)盡量具有期望的響應,并且對系統(tǒng)的參數(shù)攝動具有魯棒性,采用H∞混合靈敏度設計方法。然而,傳統(tǒng)的H∞混合靈敏度方法得到的控制器階次通常比較高。文獻[14]提出了具有固定結構的控制器,在已有的控制器結構框架下,通過H∞設計離線得到優(yōu)化的控制參數(shù),對于控制器本身沒有更高的要求,可以兼顧實現(xiàn)難度和閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

2.1 線性控制器設計

對于時變域中的任一點λ0∈Γλ,基于H∞的S/KS/T/M混合靈敏度設計方法的框圖如圖2所示。

圖2 綜合混合靈敏度設計框圖Fig.2 Mixed-sensitivity controller synthesis block diagram

‖Twz(s)‖∞=‖F(xiàn)l[P(s,λ0)K(s,λ0)]‖∞<γ,γ>0

(8)

(9)

其中

傳統(tǒng)的H∞控制方法所得到的控制器K(s,λ0)的階次與增廣系統(tǒng)的階次一致,通常較高,而且在用于包含耦合的多變量控制時,容易造成保守性,并增加計算難度。對于火箭彈來說,希望控制器包含盡可能少的參數(shù)和微分,這樣更易于控制器在嵌入式系統(tǒng)中的實現(xiàn)。自動駕駛儀控制器的設計目標是希望火箭彈加速度盡可能準確、迅速地跟隨加速度指令,因此在誤差控制部分應具有積分效應,其余控制部分取最簡單的比例控制。

最簡控制器的結構為

(10)

其中,Kroll-off(s)是滾降濾波器,選擇為一階慣性環(huán)節(jié),帶寬取執(zhí)行機構帶寬的一半，本文模型中未考慮執(zhí)行機構動力學。其余控制器包含可調整參數(shù),分別為

KS(s,λ0)=

考慮到俯仰、偏航方向動力學的對稱性,需要優(yōu)化參數(shù),按照式(11)簡化為6個。簡化方式為

(11)

混合靈敏度的權值函數(shù)參照文獻[12]中的選取方式。假設期望的參考模型形式為

(12)

其余的權值函數(shù)可以根據(jù)參考模型的參數(shù)來選擇。

靈敏度的權值濾波器為

(13)

控制輸入權值濾波器為

(14)

互補靈敏度函數(shù)的權值濾波器為

(15)

(16)

結構化H∞控制器綜合是在附加控制器結構約束的條件下解決H∞綜合問題[14-15]。對于有約束的控制器,通過李雅普諾夫方法可以列寫雙線性矩陣不等式(bilinear matrix inequality, BMI),然而這種方法屬于非確定性多項式(non-deterministic polynomial, NP)困難問題,難以求解。文獻[16]提出非光滑優(yōu)化方法,通過廣義梯度和束方法得到優(yōu)化的控制器參數(shù),并且對于高階模型具有通用性。但是,通過該方法得到的控制器是局部最優(yōu)的,為了使局部最優(yōu)更接近于全局最優(yōu),應當選擇多個不同的起始點開始優(yōu)化,該方法目前已經集成在Matlab的Robust Control Toolbox中。

2.2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性

根據(jù)第2.1節(jié)的方法可以求得λ0處的控制器,其在參數(shù)攝動情況下的魯棒穩(wěn)定性可以通過結構奇異值進行分析。加控制器后,魯棒穩(wěn)定性(robust stability, RS)分析圖如圖3所示。

圖3 魯棒穩(wěn)定性分析圖Fig.3 Structure for robust stability analysis

其關系式為

(17)

式中,NΔ(s,λ0)=Fl[PΔ(s,λ0),K(s,λ0)]。

根據(jù)文獻[17],系統(tǒng)在參數(shù)攝動條件下的RS條件可以表示為

(18)

其中,結構奇異值μΔ(M)為在某一頻率下使得矩陣I-MΔΔ奇異的具有最小結構的Δ的最大奇異值的倒數(shù)[17]，即

(19)

2.3 全局控制器

在參數(shù)空間內選擇若干特征點,計算得到火箭彈的控制器參數(shù),依照參數(shù)空間進行插值,即可得到全局控制器。特征點的選擇需要盡量地覆蓋所有可能出現(xiàn)的飛行狀態(tài),這樣計算得到的控制器才能更好地適應各種飛行情況。具體的選擇方式是:在續(xù)航段將速度和時間作為調度變量來設計控制器,在無動力飛行段,完全通過速度特征點來設計控制器。在計算完若干個孤立控制點后,根據(jù)當前的飛行狀態(tài)使用插值的方式計算實時控制器參數(shù),構造全局控制器。然而,對于全局閉環(huán)系統(tǒng)來說,由于系統(tǒng)是時變的,因此在所有特征點的局部穩(wěn)定性并非是全局穩(wěn)定性的充分條件。對于時變系統(tǒng)來說,其穩(wěn)定性應當通過多次仿真來驗證。

3 仿真

仿真分為3個部分:第1部分是設計某一特征點的控制器并分析特征點下的穩(wěn)定性和性能;第2部分是設計全局控制器,分析局部穩(wěn)定性;第3部分加入高度控制外環(huán),分析不同指令下的全局穩(wěn)定性。

本文使用122 mm火箭彈作為仿真模型。發(fā)動機為單室雙推力,助推段工作約3 s,將火箭彈加速至約2.5個馬赫數(shù),續(xù)航發(fā)動機開始工作,其推力主要用于平衡阻力,使火箭彈在續(xù)航段維持大致穩(wěn)定的速度?；鸺龔椩诎l(fā)射后5 s開始控制,續(xù)航發(fā)動機在發(fā)射后14.24 s結束工作?；鸺龔椀闹饕獏?shù)如表 1所示。

表1 火箭彈的主要參數(shù)

各氣動數(shù)據(jù)不確定性根據(jù)氣動數(shù)據(jù)表給出,推力不確定性取10 %,轉速不確定性取10 %。下面以馬赫數(shù)為2.5時的升力系數(shù)為例說明氣動數(shù)據(jù)標稱值和不確定性的計算方式。

升力系數(shù)在兩條經過原點的直線范圍內變化，如圖4所示。

因此,升力系數(shù)對準攻角的導數(shù)，即圖中直線的斜率為

(20)

3.1 特征點下的控制器設計和穩(wěn)定性分析

選擇特征點λ0=[850,5]T,期望的帶寬和阻尼分別為5 rad/s和0.8,在2%誤差帶條件下,使得期望的調節(jié)時間為0.75 s,按照第2節(jié)的方式設計控制器,對照選擇為基于LMI設計的全階控制器和對全階控制器通過Hankel降階至與式(10)相同階次的控制器,使用3種控制器的閉環(huán)系統(tǒng)從擾動輸入到性能輸出的H∞范數(shù)如表2所示。

表2 3種控制器對比

3種控制器的性能對照如圖5所示,對于靈敏度函數(shù)S(s),低頻下小增益可以保證跟蹤性能,中頻時小峰值可以保證魯棒性。從控制信號K(s)S(s)可以看出執(zhí)行機構的余量。對于互補靈敏度函數(shù)T(s),低頻時的單位增益可以保證跟蹤性能,中頻段小峰值可以保證對多種不確定性的魯棒性和對噪聲的低敏感性。對于模型匹配性能M(s),中頻段的小值可以保證較好的模型匹配效果[18]。

圖5 閉環(huán)系統(tǒng)性能目標和實際性能對比Fig.5 Closed-loop target and shaped performance

由圖5可知,基于H∞設計的全階控制器性能是最好的;具有固定結構的控制器較全階控制器在性能上相差較小;基于Hankel奇異值降階的控制器性能指標為無窮大,將直接導致閉環(huán)系統(tǒng)發(fā)散?？紤]到控制器的工程可實現(xiàn)難易度與控制器階次相關,而全階控制器比固定結構的控制器高34階,因此,在3種控制器中,具有固定結構的控制器最具優(yōu)勢。

通過SSV來分析閉環(huán)系統(tǒng)對于參數(shù)攝動的穩(wěn)定性,用于分析魯棒穩(wěn)定裕度的結構奇異值上下界曲線，如圖6所示。

由圖6可知,SSV始終小于1。因此,閉環(huán)系統(tǒng)對于系統(tǒng)內攝動的參數(shù)具有魯棒穩(wěn)定性。

在參數(shù)攝動范圍內隨機取100個點,得到閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線與參考模型階躍響應曲線的對比，如圖7所示。

圖7 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線Fig.7 Closed-loop step responses of the uncertain system

由圖7可知,閉環(huán)系統(tǒng)基本上可以按照參照模型來跟蹤輸入指令。

3.2 全局控制器設計和穩(wěn)定性分析

將續(xù)航段的特征點選擇為按照0.3 s時間和25 m/s速度所劃分的網(wǎng)格,時間和速度范圍分別是5～14.24 s和800～925 m/s;將無動力飛行段的特征點選擇為在525～900 m/s按照25 m/s所劃分的節(jié)點。按照上述特征點選擇方法,多次重復第3.1節(jié)的過程,得到增益調度控制器。各特征點處的最大結構奇異值如圖8所示。

由圖8可知,在各特征點處,閉環(huán)系統(tǒng)均是局部魯棒穩(wěn)定的。

在設計過程中引入不確定性的目的在于應對火箭彈飛行過程中各參數(shù)的時變性和非線性,從本節(jié)開始直接使用火箭彈6自由度非線性時變模型作為被控對象,仿真在9°發(fā)射高低角、0°發(fā)射方向角下進行,初始俯仰角速度為-0.1 rad/s,按照5 m/s2、幅值5 s、周期50%占空比的方波給出縱向、側向加速度指令,兩通道指令具有不同的相位,過載自動駕駛儀對方波指令的響應情況如圖9所示。由于孤立特征點的性能并不能完整體現(xiàn)閉環(huán)全局系統(tǒng)的性能,因此在全局閉環(huán)系統(tǒng)中出現(xiàn)控制效果存在較大超調量的時刻。

圖8 各特征點的SSV最大值Fig.8 Maximum SSV values of the scheduling points

圖9 閉環(huán)系統(tǒng)非線性仿真曲線Fig.9 Non-linear simulation of the closed-loop system

等效舵偏角曲線如圖10所示。

圖10 仿真中等效舵偏角隨時間變化曲線Fig.10 Equivalent canard deflection during the simulation

由圖10可知,在推力消失后,速度下降導致提供同樣過載所需的等效舵偏角增大。

3.3 平飛控制

火箭彈的設計目標是平飛控制,平飛高度100 m,參照文獻[19]基于線性自抗擾控制(linear active disturbance rejection control, LADRC)分別設計縱向和側向的位置控制器,以縱向為例,線性擴張狀態(tài)觀測器(linear extended state observer, LESO)帶寬為6 rad/s,控制器帶寬為1.3 rad/s,控制結構如圖11所示。

圖11 高度控制框圖Fig.11 Closed-loop height control system block diagram

在9°發(fā)射高低角,0°發(fā)射方向角的情況下,初始俯仰角速度為-0.1 rad/s,平飛控制結果如圖12所示。

圖12 高度和側偏隨時間變化曲線Fig.12 Height and offset vesus time

這種情況下，自動駕駛儀指令與響應曲線如圖13所示。

若發(fā)射角高低角和偏角均有0.03°的誤差,初始速度有2 m/s的擾動,空間彈道及其在側向平面的投影如圖14所示。

圖13 自動駕駛儀指令與響應隨時間變化曲線Fig.13 Command and response of the autopilot

圖14 擾動下的空間彈道曲線Fig.14 3-D trajectories under perturbation

由圖14可知,閉環(huán)系統(tǒng)并沒有出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況,說明在當前仿真條件下,閉環(huán)系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。

4 結 論

基于雅可比線性化推導了火箭彈的俯仰、偏航動力學的線性化模型,使用魯棒增益調度分別設計了針對火箭彈續(xù)航段和無動力飛行段的自動駕駛儀,設計中考慮了模型的時變特性和飛行狀態(tài)中的參數(shù)不確定性。在續(xù)航段將速度、時間作為調度變量,在無動力飛行段將速度作為調度變量,將其他參數(shù)的攝動作為不確定性。通過SSV檢驗了各特征點下的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。仿真結果表明:通過本文方法設計的自動駕駛儀可以實現(xiàn)俯仰和偏航通道的解耦,同時能按照參考模型近似跟蹤輸入指令;附加較簡單的位置控制回路可以實現(xiàn)定高平飛控制,對發(fā)射偏差具有魯棒性。

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