柳冬玉，潘亞嘉

(西南交通大學 機械工程學院，四川 成都 610031)

0 引 言

傳統(tǒng)的機構(gòu)設計有幾何法和解析法。在對某一特定機構(gòu)進行參數(shù)分析時，可使用CAD軟件建模，進而進行機構(gòu)分析。為分析機構(gòu)而進行三維建模耗工耗時，部分CAD軟件雖然具備骨架功能，但操作仍較繁瑣。對于機構(gòu)的運動學問題，手工計算或者編程求解又面臨求解非線性方程組的問題，研究簡明易用的平面連桿機構(gòu)仿真程序十分必要。

目前平面機構(gòu)仿真程序有以下幾類：

(1) 專門針對特定機構(gòu)的程序，首先讓用戶從幾種固定的機構(gòu)類型中做出選擇，再輸入尺寸進行仿真，或者輸入設計目標得到機構(gòu)尺寸。此類程序算法固定，不能夠處理內(nèi)置機構(gòu)以外的類型。

(2) 以桿組理論為核心的通用平面機構(gòu)仿真程序，用戶必須以桿組為基本單元進行輸入[1-5]。

(3) 不依賴桿組，以單個桿件為基本元素的通用平面機構(gòu)仿真程序。用戶需輸入桿件及其約束信息[6-7]。

基于桿組理論的機構(gòu)仿真程序要求用戶熟悉桿組分解，并且不能夠求解程序中沒有的桿組，具有先天缺陷。筆者在上述第3類程序的基礎上，引入符號計算思想所進行的研究。

1 基于約束的運動學模型建立

1.1 機構(gòu)的約束方程組的一般形式

設機構(gòu)由一個約束方程組描述[8]為：

(1)

由式(1)可以解出機構(gòu)在任意時間下的q，從而得出機構(gòu)的位置。由于式(1)通常為高度非線性，所以大多使用數(shù)值方法求解。

由于解出的q非解析解，所以不能直接對q微分得到機構(gòu)各構(gòu)件的速度及加速度。

(2)

(3)

考慮由轉(zhuǎn)動副和移動副構(gòu)成的平面連桿機構(gòu)，其基本約束形式為重合約束和共線約束。重合約束的方程形式為：

(4)

式中：xi,yi,φi為構(gòu)件i的笛卡爾廣義坐標；xj,yj,φj為構(gòu)件j的笛卡爾廣義坐標；xi′P,yi′P,xj′P,yj′P為兩構(gòu)件重合點P分別在構(gòu)件i,j的固定坐標系上的坐標。若取其中一個構(gòu)件的廣義坐標為常數(shù)，則可得到機架點鉸接活動構(gòu)件的約束方程。

共線約束的方程形式為：

xi′Q)]×(xi-xj+xi′Pcosφi-xj′Pcosφj-

yi′Psinφi+yj′Psinφj)-[cosφi(xi′P-

xi′Q)-sinφi(yi′P-yi′Q)]×(yi-yj+

yi′Pcosφi-yj′Pcosφj+xi′Psinφi-

xj′Psinφj)≡0

Φ2t(i,j)=[cos(φi-φj)(yi′P-yi′Q)+

sin(φi-φj)(xi′P-xi′Q)](xj′P-xj′Q)-

[cos(φi-φj)(xi′P-xi′Q)-sin(φi-

(5)

式中：xi,yi,φi,xj,yj,φj含義同式(4)；兩構(gòu)件間存在一條公共的線段PQ，點P和點Q在構(gòu)件i,j的固定坐標系上的坐標分別為xi′P,yi′P,xj′P,yj′P和xi′Q,yi′Q,xj′Q,yj′Q。若取其中一個構(gòu)件的廣義坐標為常數(shù)，則可得到機架與活動構(gòu)件共線的方程。

1.2 拖動約束方程

很多CAD軟件都具有鼠標拖動零件查看機構(gòu)運動的功能，拖動功能能夠非常直觀地反映機構(gòu)的運動情況，允許用戶拖動任一構(gòu)件查看仿真效果。下面推導拖動約束方程。如圖1所示，構(gòu)件i在點MStart處被鼠標點擊拖動至MDrag，構(gòu)件受到其余約束方程的限制進行運動，廣義坐標發(fā)生變化，但運動規(guī)律未知。

圖1 構(gòu)件i拖動前后示意

發(fā)生拖動前后，點M與構(gòu)件的相對位置不發(fā)生變化，點M在坐標系xi′-yi′上的坐標為:

SM′=[xm′ym′]T

(6)

矢量SM與坐標軸xi′的夾角為:

(7)

點MDrag存在關(guān)系:

l=(xm-xi)sin(φi+α)

=(ym-yi)cos(φi+α)

(8)

式中：l為點M至坐標系xi′-yi′距離。

整理，得到拖動約束方程為:

(9)

已知一個機構(gòu)系統(tǒng)的所有尺寸及其初始狀態(tài)，列出所有轉(zhuǎn)動副與移動副的約束方程，與驅(qū)動約束方程聯(lián)立可得式(1)，依次求解式(1)～(3)則可得到機構(gòu)系統(tǒng)任意時刻的位移、速度及加速度。若與拖動約束方程聯(lián)立求解，則可得到機構(gòu)系統(tǒng)在受約束限制時拖動某一構(gòu)件后的位置。

2 利用表達式樹構(gòu)建非線性約束方程組求解器

由于運動學方程是高度非線性的，其求解方式至關(guān)重要。基于牛頓—拉夫森迭代法的運動學約束方程求解在程序編制上通常使用固定矩陣法，其步驟如下：

(1) 事先展開所有運動副及驅(qū)動約束的位移、速度、加速度方程，推導特定約束對于兩個構(gòu)件的位移、速度、加速度方程右項。

(2) 在計算時代入構(gòu)件的廣義坐標，組合成位移、速度、加速度整體的數(shù)值矩陣，求解線性方程組后再根據(jù)迭代終止條件回代到位移、速度、加速度右項中繼續(xù)迭代。

固定矩陣法整個求解過程不涉及符號推導，運算速度快，但是因為每種方程的計算表達式已經(jīng)推導并且固化在程序中，所以無法為原動件設置自定義函數(shù)的運動規(guī)律，也無法求解運動學方程以外的方程。文獻[8]討論的即是此類求解器。

鑒于固定矩陣法的缺陷，引入符號計算思想及編譯原理編制了通用非線性方程組求解器核心，在求解器核心的基礎上添加自動列式功能及接口構(gòu)成非線性約束方程組求解器。求解器可識別中序遍歷表達式的非線性方程組字符串，并求出結(jié)果。文中的方法與固定矩陣法的求解流程圖對比如圖2所示。

圖2 固定矩陣法與文中方法求解流程對比

求解器功能由四個類實現(xiàn)：求解器類(TSolver)、方程組類(TEquations)、表達式樹類(TExpressionTree)、變量表類(TVariableTable)。

變量表類用于保存變量名及其初始值；表達式樹類用于將方程字符串解析為表達式樹；方程組類用于存儲各個方程的表達式樹并對其求解，可獨立求解非線性方程組；求解器類用于讀取程序構(gòu)件數(shù)據(jù)建立約束方程，對外提供方程組類中的求解結(jié)果的接口。

在方程組類內(nèi)部，方程字符串由詞法分析器解析為表達式樹，表達式樹進行符號求導得到由表達式樹組成的雅可比(Jacobian)符號矩陣。雅可比符號矩陣及方程組均代入初值得到線性方程組，利用高斯消元中的列主元消元法得到Δq，同時判斷出雅可比矩陣的奇異性。圖3為基于表達式樹的非線性方程組求解過程圖。

圖3 基于表達式樹的非線性方程組求解過程

根據(jù)Δq進行收斂判斷，若Δq大于設定值則繼續(xù)迭代。若Δq小于設定精度則終止迭代并輸出求解結(jié)果。

3 程序結(jié)構(gòu)組成及設計

3.1 程序結(jié)構(gòu)

程序以面向?qū)ο竽Ｊ介_發(fā)，其結(jié)構(gòu)分為界面層、工具層、構(gòu)件層和公共層，如圖4所示。

圖4 程序結(jié)構(gòu)組成

界面層負責程序的界面顯示，各個控件的業(yè)務邏輯，彈出對話框。工具層包含工具庫，繪制類，吸附類和求解器：工具庫包含實現(xiàn)各類構(gòu)件繪制的工具類；繪制類提供各類構(gòu)件及矢量圖形的繪制函數(shù)；吸附類用于在構(gòu)件繪制時提供吸附功能；求解器如前文所述，用于求解運動學約束方程。構(gòu)件層將各類構(gòu)件、約束及驅(qū)動封裝為類，構(gòu)件管理器用于管理構(gòu)件信息，輸入輸出構(gòu)件數(shù)據(jù)文件。公共層包含配置類、公共函數(shù)庫及資源，配置類存儲程序當前的單位、比例、坐標原點、線型、顏色等信息，供其他層調(diào)用。

界面層與工具層在實現(xiàn)邏輯上通過直接調(diào)用Windows API實現(xiàn)，不依賴JRE、.net Framework等框架及MFC、Qt等類庫。

3.2 求解算法及動畫邏輯

構(gòu)建完成機構(gòu)系統(tǒng)后，拖動構(gòu)件、點擊刷新、運行仿真都將激活求解器。求解時，程序?qū)?gòu)件、約束及驅(qū)動進行遍歷，生成約束方程及驅(qū)動方程。此時得到整個機構(gòu)的方程組，之后將機構(gòu)的當前位置作為求解器中各未知量的初值，代入求解器進行求解。若求解成功，則將求解器中各未知量數(shù)據(jù)傳回桿件，刷新畫布顯示結(jié)果。程序支持動畫功能。將時間參數(shù)連續(xù)傳入求解器并存儲求解結(jié)果，將求解結(jié)果連續(xù)送入畫布繪制機構(gòu)，即可實現(xiàn)動畫效果。

4 應用實例

牛頭刨床六桿機構(gòu)如圖5所示。

圖5 牛頭刨床六桿機構(gòu)運動簡圖

各構(gòu)件尺寸為l1=125 mm，l3=600 mm，l4=150 mm，主動件為構(gòu)件1，以ω1=360 (°)/s等速轉(zhuǎn)動，初始位置為φ1=0 (°)，l5為從動件，求E點處x方向的位移、速度及加速度。

建模及分析過程如下。首先在圖6所示程序主界面上點選工具，在操作區(qū)繪制各構(gòu)件，繪制過程中將自動產(chǎn)生捕捉，并建立起約束關(guān)系，操作方式類似于AutoCAD。

圖6 程序界面

之后使用選擇工具選中連桿1，點擊工具欄上“設為原動件”按鈕，彈出如圖7所示窗口，設置原動件運動規(guī)律。此時機構(gòu)建立完畢。

圖7 設置原動件界面

點擊主界面工具欄上“動畫與測量”按鈕，彈出窗口如圖8所示。設置好各測量項目，點擊“開始分析”按鈕，程序?qū)C構(gòu)在指定時間內(nèi)的運動進行分析。分析完成后，將彈出測量結(jié)果線圖，即E點在x方向的位移、速度及加速度，如圖9所示。點擊線圖窗口菜單項可將線圖保存為圖片及csv數(shù)據(jù)文件。在“動畫與測量”界面上拖動時間軸或者點擊播放等按鈕可以查看機構(gòu)運動仿真動畫，如圖10。

圖8 動畫與測量界面

圖9 LML輸出位移、速度、加速度線圖

圖10 ADAMS輸出位移、速度、加速度線圖

表1為本文程序LML進行位移、速度、加速度分析的數(shù)據(jù)與ADMAS的對比。從線圖及輸出數(shù)據(jù)來看，牛頭刨床推程運動速度平穩(wěn)，加速度?。换爻趟俣茸兓?，加速度大，符合急回運動特性，驗證了程序求解的正確性。

表1 位移、速度、加速度分析數(shù)據(jù)與ADAMS對比

5 結(jié) 論

建立了基于約束的平面連桿機構(gòu)系統(tǒng)運動學模型，通過表達式樹實現(xiàn)基于牛頓—拉夫森迭代法的通用非線性方程組求解器，開發(fā)了平面連桿機構(gòu)仿真程序。

(1) 封裝了Windows基本窗口及原生控件，內(nèi)部功能完全通過Windows API實現(xiàn)，程序平臺依賴性低，體積小，可在沒有安裝任何運行庫的Windows XP以上系統(tǒng)運行。封裝的窗口類及控件類可作為獨立類庫用于開發(fā)Win32界面程序。

(2) 求解器核心基于C++面向?qū)ο缶幊谭椒ㄔO計，可作為通用的線性、非線性及不定方程組解算工具。求解器不依賴桿組理論，可求解任意桿組級別、多自由度機構(gòu)的運動學約束方程。

(3) 圍繞平面連桿機構(gòu)的設計、編輯、分析、動畫功能設計了簡明的用戶操作界面及人機交互方式，實現(xiàn)真正的“拖拽式編輯”，程序自動吸附節(jié)點、添加約束，用戶不需要介入節(jié)點編號等繁瑣細節(jié)，所有操作所見即所得，并可拖動機構(gòu)構(gòu)件查看任意運行位置，原動件可設置任意表達式的運動規(guī)律，輸出位移、速度、加速度圖像及數(shù)據(jù)。與ADAMS的仿真結(jié)果對比驗證了求解的正確性。

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