江蘇丹陽市全州學(xué)校 吳愛國(guó)

筆者在一本數(shù)學(xué)課外書上看到一道名叫“小格涂色”的開放題。乍看題目，讓人感覺很簡(jiǎn)單，做起來卻覺得有趣，有一種“不識(shí)廬山真面目”的感覺。學(xué)生對(duì)這道題感興趣嗎？他們會(huì)給出什么答案？筆者決定在五年級(jí)學(xué)生中做調(diào)查。

一、調(diào)查問題

小格涂色：任意選擇5個(gè)連在一起的小方格（相鄰的2個(gè)小方格之間必須有公共邊），然后將它們涂色。圖1中已畫出1種組合。你還能畫出多少種？請(qǐng)你將它們畫出來，限時(shí)20分鐘，盡量寫出你的思考過程。

圖1

做完題目后，請(qǐng)你在下面的□內(nèi)畫“√”，并回答問題。

1.你認(rèn)為這道題有趣嗎？

很有趣□ 比較有趣□ 無趣□

2.做完這道題，你有什么想法？

二、調(diào)查對(duì)象

五（1）班37人，五（2）班41人，五（3）班42人，五（4）班39人，五（5）班28人，共計(jì)187人。

三、調(diào)查過程

筆者組織五年級(jí)各班學(xué)生參與調(diào)查活動(dòng)過程，沒有給他們?nèi)魏谓忸}提示，他們都是獨(dú)立解題，沒有任何討論與交流，結(jié)果反映了學(xué)生們獨(dú)立思考解決這個(gè)問題的真實(shí)水平。

四、調(diào)查結(jié)果與分析

1.有關(guān)答案的統(tǒng)計(jì)與分析

經(jīng)過對(duì)調(diào)查問卷的批改與分析，除了題目中已畫的1種，學(xué)生們一共畫出了11種，具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1。

從表1中可以看出：畫出1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)圖形的人數(shù)特別多，而畫出9號(hào)、10號(hào)、11號(hào)圖形的人數(shù)特別少。從中可以得出，大多數(shù)學(xué)生畫圖時(shí)考慮“直線形”，考慮“折線形”的學(xué)生偏少；在畫圖時(shí)，大部分學(xué)生會(huì)想到層數(shù)少的圖形，如1號(hào)只有一層，2號(hào)、3號(hào)有兩層，想到層數(shù)多的人比較少。筆者還發(fā)現(xiàn)，五（2）班學(xué)生每種圖形畫出的人數(shù)大都比其他班的人數(shù)多，可見五（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)整體實(shí)力較強(qiáng)。

表1：

表2：

因?yàn)閷W(xué)生們的數(shù)學(xué)能力有所不同，所以每個(gè)人畫出的圖形數(shù)量也大不相同，具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表2。

從表2中可以發(fā)現(xiàn)：畫出4種、5種、6種圖形的人數(shù)特別多，而畫出9種及9種以上圖形的學(xué)生特別少；每個(gè)班畫出2種或2種以下、9種或9種以上的人數(shù)都比較少；五（2）班畫3種以下的人數(shù)是這5個(gè)班中最少的，再次印證了五（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)整體實(shí)力較強(qiáng)；五（5）班畫出4～8種圖形的人數(shù)是這5個(gè)班中最少的，說明五（5）班學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平兩極分化比較明顯，且令人感到奇怪的是，竟然有12個(gè)學(xué)生沒有畫出圖形。經(jīng)查閱他們的問卷后才明白，他們是因?yàn)椴徽J(rèn)真審題或理解錯(cuò)了題意，導(dǎo)致畫出的圖形不符合要求。

2.有關(guān)有趣度的統(tǒng)計(jì)與分析

這道題有趣嗎？學(xué)生有不同的感受，具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表3。

表3：

從表3中可以發(fā)現(xiàn)：選擇“很有趣”“比較有趣”的學(xué)生較多。由此可見，對(duì)這樣的開放題學(xué)生們還是比較喜歡的。有些學(xué)生覺得這道題太簡(jiǎn)單，只適合一、二年級(jí)甚至幼兒園的小朋友做，因此認(rèn)為這道題十分無趣。其實(shí)，這道題看似很簡(jiǎn)單，很容易畫出幾種圖形，但要畫出6種以上還是有難度的（見表2）。

3.有關(guān)解題策略的統(tǒng)計(jì)與分析

從學(xué)生們的思考過程可以看出，一部分學(xué)生能有序地思考畫圖，經(jīng)分析歸類，主要有以下幾種解題策略：

（1）“層層形”

首先將5個(gè)小方格排成1行；接著將4個(gè)小方格排成1行，剩下1個(gè)小方格放在第2行進(jìn)行移動(dòng)；然后將3個(gè)小方格排成1行，將剩下2個(gè)小方格中的1個(gè)固定位置，移動(dòng)另外那個(gè)……

下面，是一個(gè)學(xué)生使用此解題策略的思考過程：

（2）“移動(dòng)形”

先固定幾個(gè)連在一起的小方格，再用剩下的小方格在此基礎(chǔ)上進(jìn)行移動(dòng)。使用此解題策略很難畫出全部答案。

下面，是兩個(gè)學(xué)生使用此解題策略的思考過程：

（3）“直線形”

用橫豎、橫橫、豎豎等組合的思考方式把5個(gè)小方格進(jìn)行排列。使用這種解題策略的學(xué)生畫出的圖形都在8種以下，并且沒有畫出像，，這樣的“折線形”圖形。

下面，是一個(gè)學(xué)生使用此解題策略的思考過程：

五、調(diào)查對(duì)教學(xué)的啟示

1.做開放題要選擇合適的解題策略

引入“開放題”的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力起著積極作用。在解答開放題時(shí)，學(xué)生往往會(huì)因考慮不周密、不全面而漏解。做事要講究方法，做數(shù)學(xué)題也要選擇正確、合適的解題策略?！靶「裢可边@道題應(yīng)該選擇“層層形”解題策略，有序、全面地思考，一層一層考慮，一格一格移動(dòng)，這樣可以找出所有答案。通過上例可以看出，有些數(shù)學(xué)問題的答案也可以是豐富多彩的，同一問題往往有多種不同的答案。教師平時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)多角度地思考問題，分析時(shí)應(yīng)當(dāng)分類思考、有序列舉，自覺地去想“是否還有其他答案”，以訓(xùn)練思維的深刻性。

2.教師要努力增強(qiáng)教學(xué)的開放性

在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入“開放題”的教學(xué)，對(duì)于豐富教學(xué)內(nèi)容、拓寬教學(xué)思路是十分有益的。但有些教師僅僅將開放題作為一種題型（或數(shù)學(xué)知識(shí)）來教，就題論題，學(xué)生開放性解決問題的思維習(xí)慣并沒有在頭腦里真正建立起來。那么，怎樣才能喚醒學(xué)生的求異思維和開放意識(shí)呢？教師應(yīng)該給學(xué)生留下更大的空間，而不是將學(xué)生的思維活動(dòng)局限于一個(gè)事先劃定的狹小范圍。教師除了有機(jī)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)好開放題外，關(guān)鍵是要確立“開放性教學(xué)”理念，學(xué)會(huì)開放性地引導(dǎo)、激勵(lì)、評(píng)價(jià)等，促進(jìn)教師“開放性”教學(xué)水平的提高。

3.平時(shí)要適當(dāng)增加開放題的練習(xí)

調(diào)查結(jié)果顯示，大部分學(xué)生覺得這道題有趣，并喜歡這道題。有些學(xué)生在問卷上寫道：“這道題讓我充滿想象力！”“這題很考驗(yàn)我們的智力，太有趣了?！币虼耍處熞o學(xué)生出一些類似的開放題，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。教師要靈活運(yùn)用“一題多問、一題多變、一題多解”等策略，使學(xué)生經(jīng)歷由“多思”向“多解”層面發(fā)展，由“多解”向“巧解”層面拓展，體現(xiàn)訓(xùn)練過程的“開放性”。結(jié)合“開放題”的教學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生全面思考問題，尊重學(xué)生各自的數(shù)學(xué)思維風(fēng)格或思維形式，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。?