于華楠，杜 瑤，郭樹(shù)旭

(1.東北電力大學(xué) 信息工程學(xué)院，吉林省 吉林市132012；2.吉林大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

廣域測(cè)量系統(tǒng)(Wide area measurement system，WAMS)作為電網(wǎng)動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的新技術(shù)和重要手段，能實(shí)時(shí)地反映全網(wǎng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化，對(duì)電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行起到了重要的作用[1]。而基于GPS技術(shù)的同步相量測(cè)量單元(Phasor measurement unit，PMU)正是WAMS系統(tǒng)的核心與基礎(chǔ)[2,3]，并已被廣泛應(yīng)用在電網(wǎng)中以獲得電網(wǎng)的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)變化，為實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)提供了可能。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種同步相量測(cè)量算法，主要包括離散傅里葉變換(Discrete Fourier transform，DFT)法[4]、過(guò)零點(diǎn)檢測(cè)法(Zero crossing technique)[5]和數(shù)字濾波器法[6,7]等。其中，由于DFT算法適用于快速運(yùn)算，且具有良好的諧波抑制特性，在靜態(tài)條件下具有較好應(yīng)用價(jià)值，而被廣泛應(yīng)用到同步相量測(cè)量中。但在非同步采樣的情況下，現(xiàn)有的DFT算法往往會(huì)在幅值和頻率測(cè)量上出現(xiàn)誤差，且誤差會(huì)隨著非同步性的增強(qiáng)而急劇增大，導(dǎo)致出現(xiàn)頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，使溫測(cè)量結(jié)果達(dá)不到實(shí)際應(yīng)用的要求[8]。因此，這種誤差使DFT算法存在一定的局限性，降低了相量測(cè)量的準(zhǔn)確度，以至于直接影響到WAMS的應(yīng)用效果。同步相量的不準(zhǔn)確測(cè)量最終將導(dǎo)致電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)安全監(jiān)控能力下降，嚴(yán)重時(shí)將影響電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行[9]。

本文將壓縮傳感理論與DFT算法相結(jié)合，在無(wú)顯著延長(zhǎng)總觀測(cè)時(shí)間的條件下，改善了算法性能，實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)的精確測(cè)量，為同步相量測(cè)量裝置(Phasor measurement unit，PMU)的實(shí)現(xiàn)打下了良好基礎(chǔ)。

1 相量測(cè)量基本原理

同步相量測(cè)量裝置(Phasor measurement unit，PMU)是用于同步相量的測(cè)量與輸出，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)記錄的裝置[10,11]。PMU的基本原理為：首先由GPS接收器輸出1 PPS信號(hào)，經(jīng)過(guò)鎖相振蕩器后，信號(hào)被劃分成一定數(shù)量的脈沖用于采樣，再對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，然后經(jīng)數(shù)模(A/D)轉(zhuǎn)換器量化，最后按照離散傅里葉變換原理，經(jīng)微處理器計(jì)算出相量[12]。PMU裝置是電力系統(tǒng)實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)的重要組成部分，因此，其必須具有較高的精確度和可靠性，確保電力系統(tǒng)運(yùn)行處于安全、穩(wěn)定的狀態(tài)，同時(shí)保障數(shù)據(jù)測(cè)量的精度。PMU的典型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 PMU結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of PMU

在實(shí)際測(cè)量時(shí)，電網(wǎng)頻率總是在工頻(50 Hz)附近波動(dòng)，使系統(tǒng)頻率和采樣頻率不能同步，造成非同步采樣，導(dǎo)致出現(xiàn)頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，影響系統(tǒng)測(cè)量精度。因此，為消除或減小由于非同步采樣造成的DFT測(cè)量誤差，本文提出了一種基于壓縮傳感的修正離散傅里葉變換的同步相量測(cè)量算法。

2 CS-DFT算法

2.1 壓縮傳感理論

壓縮傳感(Compressed sensing，CS)理論是由Donoho等[13,14]提出的一種新型的信息獲取指導(dǎo)理論。該理論指出：對(duì)可壓縮的信號(hào)可通過(guò)遠(yuǎn)低于奈奎斯特標(biāo)準(zhǔn)的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，仍能精確地恢復(fù)出原始信號(hào)。壓縮傳感的優(yōu)點(diǎn)在于信號(hào)的投影測(cè)量數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)采樣方法所獲得數(shù)據(jù)量，突破了奈奎斯特采樣定理的瓶頸，使得高分辨率信號(hào)的采集成為可能。

壓縮傳感理論主要包括3個(gè)方面：稀疏表示、編碼測(cè)量和重構(gòu)算法。圖2為壓縮傳感理論的基本框架。

圖2 壓縮傳感理論基本框架Fig.2 Basic framework of compressed sensing theory

下面從這3個(gè)方面對(duì)壓縮傳感理論進(jìn)行分析：

設(shè)測(cè)量信號(hào)為x∈Rn×1，其中n為信號(hào)長(zhǎng)度，對(duì)x進(jìn)行壓縮傳感的過(guò)程如下。

(1)稀疏表示：信號(hào)的稀疏變換就是信號(hào)必須在某種變換下稀疏表示，這是壓縮傳感的先驗(yàn)條件。設(shè)計(jì)過(guò)完備字典D={D1,D2,…,Dn}，使信號(hào)x在過(guò)完備字典上具有稀疏性，即：

x=Da

(1)

式中：a是稀疏變量。

(2)編碼測(cè)量：在編碼測(cè)量中最重要的一步是確定投影矩陣，為了確保信號(hào)的線性投影能夠保持信號(hào)的原始結(jié)構(gòu)，投影矩陣必須滿足約束等距性(Restricted isometry property，RIP)條件。設(shè)觀測(cè)矩陣為Φ∈Rm×n(m?n)，則測(cè)量向量為y=Φx。

(3)信號(hào)重構(gòu)：先運(yùn)用重構(gòu)算法由測(cè)量值及投影矩陣重構(gòu)原始信號(hào)，即從測(cè)量向量y中恢復(fù)出原始信號(hào)x，然后利用重構(gòu)算法求解最優(yōu)問(wèn)題min‖x‖，s.t.y=Φx。

2.2 信號(hào)的建模

本文以信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)形式為出發(fā)點(diǎn)，來(lái)表示不同特征的電力信號(hào)[15]：

s(t)=Acos(?t+φ)

(2)

式中：?為角頻率;φ為初相角;A為幅值，其利用歐拉公式可以展開(kāi)為：

(3)

由于實(shí)際同步相量測(cè)量信號(hào)能夠通過(guò)多個(gè)正弦波疊加的形式來(lái)表示，因此可利用復(fù)指數(shù)形式表示為：

(4)

式中：Ah為正弦信號(hào)的幅值;φh為相角;fh為第h個(gè)波形分量的頻率值，且fh=h·f0，其中f0為基波頻率，h為正弦波的個(gè)數(shù);t為時(shí)間。

現(xiàn)給定長(zhǎng)度為N的樣本序列，對(duì)其進(jìn)行DFT算法處理，可得到一組相應(yīng)的N個(gè)頻域系數(shù)，即：

(5)

式中：k為采樣點(diǎn)數(shù)，0≤k

(6)

式中：v為離散歸一化頻率。

2.3 算法實(shí)現(xiàn)

為提高同步相量測(cè)量算法的頻率分辨率，由頻率分辨率的定義：

(7)

可知，首先引入插值因子P(P為一個(gè)大小合適的整數(shù))，使N′=PN，以此使算法具有高頻率分辨率，即:

(8)

式中：N為采樣點(diǎn)數(shù)；T為采樣間隔。

由此，同步相量測(cè)量信號(hào)的歸一化頻率為：

(9)

(10)

(11)

0≤k

為了使同步相量的測(cè)量運(yùn)算起來(lái)更加簡(jiǎn)單、直觀，可將式(8)寫(xiě)成更緊湊的矩陣形式：

s≈Da

(12)

式中：s為包含同步相量測(cè)量信號(hào)DFT系數(shù)的向量；D為N×N′維矩陣；a為包含同步相量測(cè)量信號(hào)的相量值的向量，且由于a中大多數(shù)元素均為零，因此，可認(rèn)為a具有稀疏性。

在實(shí)際測(cè)量測(cè)量中，還需要考慮噪聲等不定因素，因此，式(12)為：

X=s+n=Da+e

(13)

式中：X為原始測(cè)量向量；e為噪聲信號(hào)。

因此，由上述分析可知，可將該問(wèn)題看作為壓縮傳感問(wèn)題，即考慮將CS方法與DFT算法相結(jié)合應(yīng)用于同步相量測(cè)量中。其中，用CS理論解求解(13)的表示如下：

(14)

式中：‖a‖0是l0的范數(shù)，即a的非零元素的個(gè)數(shù)；ε為給定的閾值。

引入矩陣DSt，其僅由以下算法步驟選擇的D矩陣的列組成，最初DS0有零列。該迭代計(jì)數(shù)器設(shè)置t=1。

步驟2 查找索引lt，使得：

(15)

式中：上標(biāo)H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣；rt-1為殘差值；t為迭代次數(shù)。這一步迭代覆蓋了該算法的索引恢復(fù)部分。

步驟4 計(jì)算一個(gè)新的向量：

(16)

式中：t是非零元素。這一步的迭代提供了逐步細(xì)化的估計(jì)。

總的來(lái)說(shuō)，CS-DFT算法是壓縮傳感與DFT算法的融合。首先利用離散傅里葉變換對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行稀疏化，再通過(guò)狄利克雷函數(shù)來(lái)構(gòu)造觀測(cè)矩陣，最后，OMP算法在稀疏矩陣約束范圍內(nèi)搜索最優(yōu)的匹配原子，提取特征信息，最后重構(gòu)出原測(cè)量信號(hào)，為同步相量測(cè)量的進(jìn)一步分析實(shí)驗(yàn)奠定了良好的基礎(chǔ)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 測(cè)量信號(hào)模型

本文采用基波頻率為50 Hz的同步相量測(cè)量信號(hào)，信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為1024個(gè)，采樣頻率為5.12 kHz，時(shí)間為0.2 s，對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行分析，總結(jié)其基本特征，構(gòu)建典型測(cè)量信號(hào)的數(shù)學(xué)模型，包括諧波和間諧波信號(hào)、頻率斜升信號(hào)、幅度和相位調(diào)制信號(hào)，以及幅度和相位階躍信號(hào)，如圖3所示。

圖3 測(cè)量信號(hào)模型Fig.3 Model of measurement sign

3.2 算法性能評(píng)價(jià)

目前，衡量相量測(cè)量單元(PMU)性能的主要指標(biāo)有兩種：一是采用幅度誤差和相位誤差分別評(píng)價(jià)的方法；二是采用綜合矢量誤差(Total vector error，TVE)來(lái)評(píng)價(jià)同步相量測(cè)量裝置的測(cè)量誤差[15]。但由于TVE指標(biāo)更為科學(xué)、全面，可同時(shí)反映相量誤差和幅度誤差，因此，本文采用TVE評(píng)價(jià)方法。

TVE定義如下：

(17)

式中：XR為理想信號(hào)相量的實(shí)部；XI為理想信號(hào)相量的虛部；XR(n)為實(shí)測(cè)相量的實(shí)部；XI(n)為實(shí)測(cè)相量的虛部。

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

利用本文方法對(duì)典型測(cè)量信號(hào)進(jìn)行MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)，得到其DFT分析和CS-DFT分析。

(1)在本次實(shí)驗(yàn)中，以相位調(diào)制信號(hào)和相位階躍信號(hào)為例，其中，相位調(diào)制信號(hào)的采樣頻率為5.12 kHz，載波頻率為100 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024個(gè)，信號(hào)頻率為40 Hz；相位階躍信號(hào)的采樣頻率為5.12 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024個(gè)，信號(hào)頻率為50 Hz，實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果分別如圖4、圖5所示。

圖4 相位調(diào)制信號(hào)的DFT和CS-DFT分析Fig.4 DFT and CS-DFT analysis of phasemodulation signal

圖5 相位階躍信號(hào)的DFT和CS-DFT分析Fig.5 DFT and CS-DFT analysis of phase step signal

由圖4和圖5可以看出，本文CS-DFT方法能夠有效地消除或減弱現(xiàn)有基于離散傅里葉變換的同步相量測(cè)量裝置中普遍存在的頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，提高了相量測(cè)量的準(zhǔn)確度，減小了測(cè)量誤差，為WAMS系統(tǒng)打下了良好的基礎(chǔ)，為實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)提供了可能。

(2)在本次實(shí)驗(yàn)中，分別用DFT和CS-DFT兩種算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行相量測(cè)量，得到各時(shí)刻的TVE值如圖6、圖7所示，其中以相位調(diào)制信號(hào)為例，時(shí)間為0.5 s，采樣點(diǎn)數(shù)為1024個(gè)，采樣頻率為5.12 kHz。圖6為在相位調(diào)制信號(hào)下的傳統(tǒng)DFT算法的TVE值，圖7為在相位調(diào)制信號(hào)下的CS-DFT算法的TVE值。

圖6 相位調(diào)制信號(hào)下DFT算法的TVE值Fig.6 TVE of DFT under phase modulation signal

圖7 相位調(diào)制信號(hào)下CS-DFT算法的TVE值Fig.7 TVE of CS-DFT under phase modulation signal

由圖6和圖7可明顯看出，DFT算法和CS-DFT算法的TVE值分別控制在0.6%和0.14%以下，TVE值均在合理范圍內(nèi)，且CS-DFT算法的TVE值均小于DFT算法，由此可證明兩種算法均能滿足相量測(cè)量的要求，CS-DFT算法的性能更優(yōu)。

(3)為進(jìn)一步證明CS-DFT算法的測(cè)量精度和通用性，使測(cè)量結(jié)果更加準(zhǔn)確，在本次實(shí)驗(yàn)中，以實(shí)際獲取的工頻測(cè)量信號(hào)為例，如圖8所示。

顯而易見(jiàn)，該工頻測(cè)量信號(hào)含有干擾信號(hào)，對(duì)其分別用DFT和CS-DFT兩種算法進(jìn)行分析實(shí)驗(yàn)，得到各時(shí)刻的TVE值如圖9所示。

圖8 工頻測(cè)量信號(hào)Fig.8 Power frequency measuring signal

圖9 工頻測(cè)量信號(hào)下DFT和CS-DFT算法的TVE值Fig.9 TVE of DFT and CS-DFT under power frequencymeasuring signal

由圖9可明顯看出，在對(duì)不同測(cè)量信號(hào)進(jìn)行MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，CS-DFT算法的TVE值均小于DFT算法，由此得出結(jié)論，CS-DFT算法指標(biāo)優(yōu)于DFT算法，CS-DFT算法對(duì)測(cè)量信號(hào)實(shí)現(xiàn)了精度更高的測(cè)量。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于壓縮傳感理論的同步相量測(cè)量方法，該方法可對(duì)測(cè)量信號(hào)的同步相量進(jìn)行準(zhǔn)確、有效的測(cè)量，同時(shí)可明顯消除或減小由于非同步采樣造成的離散傅里葉變換的測(cè)量誤差，在很大程度上改善了傳統(tǒng)DFT算法的測(cè)量精度，能夠滿足WAMS系統(tǒng)的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)及要求，為實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)和安全穩(wěn)定運(yùn)行提供了有力的保障。

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