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(蕭山區(qū)第六高級(jí)中學(xué),浙江 杭州 311261)

1 緣起

匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得所說(shuō)：“數(shù)學(xué)家們解題往往不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面攻擊，而是將它不斷變形，而是把它們變?yōu)槟軌虻玫浇鉀Q的問(wèn)題.”我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)碰到不同的教學(xué)思路、不同的解題方法、不同的視角去解決同一個(gè)問(wèn)題.不同的視角之間的思維轉(zhuǎn)換如何才能實(shí)現(xiàn)？怎樣才能更加自然？如何提高學(xué)生思維轉(zhuǎn)換的主動(dòng)性？這些都是我們值得研究的課題.

2 操作與實(shí)踐

勢(shì)能是儲(chǔ)存于一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)的能量，也可以釋放或者轉(zhuǎn)化為其他形式的能量.雖然這是一個(gè)物理學(xué)上的概念，但數(shù)學(xué)本身就是一個(gè)龐大、復(fù)雜的系統(tǒng)，因此我們可以認(rèn)為數(shù)學(xué)內(nèi)部具有巨大的勢(shì)能，通過(guò)一定方式將其能量釋放出來(lái)就能為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出貢獻(xiàn).高中數(shù)學(xué)也可以充分利用此類“勢(shì)能”進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換，筆者根據(jù)自己的實(shí)踐把它分為順勢(shì)、造勢(shì)、蓄勢(shì).

2.1 思維轉(zhuǎn)換之順勢(shì)轉(zhuǎn)換

任何新事物產(chǎn)生之前，必定會(huì)有一些萌芽.解題也是如此，首先要分析條件與目標(biāo)，仔細(xì)閱讀題目的各個(gè)主要部分，依次對(duì)它們進(jìn)行考慮.目標(biāo)的內(nèi)容是什么，會(huì)涉及哪些相關(guān)知識(shí)與方法；條件與目標(biāo)呈現(xiàn)的是怎樣的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，與已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)是否存在直接的聯(lián)系或類似性.這些都是題目中所蘊(yùn)含的勢(shì)能，我們要順著這些勢(shì)能實(shí)現(xiàn)思維轉(zhuǎn)換.

因此所謂順勢(shì)就是通過(guò)目標(biāo)指引、結(jié)構(gòu)分析等手段把問(wèn)題化歸到學(xué)生所熟悉的知識(shí)或方法，也就是接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).據(jù)此筆者把它分為順目標(biāo)之勢(shì)與順結(jié)構(gòu)之勢(shì).

1)順目標(biāo)之勢(shì).

目標(biāo)原則是思維轉(zhuǎn)換的基本原則之一，其作用就是指引.方向可以是條件到結(jié)論，也可以從結(jié)論到條件，本質(zhì)就是已知與未知的互化.

案例1解三角形一例.

轉(zhuǎn)化1將條件轉(zhuǎn)化為

但與利用余弦定理求cosA有差異.

轉(zhuǎn)化2不放棄，將余弦定理代入式(1)化簡(jiǎn)得

(2)

此式形式已達(dá)最簡(jiǎn)，但離目標(biāo)sinA或cosA較遠(yuǎn).

此時(shí)有學(xué)生提出由式(1)和式(2)結(jié)合余弦定理與平方關(guān)系聯(lián)立可以解出b,c,sinA,cosA.想法不錯(cuò)，充分利用了方程的思想，但耗時(shí)耗力.

轉(zhuǎn)化3此時(shí)需要另辟蹊徑,回頭檢查并沒(méi)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，觀察式(2)得

即

點(diǎn)評(píng)此題實(shí)際上是以前解三角形問(wèn)題中求周長(zhǎng)最值(或面積)問(wèn)題的延伸.如已知△ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，A=60°,a=2,求周長(zhǎng)(或b+c)的最大值.利用余弦定理結(jié)合基本不等式可解決.

反思此題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單卻不能直接到達(dá)目標(biāo)，雖說(shuō)聯(lián)立方程可行卻難以操作，此時(shí)題目的難點(diǎn)就像爬山即將到達(dá)山頂一樣，只要一陣涼風(fēng)吹來(lái)并想想目標(biāo)所在即可順勢(shì)而下突破難點(diǎn).

2)順結(jié)構(gòu)之勢(shì).

著名的布爾巴基學(xué)派的基本指導(dǎo)思想就是結(jié)構(gòu)主義，他們認(rèn)為全部數(shù)學(xué)基于3種結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是思維的轉(zhuǎn)換自然離不開(kāi)對(duì)結(jié)構(gòu)的分析.無(wú)論是實(shí)際問(wèn)題或情景的結(jié)構(gòu)，還是抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，要實(shí)現(xiàn)條件與目標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換都需分析其本質(zhì)結(jié)構(gòu).可按識(shí)別結(jié)構(gòu)、再進(jìn)行聯(lián)想結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)的步驟進(jìn)行.

案例2函數(shù)單調(diào)性定義運(yùn)用.

A.(-∞,0) B.(-∞,1)

C.(-1,0)∪(0,3) D.(-∞,0)∪(0,1)

此題乍一看無(wú)從下手，聯(lián)想單調(diào)性定義就可以依據(jù)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行逐步轉(zhuǎn)化.

條件轉(zhuǎn)化1)聯(lián)想函數(shù)單調(diào)性定義：變形為

2)聯(lián)想分式不等式解法：函數(shù)g(x)=f(x)+x在R上單調(diào)遞增.

目標(biāo)轉(zhuǎn)化結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換1：換元,令t=log2|3x-1|，則不等式可化為f(t)<2-t；

結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換2：變形,再化為g(t)

結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換3：求解,由條件轉(zhuǎn)換2可知t<1,即log2|3x-1|<1,求得x<1.

點(diǎn)評(píng)單調(diào)性定義?？汲Ｗ儯虼擞斜匾獙?duì)定義的結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)變形以加深概念的理解運(yùn)用和知識(shí)模塊之間的相互聯(lián)系.

反思抓住數(shù)學(xué)概念的代數(shù)結(jié)構(gòu)或幾何結(jié)構(gòu)有助于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，從而把繁難問(wèn)題簡(jiǎn)單化、陌生問(wèn)題熟悉化.

2.2 思維轉(zhuǎn)換之造勢(shì)轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)上的概念、方法是歷史上經(jīng)歷了多年的沉積才形成的，如果直接把它放到學(xué)生面前，學(xué)生對(duì)它是陌生的，就算勉強(qiáng)接受也是被動(dòng)的，不具有深刻性和持續(xù)性.很多數(shù)學(xué)知識(shí)高高在上，處在高位運(yùn)行態(tài)勢(shì)，勢(shì)能強(qiáng)大卻無(wú)法落地.我們有必要對(duì)概念的形成、定理的推導(dǎo)、方法的產(chǎn)生進(jìn)行適當(dāng)鋪墊，營(yíng)造思維轉(zhuǎn)換的氛圍.

因此筆者認(rèn)為造勢(shì)就是通過(guò)數(shù)學(xué)史融入教學(xué)、挖掘?qū)W生的最近發(fā)展區(qū)、采用多媒體或網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等多種方式讓知識(shí)從高位勢(shì)能轉(zhuǎn)換為低位勢(shì)能，從而實(shí)現(xiàn)思維的自然轉(zhuǎn)換.

在教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到突兀性問(wèn)題，如兩角差的余弦公式，由三角函數(shù)線方法突然轉(zhuǎn)到向量方法讓人恍惚.針對(duì)這一轉(zhuǎn)換可進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑靹?shì)以實(shí)現(xiàn)思維的自然轉(zhuǎn)換.譬如：1)從教材的分布來(lái)講，為什么第一章“三角函數(shù)”與第三章“三角恒等變換”之間會(huì)插入第二章“平面向量”，這不就是在誘導(dǎo)我們使用向量方法來(lái)解決三角問(wèn)題嗎？2)從已產(chǎn)生的公式結(jié)構(gòu)來(lái)看，cosαcosβ+sinαsinβ就是x1x2+y1y2，即數(shù)量積的坐標(biāo)形式.如此造勢(shì)即可完成三角方法與向量方法之間的自然轉(zhuǎn)換，此類問(wèn)題在方法教學(xué)與解題教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，下面再以錯(cuò)位相減法為例說(shuō)明造勢(shì)轉(zhuǎn)換.

案例3錯(cuò)位相減法.

錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和中的常用方法之一，但面對(duì)通項(xiàng)是等差乘等比的情形,很多學(xué)生到高三仍舊想不到此方法，這是為何？

回看教材的推導(dǎo)過(guò)程

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,(3)

我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比q乘以式(3)的兩邊，可得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,(4)

兩式相減可得……

就此我們發(fā)現(xiàn)“用公比q乘式(3)的兩邊”這一步來(lái)得太過(guò)突然，這樣雖然解決了等比求和公式的推導(dǎo)問(wèn)題，但學(xué)生思維的轉(zhuǎn)換還是存在障礙的，因此有必要對(duì)思維轉(zhuǎn)換進(jìn)行造勢(shì).下面是筆者總結(jié)的兩種造勢(shì)方式.

造勢(shì)1依方法造勢(shì)[1].

師：常見(jiàn)的求和方法有哪些？

生：倒序相加、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減等.

師：倒序相加法用來(lái)求什么數(shù)列的和？

生：等差數(shù)列.

師：能具體描述一下嗎？

生：式(3)倒過(guò)來(lái)寫(xiě)Sn=an+an-1+…+a1.結(jié)合性質(zhì)a1+an=a2+an-1=…，可得等差數(shù)列求和公式.

師：倒序相加的目的是什么？

生：減少項(xiàng)數(shù)得到一個(gè)簡(jiǎn)潔的公式.

師：我們?cè)倏戳秧?xiàng)相消法，能舉一個(gè)例子說(shuō)明嗎？怎么解答？

師：由此看出裂項(xiàng)的目的是什么？

生：相消即減少了項(xiàng)數(shù).

師：兩種求和方法的共同目的是什么？

生:減少項(xiàng)數(shù).

師：能再舉一個(gè)例子嗎？

師：錯(cuò)位相減法中“用公比q乘式(3)的兩邊”這一步目的是什么？

生：減少項(xiàng)數(shù).

由此錯(cuò)位相減法才真正引入了……

造勢(shì)2依目標(biāo)造勢(shì).

師：類比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1，前n項(xiàng)和Sn應(yīng)該用什么量表示？

生：首項(xiàng)和公比.

師：通項(xiàng)代入后

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

怎樣減少項(xiàng)數(shù)？等比數(shù)列中你還有什么知識(shí)可用？

生：利用等比數(shù)列定義，每一項(xiàng)乘公比變成后一項(xiàng).

師：后面各項(xiàng)提出q后變成怎樣一個(gè)式子？

生：Sn=a1+q(a1+aq+…+a1qn-2)，即Sn-qSn=a1-a1qn-1.

師：這不就是錯(cuò)位相減法的框架嗎？我們將其變形為錯(cuò)位相減法：

Sn=a1+a2+…+an，

qSn=a2+…+anq,

兩式相減得

(1-q)Sn=a1-a1qn-1,

……

點(diǎn)評(píng)兩種造勢(shì)方式各有側(cè)重，造勢(shì)1側(cè)重如何引入和式兩邊同乘公比這一方法，造勢(shì)2側(cè)重目標(biāo)的構(gòu)成研究.

理解數(shù)學(xué)概念、方法產(chǎn)生的歷程，把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)是數(shù)學(xué)教學(xué)基本目標(biāo)之一.雖然我們并不是很清楚高斯是如何得到錯(cuò)位相減這種求和方法的，但我們通過(guò)造勢(shì)使學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換順利實(shí)現(xiàn)，這就達(dá)成了教學(xué)的目標(biāo).

2.3 思維轉(zhuǎn)換之蓄勢(shì)轉(zhuǎn)換

文獻(xiàn)[2]中提到了10種轉(zhuǎn)換機(jī)制，如：正面問(wèn)題反面化、整體問(wèn)題局部化、運(yùn)動(dòng)問(wèn)題靜止化等等.要讓學(xué)生形成這些轉(zhuǎn)換機(jī)制，日常教學(xué)中教師不僅要重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的鞏固，也要重視基本思想方法、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，這就是我們經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的四基.只有當(dāng)四基的儲(chǔ)備到達(dá)一定層次，就像水庫(kù)蓄水到一定水位水流才能傾瀉而出，學(xué)生的思維之花才能綻放，筆者稱之為蓄勢(shì).

蓄勢(shì)首要當(dāng)然是雙基的積累，不再贅述.這里筆者著重提出處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法與策略的積累.

2.3.1 蓄方法之勢(shì)

數(shù)學(xué)的解題方法很多，對(duì)不同的問(wèn)題有不同的方法.如求函數(shù)的值域問(wèn)題：二次函數(shù)可用配方法、數(shù)形結(jié)合法；一次分式型函數(shù)可用分離常數(shù)法、反函數(shù)法；高次函數(shù)可用導(dǎo)數(shù)法等等.有時(shí)對(duì)同一個(gè)問(wèn)題有不同視角的多種解法，如下面這個(gè)解析幾何題，筆者就采用了解析法、向量法、幾何法等多種方法.方法的積累我們姑且稱之為蓄方法之勢(shì).

1)求直線AP斜率的取值范圍；

2)求|PA|·|PQ|的最大值．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

方法1解析法

1)設(shè)點(diǎn)P(x,y)，易得直線AP的斜率k∈(-1,1).

2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解出點(diǎn)Q，再進(jìn)一步求得

|PA|·|PQ|=(1-k)(k+1)3.

令f(k)=(1-k)(k+1)3,其中k∈(-1,1),則

此法運(yùn)算量超大，人稱“暴力解法”，主要表現(xiàn)為3步：一是求點(diǎn)Q坐標(biāo)，二是用弦長(zhǎng)公式計(jì)算|PA|·|PQ|，三是導(dǎo)數(shù)法求最值.每一步的運(yùn)算量都不小，雖說(shuō)解決解析幾何問(wèn)題必須有扎實(shí)的運(yùn)算功底，但作為核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，首先要研究清楚算法，選擇適當(dāng)?shù)乃惴ㄊ潜匾?，因此有必要換一個(gè)視角處理長(zhǎng)度之積，即進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換.

方法2向量法

向量轉(zhuǎn)換2考慮到AP⊥BQ，運(yùn)用向量運(yùn)算或投影法可將|PA|·|PQ|進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為

方法3幾何法

圓冪轉(zhuǎn)換由AP⊥BQ聯(lián)想到圓，點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓上，由圓冪定理可知

以下同方法1和方法2.

點(diǎn)評(píng)3種方法實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題解析化再到幾何法的多次轉(zhuǎn)換，可見(jiàn)命題人立意之深.高考中解析幾何題的正確解答，可以實(shí)現(xiàn)從中等得分到高分的跨越，此題不僅考查了解析幾何知識(shí)，還必須使用導(dǎo)數(shù)知識(shí)才能解決最值問(wèn)題，方法1將耗費(fèi)學(xué)生大量時(shí)間，因此需要平時(shí)積累方法對(duì)思維進(jìn)行轉(zhuǎn)換，由此可見(jiàn)蓄勢(shì)的重要性.

反思高考試題是講究區(qū)分度的，要想在難度系數(shù)比較高的題目中拿到分?jǐn)?shù)，不僅要掌握高中數(shù)學(xué)的四基，也要掌握常見(jiàn)的思維轉(zhuǎn)換方式，如代數(shù)與幾何的互化、高維問(wèn)題低維化、一般問(wèn)題特殊化等等.在經(jīng)歷一定程度的訓(xùn)練后才能實(shí)現(xiàn)熟能生巧，因此三勢(shì)中蓄勢(shì)才是最重要的.

2.3.2 蓄策略之勢(shì)

以上我們提到蓄方法之勢(shì)，對(duì)解題方法的使用其實(shí)還只是程序性知識(shí).對(duì)一些重要的知識(shí)模塊中的常見(jiàn)問(wèn)題或常見(jiàn)題型，必須對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)拓展和提升，使其上升為能夠讓學(xué)生接受的策略性知識(shí)，稱之為蓄策略之勢(shì).下面以數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題為例加以說(shuō)明.

案例5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題.

已知等差數(shù)列{an}，a1=26，a2=22，則其前n項(xiàng)和Sn何時(shí)取得最大值？

本題可采用單調(diào)性法和二次函數(shù)法解決(略).對(duì)于一般的等差數(shù)列{an}，我們均可以采用以上兩種方法加以解決,再升級(jí)后還可成為其他數(shù)列求最值的方法.

方法1(符號(hào)法)由首項(xiàng)及通項(xiàng)的符號(hào)確定Sn的最值.

方法2(函數(shù)法)利用Sn是n的函數(shù)，利用函數(shù)知識(shí)求最值.

求解最值.

點(diǎn)評(píng)從一個(gè)題目的解決，推廣到一類問(wèn)題的解決，再上升到策略性知識(shí)，這讓學(xué)生的思維不僅深刻而且廣闊.

反思學(xué)生不僅要會(huì)解一個(gè)題目，而且要能夠推廣到一般情形.在推廣過(guò)程中也會(huì)發(fā)現(xiàn)，并不是每種方法都適用任何情形或題目,因此在解題過(guò)程中我們會(huì)選擇適當(dāng)?shù)牟呗?以把控解題的方向避免無(wú)謂的損失.策略的選擇需要日常的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，即蓄策略之勢(shì).

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)近幾年的實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)“三勢(shì)能”對(duì)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換的主動(dòng)性、靈活性、縝密性等起到了非常重要的作用[3].順勢(shì)、造勢(shì)實(shí)現(xiàn)了勢(shì)能從高位到低位的轉(zhuǎn)換，而蓄勢(shì)實(shí)現(xiàn)了低位到高位的轉(zhuǎn)換.總之，數(shù)學(xué)三勢(shì)能有助于實(shí)現(xiàn)思維的自然轉(zhuǎn)換，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率提升大有作用，值得大家去進(jìn)一步研究.

[1] 李湘.順應(yīng)學(xué)生思維 促進(jìn)學(xué)生發(fā)展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017(5)：21-24.

[2] 李發(fā)武,李良貴.引入轉(zhuǎn)換機(jī)制解題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001(4)：26-28.

[3] 周曉.高中數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維的能力[J].考試周刊，2015(79)：73-74.