數(shù)形結(jié)合思想方法*

2018-03-09 03:15:24

中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2018年2期

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(學(xué)軍中學(xué)，浙江杭州 310000)

1 考點(diǎn)回顧

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)階段重要的思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的重要途徑，是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體.從數(shù)到形，由形到數(shù)，讓學(xué)生在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題中提升素養(yǎng).從數(shù)到形，問(wèn)題更加直觀；由形到數(shù)，問(wèn)題更加嚴(yán)謹(jǐn)，更加貼近數(shù)學(xué)的本質(zhì).

數(shù)形結(jié)合思想是浙江省數(shù)學(xué)高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一.浙江省試題具有簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，非常注重學(xué)生對(duì)問(wèn)題本身的理解，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查常從概念出發(fā)，形成圖形，然后解決問(wèn)題.如2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第3～5,7,10,15,17,21題，都與數(shù)形結(jié)合有關(guān)，可以預(yù)測(cè)：數(shù)形結(jié)合思想仍將是2018年浙江省數(shù)學(xué)高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一.

2 典題剖析

分析如圖1，點(diǎn)A在以O(shè)為圓心、BC為直徑的圓上，由已知條件得

圖1

從而

評(píng)注本題關(guān)鍵在于形的構(gòu)造，找到點(diǎn)M動(dòng)的原因是點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，由此將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)投影的分析，通過(guò)尋找兩個(gè)極端位置，順利實(shí)現(xiàn)對(duì)本題的突破.

圖2

評(píng)注本題關(guān)鍵在于對(duì)絕對(duì)值的分析，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)縱向距離差的最大值，逐步分析，最終找到取到復(fù)合最小值的位置.

例3若不等式(ax+3)(x2-b)≤0對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立，則 ( )

A.ab2=9 B.a2b=9,a<0

C.b=9a2,a<0 D.b2=9a

圖3

評(píng)注從兩個(gè)函數(shù)的圖形特點(diǎn)出發(fā)，分析兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)必有一個(gè)重合的條件，本題通過(guò)一個(gè)圖，巧妙地回避了很多討論，非常靈巧.

A．必為正數(shù) B．必為負(fù)數(shù)

C．必為非負(fù) D．必為非正

圖4

分析由題意知f′(x)=x2-2x+a，設(shè)A,B為f′(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則

f′(t+2)>0.

評(píng)注本題的數(shù)形結(jié)合一氣呵成，從中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是1～t之間的三等分點(diǎn)，這是本題最大的亮點(diǎn)，充分說(shuō)明圖形是解決問(wèn)題的重要載體.

例5設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3，g(x)=ax-2a，存在x0∈R，使得f(x0)≤0與g(x0)≤0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.

分析對(duì)a進(jìn)行討論：

綜上所述，a的最小值為7.

圖5 圖6

評(píng)注問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)于同一個(gè)x0，函數(shù)值均不大于0，反映在圖像上均小于0，這個(gè)關(guān)鍵在于排除a≤0的情況，然后找到a>0情形的邊界條件.

圖7

評(píng)注把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，把兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓到打勾函數(shù)的距離問(wèn)題.這是本題的亮點(diǎn)，也是數(shù)形結(jié)合的重要運(yùn)用.本題通過(guò)圖形發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題，然后解決問(wèn)題.