李 多, 曹軍義, 張征宇, 黃敘輝(. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 高速空氣動力研究所, 四川 綿陽 6000；. 西安交通大學 機械學院, 陜西 西安 70049)

0 引 言

目前，風洞試驗主要采取傳統(tǒng)的單變量方法(One Factor at a Time, OFAT)開展，其原理是在一次試驗中選擇一個自變量(如迎角)進行改變，并保持其它自變量不變，通過測量響應變量(如氣動力和力矩)，來得到自變量和響應變量的關系。但以美國為代表的航空航天發(fā)達國家發(fā)現，OFAT方法存在很多缺陷。例如一個自變量的改變必定會導致另外的自變量發(fā)生變化，如迎角在改變過程中會引起側滑角的改變，這是OFAT風洞試驗方法數據的誤差來源之一[1]。同時，OFAT方法還存在忽略了試驗中各變量間的交互作用、試驗結果表示不直觀以及需要采集的數據點較多而導致的試驗成本高效率低等缺陷[2-4]。

1997年，美國航空航天局(NASA)蘭利研究中心開始倡導使用現代試驗設計方法(Modern Design of Experiment，MDOE)來代替OFAT方法。MDOE方法的原理是：每次試驗中改變多個變量的值，同時考察多個變量與氣動力、力矩間的關系，其核心是響應面法(Response Surface Method, RSM)。MDOE方法的優(yōu)勢是：1) 需要較少的數據點，成本低；2)提供了一個自變量影響響應變量的更全面的觀察而不是普通數據圖的表示方法：響應僅是一個自變量的函數，其余變量被固定在定值；3) 能給出除物理設置外的各自變量的響應值；4) 不僅能精確估計出設計空間某個特定點上的響應值，同時還能給出該響應值的不確定度，從而顯著減小試驗結果的不確定度；5) 能夠很好的表示出變量之間的交互作用；6) 不需要知道響應曲面的具體數學形式[5]。

本文在我國2.4 m跨聲速風洞中開展了MDOE試驗，研究試驗中涉及的試驗區(qū)間確定、子區(qū)間劃分、數據點數量選取、數據點在子區(qū)間的分布等具體問題，驗證MDOE方法在降低試驗成本、優(yōu)化試驗結果表達、體現變量間交互作用等方面的優(yōu)勢。

1 試驗設計

選擇迎角a和側滑角β為兩個自變量，阻力系數CD為相應的響應變量，試驗區(qū)間為迎角-4°～8°，側滑角-5°～5°。由于變量的個數為2，試驗區(qū)間可以表示成一個笛卡爾坐標系的平面，其中x軸代表迎角，y軸代表側滑角，區(qū)間中每個數據點表示迎角與側滑角的不同組合。

1.1 子區(qū)間劃分

為了避免響應面模型中增加高階項，必須將試驗區(qū)間劃分為不同的子區(qū)間，最后通過整合所有的毗鄰的變量子區(qū)間，就能夠得到一個精確且連續(xù)的響應面方程[6]。考慮到正負區(qū)間的不對稱因素及大迎角范圍非線性嚴重的特點，將迎角區(qū)間劃分為3個子區(qū)間，如圖1及表1所示。

圖1 子區(qū)間劃分Fig.1 Subspace divide

表1 子區(qū)間劃分Table 1 Subspace divide

1.2 數據量確定

數據點的個數決定了模型的精度與所采取方法的效率，必須精確計算。Box和Draper給出了一個計算每個子區(qū)間試驗點數n的方程[7]:

(1)

式中，ta代表置信區(qū)間的半寬，查統(tǒng)計手冊為1.96，γ為試驗精度，取0.0001，p代表回歸模型中參數的個數等于6，σ為數據標準差，以精度最高的滾轉力矩為例，其標準差不大于0.00007，代入式(1)中可求得:

(2)

因此在本試驗中，每個子區(qū)間指定12個數據點，共需要36個數據點。

1.3 數據點分布

在各子區(qū)間內，數據點的分布方式不同導致方差不同。本文采用中心復合試驗設計方法(central composite design, CCD)分布各子區(qū)間的試驗點[8]，其中獨立變量經過線性編碼按-1、1來進行分布。式(3)說明了轉換過程[9]。

(3)

圖2表示了編碼CCD方法中點的分布，除了四個拐點與星點外，重復性被指定在設計中心來抑制預測方差，由于每個子區(qū)間內有12個數據點，所以在設計中心重復點的數量是4。

12個數據點為每個子區(qū)間提供12個自由度，其在子區(qū)間內的分配方法如表2所示。

圖2 數據點分布Fig.2 Data points distribution

表2 自由度分配Table 2 Degree of freedom distribution

1.4 試驗設計總結

圖3顯示了36個數據點在試驗區(qū)間的分布，共有29個點，其中三個點重復了4次，兩個點重復了2次，其中重復2次的數據點用來確保各子區(qū)間響應面模型的獨立性。

圖3 數據點在試驗區(qū)間分布Fig.3 Data points distribution in experiment space

2 試驗數據處理

2.1 響應面模型建立

開展風洞試驗獲取36個數據點上的氣動系數后，建立了阻力系數CD的響應面模型，如圖4所示。

從圖4的響應面模型中看出：采用MDOE試驗方法后，每個子區(qū)間內僅需12個數據點就能得到氣動系數的響應值，而OFAT方法則需要45個數據點，試驗結束后耗氣量結果對比顯示，MDOE方法的耗氣量僅占OFAT方法的50%，降低了成本；MDOE風洞試驗方法提供了一個迎角和側滑角影響各氣動系數的更全面的觀察而不是普通數據圖的表示方法：響應僅是迎角的函數，側滑角被固定在定值；MDOE試驗方法打破了單變量方法側滑角被物理固定在整數角度(2°、4°、6°等)的局限性，給出了整個設計區(qū)間的響應值，在設計區(qū)間內，迎角和側滑角可以以任意小數角度進行組合；最后，MDOE試驗方法很好的表示出了兩個變量迎角和側滑角之間的交互作用，以圖4(a)為例，若想減小阻力系數CD，在只減小迎角的情況下CD變化不明顯，但如果在減小迎角的同時增大側滑角，則CD的值會急劇下降。

氣動系數在各子空間內響應面模型的多項式構成如表3所示，多項式構成中包含的項用“√”標出。

(a) -4°～0°

(b) 0°～4°

(c) 4°～8°

表3 響應面多項式構成Table 3 Polynomial composition of response surface

2.2 方差分析

以0～4°迎角范圍內阻力系數CD為例，說明響應面回歸的過程，方差分析表如表4所示[10]。

首先觀察ANOVA表中的總效果，對應回歸項的P值為0.000(即<0.001)，表明本模型總的來說是有效的，對應失擬項的P值為0.512，其值遠比臨界值0.05大，即表明本模型沒有失擬現象。

最后觀察各項效應的顯著性，可以看出迎角、迎角*迎角、側滑角*側滑角三項高度顯著，而側滑角、迎角*側滑角兩項不顯著(P值>0.05)，應將其刪除。

從改進后的方差分析表5中可以看出，各項效應均為顯著，同時與全模型方差分析表中的數據相比R-Sq(調整)的值略有上升而s的值略有下降，數據表明改進后的模型比原模型更準確。

表4 方差分析Table 4 Analysis of variance

表5 方差分析改進Table 5 Secondary analysis of variance

2.3 模型驗證

為了驗證所建立響應面模型的準確性，在每個子區(qū)間β=0°的曲線上選取5個額外的試驗點檢驗其是否能夠落在擬合曲線的95%置信區(qū)間內，檢驗結果如圖5所示,其中藍色曲線代表上下置信區(qū)間，黑色曲線代表本試驗擬合曲線，紅色點代表檢驗點。

從圖5中看出，在每個子區(qū)間內，中間范圍的點檢驗結果較好，而邊界地區(qū)的點檢驗結果較差，也反映了中心復合設計方法在中心區(qū)域誤差較小而邊界處誤差較大的特點。但基本上所有的點都能落入95%置信區(qū)間內，說明響應面模型精度足夠。

(a) -4°～0°

(b) 0°～4°

(c) 4°～8°

3 結 論

通過本次試驗的開展，主要得到以下結論：

1) 對比得出，MDOE風洞試驗方法僅需傳統(tǒng)單變量試驗方法20%的測量數據量即可完成試驗，所需的吹風時間約占傳統(tǒng)單變量試驗方法的50%，同時在試驗結果表達、更多響應值的提供、不確定度估計、交互作用體現等方面較單變量方法更有優(yōu)勢；

2) 方差分析結果表明，迎角對氣動系數的影響比側滑角更為顯著，正確反映了該類飛行器的氣動特性變化規(guī)律；

3) MDOE風洞試驗方法能夠以氣動系數響應面模型和方差分析表的形式提供更為詳細、全面的風洞試驗數據，在飛行器風洞試驗的方案設計及數據分析中具有較為廣闊的應用前景。

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[3]張江, 秦永明, 馬漢東. 風洞 MDOE 的形式實驗設計方法研究[J]. 空氣動力學學報, 2016, 34(1): 59-69

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