□文/蔡天新

一、引子

在德國數(shù)學(xué)家高斯的一部傳記中，作者引用了下面這段話：

有一個異鄉(xiāng)人在巴黎問當(dāng)?shù)厝耍盀槭裁促F國歷史上出了那么多偉大的數(shù)學(xué)家？”

巴黎人回答，“我們最優(yōu)秀的人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。”

又去問法國數(shù)學(xué)家，“為什么貴國的數(shù)學(xué)一直享譽(yù)世界呢？”

數(shù)學(xué)家回答，“數(shù)學(xué)是我們傳統(tǒng)文化中最優(yōu)秀的部分?！?/p>

二、笛卡爾以前的法國數(shù)學(xué)

在中世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)的成就主要是在一些文明古國取得的，例如埃及、美索不達(dá)米亞，中國、印度和阿拉伯，當(dāng)然還有希臘。可以肯定的是，如果沒有希臘人的貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)就不會像現(xiàn)在這樣豐富多彩。而在長達(dá)一千多年的中世紀(jì)里，整個歐洲似乎只有一個堪稱偉大的數(shù)學(xué)家——菲波那契，以他名字命名的兔子序列至今仍在數(shù)學(xué)王國里發(fā)出光輝。歐洲之外，最有名的數(shù)學(xué)家當(dāng)數(shù)巴格達(dá)的花拉子密，正是他命名了代數(shù)學(xué)，在阿拉伯語里，al-jabr 意為還原移項，譯成拉丁文后就成了algebra，這也是今天英文里的代數(shù)學(xué)。

十四世紀(jì)是歐洲黑死病流行的時期，毀滅了將近四分之一的人口，數(shù)學(xué)上取得的成績也非?？蓱z。但疾病和戰(zhàn)爭有時候會改變文明的格局，法蘭西開始嶄露頭角，逐漸走在世界文明的前列。這個世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)家被認(rèn)為是法國人奧雷斯姆（ORESME），他出生在諾曼底，是天主教會的主教，同時又是亞里士多德著作的法文翻譯，中世紀(jì)最偉大的經(jīng)濟(jì)學(xué)家。他寫過五部數(shù)學(xué)書，和他的譯文一樣文筆優(yōu)美，為科學(xué)修辭和法國散文作出了貢獻(xiàn)。奧雷斯姆第一個使用了分?jǐn)?shù)指數(shù)，第一個用坐標(biāo)確定了點的位置，這預(yù)示了現(xiàn)代坐標(biāo)幾何學(xué)，影響了包括笛卡爾在內(nèi)的諸多數(shù)學(xué)家。

十五世紀(jì)開始了歐洲的文藝復(fù)興，隨著拜占廷帝國的瓦解（君士坦丁堡最在1453年落入土耳其人之手），難民們帶著希臘文化的財富流入意大利。奧登堡發(fā)明了活字印刷，印刷術(shù)得到了改進(jìn)。在這個世紀(jì)的尾末，哥倫布到達(dá)了美洲，不久，麥哲倫完成了環(huán)球航行?？墒菙?shù)學(xué)進(jìn)展仍然不大，十五世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家是法國人丘凱（CHUQUET），他出生在巴黎，在里昂生活和行醫(yī)。丘凱率先考慮了負(fù)的整數(shù)指數(shù)，他的名著《算術(shù)三編》討論了這樣三個問題，有理數(shù)的計算、無理數(shù)的計算和方程論。他還提出了均值法則：如果A、B、C、D是正數(shù)，則（A+B）/（C+D）處于A/C 與 B/D 之間。

十六世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家也是法國人。他的名字叫韋達(dá)（VIETE），出生在法國中部的普瓦捷（許多年以后笛卡爾也在這座城市上了大學(xué)）。韋達(dá)是個律師和議員，卻像后來的費爾馬一樣，把絕大部分閑暇奉獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)。韋達(dá)的數(shù)學(xué)成就今天大多為我們所能理解，如中學(xué)數(shù)學(xué)里確立一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系的韋達(dá)定理（對三次方程他也有天才的貢獻(xiàn)），三角學(xué)中的半角公式，他還是第一個提出代數(shù)系統(tǒng)符號化的人。韋達(dá)倡導(dǎo)用輔音字母表示已知數(shù)，元音字母表示未知數(shù)。后來被笛卡爾的想法所取代，后者用拉丁字母的開頭幾個 (a, b, c) 表示已知數(shù)，尾末幾個(x, y, z) 表示未知數(shù) 。

從以上事實我們可以看出，法國人的數(shù)學(xué)在文藝復(fù)興之初已達(dá)到世界先進(jìn)水平，雖然那時候歐洲政治、經(jīng)濟(jì)、藝術(shù)和科學(xué)的中心是在亞平寧半島。正是在那個時期，（現(xiàn)今的）初等數(shù)學(xué)基本上羽翼豐滿了。同時，這也為近代數(shù)學(xué)和科學(xué)的全面發(fā)展奠定了相對堅實的基礎(chǔ)。

三、笛卡爾和天才的世紀(jì)

在笛卡爾出生以前，意大利人在世界文明的進(jìn)程中走在最前列，他們在數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域也處于領(lǐng)先地位，塔爾塔里亞（口吃者）與卡爾達(dá)諾在三次和四次方程的解法研究上取得了突破，他們兩人的成就合起來不低于同時代的法國人韋達(dá)?？墒牵@兩位同胞數(shù)學(xué)家卻相互控告對方剽竊，結(jié)果弄得兩敗俱傷。1564年出生的伽利略一直在意大利的兩所大學(xué)任數(shù)學(xué)教授，他發(fā)明的扇形圓規(guī)通用了兩個世紀(jì)，同時對拋物線性質(zhì)和無限集的等價概念有了正確的理解，他的數(shù)學(xué)天才和直覺幫助其建立起了自由落體的力學(xué)定律。他用自制望遠(yuǎn)鏡觀察宇宙，證實了哥白尼的太陽系理論，卻不幸遭到羅馬教會的迫害，含冤而死。

伽利略是在比薩斜塔做實驗時發(fā)現(xiàn)自由落體定律的，他任比薩大學(xué)數(shù)學(xué)教授時年方25歲，兩年后就離開了，后來到了威尼斯附近的帕多瓦大學(xué)。他第一次聽說荷蘭人發(fā)明望遠(yuǎn)鏡是在1607年，他已經(jīng)43歲，之后才自己動手制作望遠(yuǎn)鏡，觀察天象，他發(fā)表支持哥白尼理論的著作是在1630年，那年他66歲。也就是說，伽利略的兩大科學(xué)發(fā)現(xiàn)相隔了差不多有四十年。正是在這期間，法國誕生了多位數(shù)學(xué)天才，德沙格、笛卡爾、費爾馬、帕斯卡爾，法國數(shù)學(xué)全面超越了意大利。英國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家懷特海稱十七世紀(jì)是天才的世紀(jì)，其中以法國人所做的貢獻(xiàn)最多。德沙格建立了射影幾何學(xué)，但他和他的幾何學(xué)的光芒被晚三年出生的笛卡爾給掩蓋了。下面我們就來談?wù)劦芽枴?/p>

和大多數(shù)天才人物一樣，笛卡爾也出生在小地方。他小時母親病故，身體贏弱，已另娶妻的父親把他交給外婆撫養(yǎng)，后來又送他進(jìn)拉弗萊什的一所教會學(xué)校。幸虧校長極有人文修養(yǎng)，看出這個孩子心智和身體上的差異，要他先增強(qiáng)體質(zhì)。校長告訴小笛卡爾，除非想去教室和別的同學(xué)們在一起，否則不必離開自己的房間。從那以后，笛卡爾終身保持了晚起的習(xí)慣，包括他在部隊當(dāng)兵時，當(dāng)他需要思考問題時，就躺在床上冥思苦想。笛卡爾后來回憶，那些在冥思中度過的漫長而安靜的早晨，是他的哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想的真正來源。據(jù)說，他是在床上看見天花板上蒼蠅的運(yùn)動才發(fā)明坐標(biāo)系的。值得一提的是，盡管笛卡爾身體虛弱并愛睡懶覺，卻是個勇敢的軍人，并曾被授予中將軍銜，但被他拒絕。

笛卡爾在數(shù)學(xué)上的主要成就是創(chuàng)立了一門數(shù)學(xué)分支——解析幾何，同時他又被黑根爾贊譽(yù)為“近代哲學(xué)之父”。作為一個二元論者，笛卡爾明確地把心靈和肉體區(qū)分開來，其中心靈的作用如同其著名的哲學(xué)命題所表達(dá)的——“我思，故我在”。而在方法論上，笛卡爾則是一個徹頭徹尾的懷疑主義者，對他來說，懷疑是一種必要的手段，是哲學(xué)和心理學(xué)方法中的一個工具。笛卡爾認(rèn)為，我們從童年時代起就接受了許多偏見，如果得不到及時糾正，會持續(xù)到成年，進(jìn)一步他指出，“懷疑是一門藝術(shù)，它使我們脫離感覺的影響獲得解放。”

事實上，笛卡爾認(rèn)為，亞里士多德的三段論只是在推導(dǎo)已知結(jié)論時才有用，而不能用以發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)新?？墒?，鑒于當(dāng)時教會和政院哲學(xué)的權(quán)威，為了避免伽利略所受的那種牢獄之苦，笛卡爾的《幾何學(xué)》是作為他的哲學(xué)著作《方法論》的附錄三悄然出現(xiàn)的，當(dāng)然也不在正統(tǒng)的教科書之列。比笛卡爾晚兩輩的英國人牛頓是從社會傳聞而不是從課堂上了解到了笛卡爾的新哲學(xué)和新幾何，開始相信物理世界是由運(yùn)動著的物質(zhì)粒子所組成的，并掌握了用代數(shù)方法解決幾何問題的方法。那以后不久，身為劍橋大學(xué)三一學(xué)院研究生的牛頓便在自己的農(nóng)莊里（因為鼠疫放假）構(gòu)想了微積分學(xué)和萬有引力定理。

在笛卡爾時代，他在數(shù)學(xué)上有好幾位競爭對手。例如，畢生居住在法國南方山區(qū)小城圖盧茲的法官費爾馬，他有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美號。今天我們大家都知道“費爾馬大定理”，它是畢達(dá)哥拉斯定理（即勾股定理）的推廣和提升，雖然結(jié)論截然相反。直到上個世紀(jì)末，這個定理才被英國數(shù)學(xué)家懷爾斯最后證明了。據(jù)說在笛卡爾生前，他經(jīng)常接到費爾馬的挑戰(zhàn)，例如宣布發(fā)現(xiàn)某某數(shù)學(xué)規(guī)律卻不告之證明方法，這些挑戰(zhàn)有的是以書面的形式提出，有的是通過一位叫梅森的神甫傳達(dá)。說起這個梅森神甫，雖然算不上是偉大的數(shù)學(xué)家（僅以梅森素數(shù)命名），卻是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)不可或缺的人物。

梅森神甫經(jīng)常乘自己外出布道的機(jī)會，到各地秘密會見數(shù)學(xué)家，并傳達(dá)各種最新的數(shù)學(xué)成果或發(fā)現(xiàn)。另一方面，他又在巴黎舉辦每周一次的數(shù)學(xué)沙龍，參加這個沙龍的人當(dāng)中就有一對叫帕斯卡爾的父子。那時候還沒有科學(xué)院之類的組織，梅森神甫的沙龍后來成為法國科學(xué)院的雛形。就像如今各國媒體每每聚焦娛樂、體育和商業(yè)明星，那個時代的智力生活才是巴黎人矚目的中心。老帕斯卡爾是個稅務(wù)局的官員，業(yè)余研究數(shù)學(xué)并發(fā)現(xiàn)了帕斯卡爾螺線，他的妻子去世以后，為了年幼兒子的教育，他沒有再婚，并把家從外省遷移到巴黎。

父親的教學(xué)方法注重解決問題，而不是材料的灌輸，從而提高了兒子動手實驗?zāi)芰?。與此同時，考慮到兒子的體質(zhì)，做父親的側(cè)重于語言教育，至于數(shù)學(xué)方面，他只講授一些基本原理。這反而使得兒子對這門學(xué)科更為好奇和敏感，據(jù)說帕斯卡爾12歲那年，從未受過相關(guān)訓(xùn)練的他獨自推導(dǎo)出了幾何學(xué)中的一條定理，即三角形的三個內(nèi)角和等于兩個直角之和。從那以后，父親才開始教授兒子歐幾里德幾何，不久父子倆一同參加了梅森神甫組織的數(shù)學(xué)沙龍。帕斯卡爾的主要數(shù)學(xué)成就包括概率論的創(chuàng)立（與費爾馬合作）、二項式系數(shù)和射影幾何學(xué)中的帕斯卡爾定理（圓錐曲線的內(nèi)接六邊形三組對邊的交點共線）。

除了數(shù)學(xué)上的成就以外，帕斯卡爾還發(fā)明了計算機(jī)（初衷是為了幫助父親進(jìn)行稅務(wù)方面的計算）、流體壓力定律（水壓機(jī)便是這個定律的一個應(yīng)用），計算機(jī)中的帕斯卡爾語言和天氣預(yù)報中的大氣壓強(qiáng)單位帕均取自他的姓名。而在人文和哲學(xué)領(lǐng)域，帕斯卡爾取得了同樣非凡的成就。他的散文作品《思想錄》被公認(rèn)為是所有法國文學(xué)中的珍品，在宗教方面，他宣揚(yáng)可以通過心靈而不是通過理性來體驗上帝的教義，他建立的直覺主義原理對于后來盧梭、實用主義和存在主義哲學(xué)家都有影響。

在達(dá)到盛名之后，帕斯卡爾和笛卡爾不約而同的選擇了隱居生活。笛卡爾說過，“ 我只要求安寧和平靜。” 盡管他和帕斯卡爾之間也有爭論，例如在真空是否真的存在這個問題上，但均是在理智和學(xué)術(shù)的范圍內(nèi)進(jìn)行的。事實上，他們兩人都不愛拋頭露面。笛卡爾成年以后，大部分時光居住在荷蘭，在這個多處地方低于海平面的國家，他不愿意把自己的住處告訴別人，包括一些親近的朋友，為此還多次更換寓所。他的座右銘是：“隱居得越深，生活得越好?！倍了箍柤葲]有進(jìn)過學(xué)校，也沒有謀求公職，后來干脆進(jìn)了巴黎郊外的一座修道院。無論帕斯卡爾還是笛卡爾，他們的創(chuàng)造力一直持續(xù)到了暮年。

相比笛卡爾和帕斯卡爾的多才多藝，費爾馬把自己的聰明才智全部奉獻(xiàn)給了數(shù)論。這當(dāng)然與費爾馬有著自己的職業(yè)、需要養(yǎng)家糊口有關(guān)，但我認(rèn)為更重要的是，費爾馬與高斯、歐拉這三個對數(shù)論有杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，他們已經(jīng)從數(shù)論之美中獲得了滿足，因此不怎么需要尋求諸如藝術(shù)、哲學(xué)或宗教的滋養(yǎng)。從畢達(dá)哥拉斯時代人們就沉湎于發(fā)現(xiàn)數(shù)的神秘關(guān)系，優(yōu)美、簡潔、智慧是這門科學(xué)的特點。記得希爾伯特的傳記作者在談到大師放下代數(shù)不變量理論轉(zhuǎn)向數(shù)論研究時寫到，“數(shù)學(xué)中沒有一個領(lǐng)域能夠像數(shù)論那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量，吸引著數(shù)學(xué)家中的精華?！碑嫾铱刀ㄋ够舱J(rèn)為：“數(shù)是各類藝術(shù)最終的抽象表現(xiàn)。”

四、從費爾馬到龐加萊

自從費爾馬于1665年去世后，法國數(shù)學(xué)界有半個世紀(jì)的沉寂，之后從1820年代開始，接連誕生了一批數(shù)學(xué)大師，幾乎每隔七、八年就有一位，依次是克雷羅、達(dá)朗貝爾、蘭伯特、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、蒙日、卡諾、傅立葉、泊松、柯西、蓬斯萊、伽羅瓦，可以說法蘭西源源不斷地滋生出大數(shù)學(xué)家。他們中的每一個都成就非凡，如果放在其他國家里，都可能成為該國歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家。而法國人也是以此為傲，僅巴黎以數(shù)學(xué)家命名的街道、廣場、車站等就有百余處，巴黎二十個街區(qū)也是以阿拉伯?dāng)?shù)字命名，并以平面幾何學(xué)中的雙曲螺線為序排列。

以下我們選擇其中的七位數(shù)學(xué)家，他們后來走上不同的人生道路，但都能從不同的角度給我們以啟示。

達(dá)蘭貝爾，偏微分方程的開拓者，最早寫出了動力學(xué)原理的著作，著名的《百科全書，或科學(xué)、藝術(shù)和工藝詳解詞典》的副主編（主編是哲學(xué)家狄德羅）。這是世界上第一部影響巨大的百科全書，網(wǎng)羅了一大批啟蒙思想家，并在編撰過程形成了一個被后人稱之為“百科全書”的哲學(xué)流派。他們反對封建特權(quán)制度和天主教會，向往合理的社會。主張一切制度和觀念要在理性的審判庭上受到批判和衡量，同時推崇機(jī)械工藝和體力勞動，從中孕育了資產(chǎn)階級務(wù)實謀利的精神，并為1789年的法國大革命作了輿論準(zhǔn)備。

拉格朗日是拿破侖的親密朋友，后者稱他是“數(shù)學(xué)領(lǐng)域高聳的金字塔”，并讓他做上了參議員。他在微積分學(xué)的完善、微分方程、變分法、數(shù)論和群論等方面都有許多開創(chuàng)性的工作，他的名字遍布數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域?？墒侵心暌院?，拉格朗日的經(jīng)歷與牛頓有著相似之處，即數(shù)學(xué)熱情銳減，正如他寫給達(dá)朗貝爾的信中所說的，“我開始感覺到我的惰性一點點地增加，我不能說從現(xiàn)在起還能再干十年數(shù)學(xué)。礦井已經(jīng)挖得夠深了，除非發(fā)現(xiàn)新的礦脈，否則就不得不拋棄它了。”果然，他轉(zhuǎn)向了形而上學(xué)、宗教史、思想史、語言學(xué)等的研究。拉格朗日活得還算長壽，在有生之年他看到高斯完成了一部分偉大的事業(yè)，發(fā)現(xiàn)他當(dāng)年認(rèn)為數(shù)學(xué)已進(jìn)入衰敗時期的預(yù)想是錯誤的。

拉普拉斯也是拿破侖的親密朋友，做為一個政治上的機(jī)會主義分子，他在法國大革命最動蕩的日子里，無論哪個黨派得勢，他都能逢場作戲，迎合當(dāng)權(quán)者。他在概率論、微分方程、測地學(xué)和天體力學(xué)領(lǐng)域，都做出了杰出的貢獻(xiàn)，并享有“法蘭西的牛頓”的稱號。事實上，他畢生都積極投入把牛頓的萬有引力定律應(yīng)用于整個太陽系這項事業(yè)中。由于拉普拉斯在政治上比拉格朗日花費了更多的精力（因此樹立起諂媚者的形象），他無暇顧及其他。早年的學(xué)生拿破侖把一切榮譽(yù)給了他，又任命他做了內(nèi)政大臣；王朝復(fù)辟以后，他隨即效忠于路易十八，又被封為候爵，并親手簽署了流放恩人的法令。

蒙日，畫法幾何的創(chuàng)立者（開拓了機(jī)械制圖和機(jī)械工程），微分幾何之父（用微積分學(xué)研究曲率，啟發(fā)高斯，進(jìn)而黎曼，發(fā)展出應(yīng)用于相對論的黎曼幾何學(xué)）。出身卑微，父親是磨刀匠，后來成為軍事學(xué)院的教官，與拿破侖結(jié)為密友。后者派蒙日為特使前往意大利接受作為“戰(zhàn)爭賠償”的藝術(shù)品，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)有比布置盧浮宮多出六倍的繪畫、雕塑作品被裝船時，出面制止。否則的話，今天羅馬梵蒂岡博物館和佛羅倫薩烏菲茨美術(shù)館里的許多價值連城的藏畫都不會留在意大利了。蒙日后來與裁縫的兒子、數(shù)學(xué)家傅里葉一起隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，在一次戰(zhàn)斗中拿破侖還救了他一命。

蓬斯萊（又譯蓬賽列），數(shù)學(xué)界的馬可?波羅，他早年參加拿破侖的軍隊，1812年，當(dāng)法軍從莫斯科退卻時他和其他數(shù)十萬士兵一起被捕。在這批法國戰(zhàn)俘中， 惟一受益的是這位年僅24歲的數(shù)學(xué)家。當(dāng)時他身邊什么書也沒有, 就開始在戰(zhàn)俘營里構(gòu)思巨著《論圖形的射影性質(zhì)》。他被釋放回國后, 于1822年在巴黎出版了此書, 這部著作開創(chuàng)了射影幾何史上的所謂“輝煌時期”。事實上，射影幾何因其引人矚目的美及其證明的優(yōu)雅，成為十九世紀(jì)幾何學(xué)家特別鐘愛的研究課題。而對于業(yè)余愛好者或某一階段感興趣的專業(yè)人士，它都是一個容易學(xué)到并有所成就的學(xué)科。

柯西，法國大革命那年出生在巴黎。極具文學(xué)天賦和詩才，也是帕斯卡爾之后所有法國數(shù)學(xué)家中最虔誠的?？挛饕患冶芫余l(xiāng)下時和拉普拉斯做了鄰居，后來父親出任參議院的秘書，因此小柯西又有機(jī)會得以見到拉格朗日，他贏弱的身體和聰明使得參議員給了同僚這樣的忠告，“在17歲以前，不要讓這個孩子摸數(shù)學(xué)書?！薄叭绻悴悔s快給他一點可靠的文學(xué)教育，他的趣味會使他沖昏頭腦?！弊龈赣H的牢記在心，后來他的兒子獲得了學(xué)校拉丁詩比賽的頭名和一次全國比賽的勝利。但這不妨礙柯西成為那個時代僅次于高斯的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)分析、實變和復(fù)變函數(shù)論、微分方程、線形代數(shù)、概率論和數(shù)學(xué)物理方面都有杰出的貢獻(xiàn)。

伽羅瓦，天才的最典型的例子，他21歲那年死于情人決斗，此前還兩次作為政治犯被捕入獄，卻是十九世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。在決斗前夜他以致友人書信的方式寫下自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，包含了所謂的伽羅華理論，這個理論奠定了群論的基礎(chǔ)。事實上，他是嚴(yán)格意義上用“群”（GROUP）這個詞的第一人，后來人們發(fā)現(xiàn)，群的概念不僅是抽象代數(shù)在二十世紀(jì)興起的重要因素，在幾何學(xué)中也起到立法分類的作用，同時它還推動了量子力學(xué)的發(fā)展。伽羅瓦之所以會卷入愚蠢的決斗，固然與父親含冤自殺，他本人兩次報考大學(xué)未果，參與政治活動被學(xué)院開除，有創(chuàng)見的論文被科學(xué)院忽視等事件有關(guān)，也與他自小偏科，被對數(shù)學(xué)的瘋狂主宰不無關(guān)系。

在伽羅瓦去世二十多年以后，法國才誕生了一位大數(shù)學(xué)家，他就是新近因為以其名字命名的猜想獲得解決而重新引起全球公眾矚目的龐加萊，他的才華和成就橫跨了科學(xué)與人文兩大領(lǐng)域。龐加萊被認(rèn)為是通曉全部數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的最后一個人，他涉足的研究領(lǐng)域驚人地廣泛，并不斷使之豐富。他還是數(shù)學(xué)的天才普及者，其平裝本的通俗讀物被人們爭相搶購，并被譯成多種文字，在不同的國度和階層廣泛傳播，就如同后來的英國理論物理學(xué)家、《時間簡史》的作者斯蒂芬·霍金那樣。

龐加萊出生在法國東北部小城南錫，父親是一位著名的醫(yī)生。龐加萊的超常智力不僅使他接受知識極為迅速，同時擁有一副流利的口才，并從小得到才華出眾的母親的教導(dǎo)，卻不幸在五歲時患上白喉癥，從此變得體弱多病，不能順利地用口語表達(dá)思想。但他依然喜歡各種游戲，尤其是跳舞，他讀書的速度也十分驚人，且能準(zhǔn)確持久地記住讀過的內(nèi)容。小龐加萊擅長的科目包括文學(xué)、歷史、地理、自然史和博物學(xué)，他對數(shù)學(xué)的興趣來得比較晚，大約開始于15歲，不過很快顯露出非凡的才華。不久，他被保送到巴黎綜合工科學(xué)校（就是伽羅瓦兩次報考未被錄取的大學(xué)），開始了他的數(shù)學(xué)生涯。

龐加萊從未在一個領(lǐng)域作過久的逗留，一位同僚戲稱他是“征服者，而不是殖民者”。整個數(shù)學(xué)都是龐加萊的領(lǐng)域，但他對拓?fù)鋵W(xué)的貢獻(xiàn)無疑最為重要。以他名字命名的猜想曾并被懸賞一百萬美元。這個猜想說的是，任意三維的單連通閉流形必與三維球面同胚。有意思的是，這個猜想的推廣，即四維和四維以上的情形先期被兩位美國數(shù)學(xué)家證實，加上證明原猜想的俄國人佩雷爾曼，一共有三位數(shù)學(xué)家因為研究它先后獲得菲爾茲獎，這在數(shù)學(xué)史上絕無僅有。在數(shù)學(xué)以外，龐加萊的貢獻(xiàn)也難以勝數(shù)：相對論、光學(xué)、電學(xué)、電報、彈性力學(xué)、熱力學(xué)、量子論、勢論、毛細(xì)現(xiàn)象、宇宙起源，等等。

龐加萊的哲學(xué)著作包括《科學(xué)與假設(shè)》、《科學(xué)的價值》和《科學(xué)方法論》，他是唯心主義約定論哲學(xué)的代表人物，認(rèn)為公理可以在一切可能的約定中進(jìn)行選擇，但需以實驗事實為依據(jù)，避開一切矛盾。同時，他反對無窮集合的概念，反對把自然數(shù)歸結(jié)為集合論，認(rèn)為數(shù)學(xué)最基本的直觀是自然數(shù)，這使他成為直覺主義的先驅(qū)者之一。正是由于這些成就的取得才使他既當(dāng)選為法蘭西科學(xué)院的院士（后成為院長），又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院的院士，他同時處身于科學(xué)和人文兩座金字塔的塔尖。龐加萊相信藝術(shù)家和科學(xué)家之間創(chuàng)造力的共性，相信“只有通過科學(xué)與藝術(shù)，文明才體現(xiàn)出價值”。

五、結(jié)束語

法國人喜歡幻想并善于幻想，除了涌現(xiàn)出無數(shù)杰出的詩人、畫家和音樂家之外，他們在數(shù)學(xué)方面提出了許多偉大的猜想，例如費爾馬定理、龐加萊猜想，均出自法國人的頭腦，還有一個中國人熟知的哥德巴赫猜想。在徐遲的同名報告文學(xué)里，談到了哥德巴赫這位18世紀(jì)的德國中學(xué)數(shù)學(xué)老師，他在給瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出了自己的猜想，這個猜想至今仍無人能夠證明。但不久以前，有人在笛卡爾散失的遺作里發(fā)現(xiàn)，早在哥德巴赫之前一個世紀(jì)，這位多才多藝的法國人便發(fā)現(xiàn)了這一數(shù)字規(guī)律，即每個大于或等于六的偶數(shù)均可表示成為兩個奇素數(shù)之和。當(dāng)然，由于笛卡爾早已經(jīng)鼎鼎大名了，連法國人也沒有要求把這個猜想的名字更改。

如果說工業(yè)革命的需要促使牛頓在英國發(fā)明了微積分，那么流血的法國大革命尤其是拿破侖的好戰(zhàn)也使得法國成就了一批精通理論和應(yīng)用的數(shù)學(xué)家。如上所述，那個時代的法國數(shù)學(xué)家?guī)缀醵寂c拿破侖交上了朋友，他們中的許多位曾在軍事學(xué)院和準(zhǔn)軍事學(xué)院就讀或任教。即便1789年出生的柯西，也在離拿破侖滑鐵盧之戰(zhàn)尚有五年時，到英吉利海峽的港口瑟堡擔(dān)任一名軍事工程師，當(dāng)時他身上只帶著四本書，拉普拉斯的《天體力學(xué)》、拉格朗日的《解析函數(shù)論》，一本天主教的教義和一冊維吉爾的詩集。從笛卡爾、帕斯卡爾、柯西等人的成才例子和伽羅瓦的早夭也可以看出，身體和智力上的平衡、科學(xué)與人文素養(yǎng)的兼?zhèn)涫呛蔚戎匾?/p>

或許是法蘭西的面積狹小，數(shù)學(xué)家們抬頭不見低頭見，加上鄰國之間的相互競爭，使得多數(shù)對數(shù)學(xué)感興趣的人有著高起點，他們相互影響和勉勵，形成了合理的良性循環(huán)。不僅如此，法國人研究數(shù)學(xué)的形式也別出心裁，例如著名的布爾巴基學(xué)派。1930年代，幾位在大學(xué)教授微積分學(xué)的青年人覺得現(xiàn)行使用的教材已經(jīng)過時, 尤其是對多重積分等的處理不盡人意。幾番探討之后, 他們決計要寫一本盡可能現(xiàn)代的分析教程，結(jié)果有了一整套《數(shù)學(xué)原理》。這幫年輕人不計較個人名利，在相當(dāng)長的時間里，只用布爾巴基這個筆名發(fā)表數(shù)學(xué)論文，其中的多位成員如韋伊、嘉當(dāng)?shù)群髞沓蔀榇髱熂壢宋?。他們引進(jìn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的概念，主要考慮一些對象的集合，而非具體的形、數(shù)、函數(shù)或運(yùn)算，這一思想構(gòu)成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心，但當(dāng)被應(yīng)用到中學(xué)教材改革時并不成功。

需要指出的是，本文提到的半數(shù)法國數(shù)學(xué)家與巴黎綜合工科學(xué)校（1794）結(jié)緣，而另一座同樣誕生于法國大革命期間、校名也同樣謙遜的巴黎高等師范學(xué)校（1808）則在上個世紀(jì)培養(yǎng)了八位菲爾茲獎得主。可以說，正是笛卡爾以降法國數(shù)學(xué)家擁有的人文素養(yǎng)，使得數(shù)學(xué)在法國長盛不衰。值得一提的是，這一良好的氛圍也熏陶了滯留巴黎的德國人萊布尼茨，他從一個肩負(fù)外交使命的秘密使臣一躍成為大數(shù)學(xué)家和大哲學(xué)家，他那轟動一時的微積分學(xué)便是在巴黎期間發(fā)明的。萊布尼茨的出現(xiàn)標(biāo)志著德意志民族在世界文明史上的真正崛起，同時也使得法國數(shù)學(xué)又多了一個強(qiáng)有力的競爭者。而布爾巴基學(xué)派的誕生，便是迫于德國數(shù)學(xué)后來居上的壓力和形勢之下。

反觀中國，雖說西漢時就有了《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，南朝時祖沖之對圓周率的估算領(lǐng)先世界一千多年，卻限于實用性的計算而忽視公理化建設(shè)和理論推導(dǎo)。近代以來，由于缺乏對外交流，中國和整個東方數(shù)學(xué)未跟上時代的腳步。等到國門重開，終于意識到自己的落后，擺在我們面前的困難重重。這里面當(dāng)然有機(jī)制和學(xué)風(fēng)的因素，不過我相信，如果我們的數(shù)學(xué)工作者年輕時多一些人文修養(yǎng)，盛年之后能把一部分精力轉(zhuǎn)向哲學(xué)思考或研究，及時探討數(shù)學(xué)的未來和外延。如同本文引言所說的，把數(shù)學(xué)看成是傳統(tǒng)文化的一部分，而不是做為敲門磚或謀取名利的手段，我們的數(shù)學(xué)事業(yè)就會興旺發(fā)達(dá)，數(shù)學(xué)研究和人才培養(yǎng)就會成為一種有序的制度，中國也有望成為真正的數(shù)學(xué)大國。◇