蘇藝偉

摘要：本文以2017年全國II卷第10題為例說明如何采用綜合法，基底法，坐標法求解空間中的線線角，并給出相關(guān)的變式訓練，最后對立體幾何教學中存在的問題淺談自己的看法.

關(guān)鍵詞：線線角；綜合法；基底法；坐標法

空間角的計算是高考重點考查的內(nèi)容，在高考試題中涉及到的空間角經(jīng)常有線線角，線面角，二面角.對于線線角的考查，一般以考查兩異面直線所成角為主，解決此類問題往往可以采用三種方法，分別是綜合法，基底法，作標法.

一、考情分析

試題1（2017年全國II卷第10題）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）

A.32B.155C.105B.33

試題分析本題作為選擇題第10題，處于較為壓軸的位置，具有一定的難度，主要考查空間中線線角的計算，能夠較好地區(qū)分不同程度的考生.試題表述簡短，樸實，平易近人，但是內(nèi)涵豐富，寓意深厚，著重考查考生的空間想象能力（沒有給出具體圖形），推理論證能力.考生必須具備較強的空間想象能力，運算求解能力方能正確作答.試題入手寬，解法多，具有較好的探究意義.

二、解法分析

方法1：綜合法

如圖1所示，取AB中點M，BC中點Q，B1B中點N，B1C1中點P.連接MQ，PQ，MP，MN，PN.

因為AB1//MN，BC1//PN，

所以異面直線AB1與BC1所成的角即為∠MNP或其補角.

所以AC=7，MQ=72，PQ=1，MN=52，PN=22，PM=112.

在ΔMNP中，cos∠MNP=PN2+MN2-PM22PN·MN=-105.

又異面直線所成角的范圍是（0，π2]，

故異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為105.

方法2：基底法

如圖2所示，設(shè)BA=a→，BB1=b→，BC=c→，

則a→=2，b→=1，c→=1，a→·b→=0，c→·b→=0，a→·c→=-1.

由于AB1=AB+BB1=b→-a→，

BC1=BB1+B1C1=b→+c→.

故AB1·BC1=2，AB1=5，BC1=2.

設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ，

則cosθ=AB1·BC1AB1BC1=105.

方法3：坐標法

如圖3所示，將直三棱柱ABC-A1B1C1放入長方體A1E1F1C1-AEFC中，以A為原點，AE為x軸，AC為y軸，AA1為z軸建立空間直角坐標系.

由于∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，

易求得AC=7，AE=37，BE=57.

所以A0，0，0，B37，57，0，B137，57，1，C10，7，1.

AB1=37，57，1，BC1=-37，7-57，1.

故AB1·BC1=2，AB1=5，BC1=2.

設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ，

則cosθ=AB1·BC1AB1BC1=105.

上述三種方法是處理空間中線線角的常用方法.方法1為綜合法，理論依據(jù)是立幾中的三個公理以及相關(guān)定理、性質(zhì).其關(guān)鍵在于作出輔助線，進而證明與解答.方法2是基底法，理論依據(jù)是空間向量基本定理（空間中任意一個向量都可以表示成不共面的三個向量的線性組合），需要三個模與相互夾角已知的不共面向量作為基底，用其表示空間內(nèi)任意向量，通過數(shù)量積等運算實現(xiàn)化歸.方法3是建立空間直角坐標系，將幾何元素以坐標的形式體現(xiàn)出來，轉(zhuǎn)化為坐標的運算.三種方法都具有各自的優(yōu)點，不可偏廢.本道高考試題很好地展現(xiàn)了三種解法的運用，故而具有很好的探究意義并且對中學數(shù)學教學具有很好的導向功能.

變式1已知四面體O-ABC的各條棱長都是1.M，N分別是AB，OC的中點.求異面直線OM與BN所成角的余弦值.

方法1：綜合法

如圖4所示，連接MC，取MC中點G，連接NG，BG.

由于OM//NG，所以異面直線OM與BN所成的角即為∠BNG或其補角.

易求得BN=32，NG=34，BG=74.

在ΔBNG中，cos∠BNG=BN2+GN2-BG22BN·GN=23.

故異面直線OM與BN所成角的余弦值為23.

方法2：基底法

如圖5所示，設(shè)OA=a→，OB=b→，OC=c→.

則a→=1，b→=1，c→=1，a→·b→=12，c→·b→=12，a→·c→=12.

由于OM=12a→+b→，BN=ON-OB=12c→-b→.

故OM·BN=-12，OM=32，BN=32.

設(shè)異面直線OM與BN所成的角為θ，

則cosθ=OM·BNOMBN=23.

方法3：坐標法

如圖6所示，將四面體O-ABC放入正方體A1E1F1C1-AEFC中，并且建立空間直角坐標系.

由于四面體O-ABC的各條棱長都是1，所以正方體棱長為22.

所以O(shè)22，22，22，M24，0，24，B22，0，0，N24，22，24.

OM=-24，-22，-24，BN=-24，22，24.

故OM·BN=-12，OM=32，BN=32.

設(shè)異面直線OM與BN所成的角為θ，

則cosθ=OM·BNOMBN=23.endprint

變式2（2015年浙江高考理科第13題）在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是多少？

方法1：綜合法

如圖7所示，連接DN，取DN中點E，連接ME，CE.

由于AN//ME，所以異面直線AN，CM所成的角即為∠CME或其補角.

易求得ME=2，CE=3，CM=22.

在ΔCME中，cos∠CME=78.

故異面直線AN，CM所成角的余弦值是78.

方法2：基底法

如圖8所示，設(shè)AD=a→，AB=b→，AC=c→.

則a→=2，b→=3，c→=3.

易求得cos∠BAC=79，cos∠CAD=13，

cos∠BAD=13.

故a→·b→=2，c→·b→=7，a→·c→=2.

由于AN=12c→+b→，CM=AM-AC=12a→-c→.

故AN·CM=-7，AN=22，CM=22.

設(shè)異面直線AN與CM所成的角為θ，

則cosθ=AN·CMANCM=78.

方法3：坐標法

如圖9所示，將三棱錐A-BCD放入長方體中，并且建立空間直角坐標系.

A2，0，0，N22，22，7，C2，2，7，M22，22，0.

AN=-22，22，7，CM=-22，-22，-7.

故AN·CM=-7，AN=22，CM=22.

設(shè)異面直線AN與CM所成的角為θ，

則cosθ=AN·CMANCM=78.

三、教學啟示

1.講透核心概念

空間中線線角的求解計算往往可以采用綜合法和向量法（向量基底法與向量坐標法）來解決.雖然方法有別，但是各種方法的出發(fā)點是異面直線所成角的定義以及異面直線和共面直線的區(qū)別.這就啟發(fā)我們在教學中一定要抓住核心概念，講透核心概念的來龍去脈，從正反兩方面深刻理解核心概念的本質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上進行相關(guān)的解題策略引導以達到對概念內(nèi)涵和外延的鞏固.

2.不可偏廢綜合法

在現(xiàn)實教學中，筆者發(fā)現(xiàn)，向量法可以以算代證地處理幾何問題，強有力的代數(shù)計算幾乎扼殺了幾何方法的直觀簡潔之美，將幾何推證淪為機械計算的數(shù)字游戲.事實上，綜合法的實質(zhì)是立體問題平面化，即利用已知條件及定理，性質(zhì)，法則等已知事實，以合情推理為先導，演繹推理不斷整合完善，最終將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，實現(xiàn)條件與結(jié)論的溝通，其解題途徑多樣，思維靈活多變，能夠更好地培養(yǎng)數(shù)學理性思維，提升數(shù)學核心素養(yǎng).以2016年全國I卷第11題為例進行說明.

試題2平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（）.

A.32B.22C.33D.13

解法分析如圖10所示，設(shè)面CB1D1∩平面ABCD=m1，面CB1D1∩平面ABB1A1=n1.

由于α//平面CB1D1，平面ABCD∩α=m，平面ABCD∩面CB1D1=m1，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有m//m1.

由于面ABCD//面A1B1C1D1，面CB1D1∩平面ABCD=m1，面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有B1D1//m1.

因此有m//B1D1.

由于α//平面CB1D1，平面ABB1A1∩α=n，平面ABB1A1∩面CB1D1=n1，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有n//n1.

由于面DCC1D1//面ABB1A1，面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1，面CB1D1∩平面ABB1A1=n1，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有CD1//n1.

因此有n//CD1.

因此，m，n所成角的正弦值為B1D1與CD1所成角的正弦值.

由于ΔCB1D1是一個正三角形，故正弦值為32.

不難發(fā)現(xiàn)，本道試題也是空間中線線角的求解.然而由于題目本身的特殊性，無法采用基底法或者坐標法，此時只能運用綜合法的思路進行分析.因此，如果我們在平時的教學中一味地強調(diào)向量法就會導致學生的思維產(chǎn)生局限，碰到諸如此類較為靈活的試題就會受阻.相反如果我們能夠注重對綜合法的培養(yǎng)與滲透，學生在陌生的情境下就能夠自覺分析，不僅能夠順利解答還能產(chǎn)生更多優(yōu)秀的解法.

優(yōu)化解法1如圖11所示，由于α//平面CB1D1，平面ABCD∩α=m，平面ABCD∩面CB1D1=CM，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有m//CM.

由于α//平面CB1D1，平面ABB1A1∩α=n，平面ABB1A1∩面CB1D1=B1M，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有n//B1M.

因此，m，n所成角的正弦值為CM與B1M所成角的正弦值.

由于ΔCB1M是一個正三角形，故正弦值為32.

優(yōu)化解法2 如圖12所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1的下方和下方的左側(cè)各補上一個一模一樣的正方體.顯然AR//D1B1，AF//D1C，故面ARF//面CB1D1，

因此題目給出的平面α即是面ARF.

不難發(fā)現(xiàn)，α∩平面ABCD=m，即為面ARF∩平面ABCD=m，故m=AR；

同理，α∩平面ABB1A1=n，即為面ARF∩平面ABB1A1=n，故n=AF.因此m，n所成角即為直線AR，AF所成的角.

設(shè)該正方體的棱長為1，

在ΔARF中，AR=2，AF=2，RF=6，

由余弦定理可求得∠RAF=120°.

因此m，n所成角為120°，故正弦值為32.

3.正確處理好綜合法與向量法的關(guān)系

向量法的引入是大勢所趨，符合國際數(shù)學發(fā)展的潮流.向量法對學生運算能力的培養(yǎng)等方面具有促進作用，且能有效減輕學生學習立體幾何過程中過渡依賴平面幾何的沉重負擔，正如吳文俊先生說，如今隨著計算機的應(yīng)用和發(fā)展，用代數(shù)研究幾何難題是最好的方式，除此之外我實在想不出其他的.這足以體現(xiàn)向量工具性的作用.因此在教學中，我們要處理好綜合法與向量法的關(guān)系，鼓勵學生靈活選擇運用向量法與綜合法，從不同角度解決立體幾何問題.

參考文獻：

[1]張延斌.剖析立體幾何中幾個常見模型的運用[J].中學數(shù)學教學，2017（3）：27-29.endprint