李先平， 舒啟林， 李歡歡

（沈陽理工大學機械工程學院，沈陽 110159）

0 引言

齒輪是機械裝備中最常用的一種傳動零件，非圓齒輪是圓柱齒輪的一種變形，兼具了齒輪和凸輪的優(yōu)點，不僅有穩(wěn)定的傳動比，還能實現(xiàn)非勻速傳動，主要運用于輕工業(yè)[1]、機床制造業(yè)及儀器儀表業(yè)。它的概念最早于二十世紀初期提出，迄今已有一百多年的歷史，但由于它的設計和計算復雜、難以加工的特點使其發(fā)展停滯。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，使非圓齒輪的理論再次被提出。現(xiàn)階段對非圓齒輪的研究主要集中在利用計算機技術(shù)進行非圓齒輪節(jié)曲線的設計、非圓齒輪齒廓生成以及數(shù)控加工程序的生成和仿真加工等方面，并逐步實現(xiàn)整個過程的全自動化。另外隨著CAD/CAM技術(shù)的日趨成熟，可以使抽象的數(shù)學式變成直觀的圖形。

1 非圓齒輪加工方法

早期加工非圓齒輪加工方法有靠模法、近似滾切法，但由于加工精度不高、效率低逐漸被淘汰[2]?，F(xiàn)在對非圓齒輪加工的研究主要集中在數(shù)控滾齒、數(shù)控插齒及數(shù)控銑齒和線切割技術(shù)。

1.1 數(shù)控插齒

非圓齒輪的加工最早是通過插齒加工實現(xiàn)的[3]，插齒被廣泛用于非圓內(nèi)、外齒輪的加工，并具有較高的精度。徐曉俊[4]提出一種基于節(jié)曲線離散點的通用非圓齒輪數(shù)控插齒程序設計方法，通過各離散點計算出刀具和工作臺的離散位置，通過計算機輔助生成加工程序。楊世平[5]根據(jù)非圓齒輪節(jié)曲線方程推導出數(shù)控插齒機五軸聯(lián)動數(shù)學模型。李波[6]利用非圓齒輪的節(jié)曲線法向向量得到基于包絡模型的非圓內(nèi)齒輪插齒加工三軸聯(lián)動模型，該模型簡化了自動編程的計算量。李建剛、吳序堂等[7]提出了一種判斷非圓齒輪任意齒廓是否發(fā)生根切的精確方法，提高了數(shù)控插齒加工非圓齒輪的質(zhì)量。

1.2 數(shù)控銑齒

李宇鵬、田斌等[8]根據(jù)非圓帶輪節(jié)曲線切線的極坐標理論建立了銑削加工非圓齒輪的點位計算模型，并在坐標鏜床上采用分度頭分齒銑切非圓帶輪，為非圓齒輪銑削加工奠定了基礎(chǔ)?？椎掠耓9]利用斷續(xù)展成法進行數(shù)控銑削加工，加工時主要有四種運動：銑刀繞自身軸線轉(zhuǎn)動、銑刀的軸向移動、銑刀軸心與非圓齒輪齒坯中心距移動和回轉(zhuǎn)工作臺的轉(zhuǎn)動。由于數(shù)控銑齒加工非圓齒輪的效率較低，故該方法使用較少。

1.3 數(shù)控線切割

張生余、金秀石[10]利用圓柱齒輪的嚙合原理找到齒面法線與節(jié)圓焦點跟齒面之間的幾何關(guān)系計算出每個齒的齒廓坐標，然后利用計算機打印出穿孔帶，在線切割機床上實現(xiàn)非圓齒輪加工。李建剛、吳序堂等[11]將非圓齒輪的齒廓計算轉(zhuǎn)化成求非圓齒輪節(jié)曲線的全部齒廓數(shù)據(jù)，可快速精確計算非圓齒輪齒廓。戴有華、胡赤兵等[12]利用三維軟件實現(xiàn)非圓齒輪建模，然后利用軟件仿真模塊生成數(shù)控線切割加工代碼。

1.4 數(shù)控滾齒

為實現(xiàn)高硬度、大模數(shù)、大齒寬的非圓齒輪，戴有虎[13]根據(jù)非圓齒輪嚙合原理建立了滾切加工非圓齒輪的數(shù)學模型，為非圓齒輪滾切加工的研究奠定了基礎(chǔ)。其后有大量學者進行了非圓齒輪滾切加工的研究，其主要研究方向有：自動編程，工藝庫，加工誤差。

2 非圓齒輪滾切的數(shù)控系統(tǒng)

2.1 滾切數(shù)學模型

譚偉明、胡赤兵等[14]通過對非圓齒輪節(jié)曲線分析，建立了滾齒加工各運動軸聯(lián)動的數(shù)學模型，為實現(xiàn)滾齒加工自動編程奠定了基礎(chǔ)。張國政等[15]推導了滾切加工直齒非圓齒輪的數(shù)學模型。滾切過程中，滾刀節(jié)線與齒輪節(jié)線相互保持純滾動，其滾切示意圖如圖1所示。

圖1 直齒非圓齒輪滾切示意圖

直齒非圓齒輪的節(jié)曲線表達式記為r=r（θ），它是以極角θ為自變量的函數(shù)，通過微分幾何原理可以得滾切運動模型：

式中：ψ為滾刀轉(zhuǎn)角；K為滾刀頭數(shù)；m為滾刀模數(shù)；φ為工件轉(zhuǎn)角；R為滾刀軸線與工件回轉(zhuǎn)軸線的距離。

由滾切模型可以看出，滾切非圓直齒齒輪需要三個基本運動：工件轉(zhuǎn)動（角速度ωc）、刀具轉(zhuǎn)動（角速度ωb）及工件與刀具軸線間的相對位移（線速度vy）。在實際加工中，為了加工整個全齒寬，需要刀具沿工件軸線方向進給運動。

丁和艷[16]建立了非圓斜齒輪數(shù)控滾切加工的運動模型。加工斜齒非圓齒輪時，需要五個基本運動：工件轉(zhuǎn)動（角速度ωc）、刀具轉(zhuǎn)動（角速度ωb）、工件與刀具軸線間的相對位移（線速度vy）、刀具沿工件軸線方向進給運動（vz）及滾刀沿工件軸向的差動運動（Δωc），它們均是以極角θ為自變量的函數(shù)。

2.2 滾切加工方案

在進行非圓直齒輪滾切加工時考慮三個基本運動，則滾切加工方案有：滾刀恒速、工件恒速及工件等極角恒速。

1）滾刀恒速。即ωb為固定值，則通過數(shù)值積分法得運動模型，其中工件角速度ωc和刀具軸線間的相對位移的線速度vy均是與ωb有關(guān)的函數(shù):

當滾刀的切削功率較大時，宜采用此方案。

2）工件恒速。即ωc=固定值，則ωb、vy均是與ωc有關(guān)的函數(shù):

當滾刀的切削功率較小時，宜采用此方案。

3）工件等極角速度。即dθ/dt=固定值，通過數(shù)值微分法則可得相關(guān)運動模型:

此方法的數(shù)值計算最簡單，但ωb、vy和ωc三者無一恒定，加大了控制難度，且該方案的切削不均勻，因此一般不采用該方案。

2.3 數(shù)控滾切插補算法

傳統(tǒng)的非圓齒輪滾齒加工是通過齒輪控制各軸進行關(guān)聯(lián)運動，文獻[17]對各軸聯(lián)動方案進行了研究。數(shù)控滾切加工非圓齒輪插補算法是數(shù)控系統(tǒng)的核心，它是影響機床加工性能的重要因素。非圓齒輪滾切的插補方法有三種：等極角插補，等弧長插補，三樣條曲線插補。

1）等極角插補。根據(jù)精度要求將非圓齒輪的節(jié)線分成若干極角相等，弧長不一定相等的曲線，求出若干節(jié)點。將合格節(jié)點連成一系列首尾相連的折線，則此折線近似替代非圓齒輪的節(jié)曲線。再將這些若干節(jié)點帶入滾切數(shù)學模型中，就能求出各運動軸的增量。此方法是基于直線插補的算法，為了保證加工精度，需要節(jié)點足夠多，導致計算量增加。另外，此插補方法加工出的非圓齒輪齒距不均勻，在極徑大處齒距大，極徑小處極徑小。

2）等弧長插補。根據(jù)精度要求將非圓齒輪的節(jié)曲線分成若干弧長相等的曲線，求出這些曲線的端點值，再將這些節(jié)點連成一系列折線逼近非圓齒輪節(jié)曲線，再按等直線插補。此加工方法同樣基于直線插補，加工出的齒輪齒距分布均勻。但在各相鄰折線交接處一階、二階導數(shù)不連續(xù)，因此加工過程中各運動軸的運動方向和受力會產(chǎn)生突變，引起機床振動，降低加工質(zhì)量。

3）三樣條插補。吳焱明[18]最先提出用三樣條曲線擬合非圓齒輪的節(jié)曲線，并進行插補。此方法可以在一段加工程序內(nèi)通過連續(xù)插補完成，避免了運動軸的方向及受力突變，減少了振動。田芳勇[19]根據(jù)曲線插補提出了三次B樣條曲線自適應插補算法，該算法在保證加工要求同時，保證運動軌跡每一瞬時的速度和加速度在系統(tǒng)允許范圍內(nèi)，提高加工精度。此方法與前兩種插補方法相比，插補的計算量大，對計算機處理器要求較高。

2.4 自動編程系統(tǒng)

數(shù)控滾切加工非圓齒輪關(guān)鍵在于編制數(shù)控程序，靠手動編程難以實現(xiàn)非圓齒輪滾切加工，因此滾切加工的研究主要針對自動編程。胡赤兵[20]通過非圓齒輪的滾切運動模型建立了滾切加工非圓齒輪的自動編程系統(tǒng)。用戶只需要輸入一些非圓齒輪的基本參數(shù)、滾刀參數(shù)、工藝參數(shù)和機床參數(shù)等，系統(tǒng)就能自動生成加工代碼。系統(tǒng)主要包括：參數(shù)輸入模塊、工藝處理模塊、后置處理模塊以及信息管理模塊。

3 非圓齒輪滾切加工的工藝

3.1 切削參數(shù)

滾切加工的切削參數(shù)主要考慮刀具材料、工件材料、齒輪模數(shù)、機床特性和其它。現(xiàn)在滾切非圓齒輪的切削參數(shù)大部依靠經(jīng)驗確定，沒有針對非圓齒輪滾切的切削參數(shù)表。有學者曾以圓柱齒輪切削參數(shù)優(yōu)化設計理論為基礎(chǔ)[21]，建立了非圓齒輪的切削參數(shù)優(yōu)化模型，這為切削參數(shù)優(yōu)化設計提供了新方向。

3.2 對刀計算

非圓齒輪是對號嚙合的，主動輪與從動輪在同一個極徑處相差1/2個齒距，因此加工時存在對刀起始點問題。早期的對刀是依靠工人經(jīng)驗進行，有很大的齒形誤差。田芳勇[22]提出了光電編碼器對刀，該方法是在滾刀旋轉(zhuǎn)軸和工作臺上分別安裝一個光電編碼器，并在滾刀某一位置設置零位，在工作臺某一位置設置零位并與齒輪的起始位置重合。開動機床后，工件和滾刀均以一定的速度旋轉(zhuǎn)。此時系統(tǒng)開始檢查光電編碼器的脈沖信號，當同時檢測到齒坯軸和滾刀軸上光電編碼器上的零位信號后完成對刀。

3.3 軸向躥刀

在多周聯(lián)動滾切加工非圓齒輪時，非圓齒輪加工范圍如圖2所示。

圖2 滾刀運動區(qū)域

非圓齒輪繞運動中心轉(zhuǎn)動時，最大運動區(qū)域長度為L，當L大于滾刀長度時，將會出現(xiàn)無法加工的情況。綜合考慮滾刀受不均勻載荷和滾刀的軸向加工范圍不足的情況需要進行軸向躥刀。夏鏈等[23]通過對滾切運動分析找到了軸向躥刀方案。

3.4 走刀方式

走刀方式主要有逆滾、順滾和軸向逆順滾，不同的走刀方式有不同的刀軌點位計算方法。目前大部分滾齒加工都采用逆滾方式進行。加工時采取何種走刀方式需要綜合考慮機床參數(shù)、刀具參數(shù)、工件材料、加工精度以及加工效率等相關(guān)因子。

4 非圓齒輪滾切加工的加工誤差

非圓齒輪沒有確定的精度標準，都是根據(jù)傳動要求和使用者要求確定精度的?，F(xiàn)在對非圓齒輪的精度研究主要集中在對非圓齒輪周節(jié)累積誤差、齒廓誤差和節(jié)曲線誤差上。滾切加工非圓齒輪的加工誤差除了理論誤差外，還有工藝系統(tǒng)的誤差。

4.1 滾刀誤差

滾刀誤差主要分為滾刀制造誤差和滾刀安裝誤差，文獻[24]分析了滾刀制造誤差對滾切加工影響，并建立了滾刀制造誤差對齒廓誤差影響的誤差計算公式。滾刀的安裝誤差是指滾刀安裝在機床刀桿上之后形成的徑向跳動誤差、軸向歪斜量及軸向竄動，它們將使?jié)L刀切削刃在一轉(zhuǎn)中周期的產(chǎn)生多切或少切，因而引起被加工齒輪齒廓誤差。

4.2 機床誤差

機床誤差主要有機床導軌誤差、傳動原件制造安裝誤差和電壓波動產(chǎn)生的轉(zhuǎn)速變化。齒輪在滾切加工時，輪齒的寬度是滾刀作垂直進給運動加工形成的，當?shù)都軐к壓凸ぷ髋_回轉(zhuǎn)軸線有傾斜角度時，就會使被切齒輪在齒寬方向產(chǎn)生原始齒廓位移誤差[25]。滾切時由于傳動件不可避免有制造、安裝誤差，會使?jié)L刀與被加工齒輪間的相對位置發(fā)生變化，因此會將誤差直接反映在被加工件上，引起轉(zhuǎn)角誤差。文獻[26]提出用轉(zhuǎn)角誤差和傳動鏈的

式中：Δφ為總傳動鏈誤差；im為傳動鏈第m和原件至傳動鏈末端的傳動比；Δφm為傳動鏈第m個元件的轉(zhuǎn)角誤差。

4.3 齒坯誤差

實踐證明，齒坯的制造誤差會使齒輪在滾齒機上的安裝偏心，是造成被加工齒輪周節(jié)累積誤差主要原因之一[27]，另外齒坯誤差還導致了嚙合線誤差。非圓齒輪齒坯誤差導致的嚙合線誤差計算比圓柱齒輪的計算更復雜，現(xiàn)今沒有較好的計算方式。

5 非圓齒輪滾切加工發(fā)展趨勢

1）插補算法多樣性。為適應不同的傳動需求，非圓齒輪節(jié)曲線也朝著多樣性發(fā)展，因此要求滾切非圓齒輪的系統(tǒng)能更廣范圍適應不同的非圓齒輪。非圓齒輪的節(jié)曲線不同會使運動軸的運動量產(chǎn)生變化，因此需要研究更多的插補算法，以適應不同類型的非圓齒輪。隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，系統(tǒng)承載能力更強，因此可以實現(xiàn)更多的復雜運算。

2）獨立的誤差補償。現(xiàn)在對滾切非圓齒輪誤差補償大部分是按照圓柱齒輪誤差補償進行計算的，但非圓齒輪在原理上就與圓柱齒輪不同，因此需要考慮更多的誤差影響因子，綜合考慮工藝系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、升降速、動態(tài)影響等因素，建立滾切非圓齒輪的誤差補償系統(tǒng)。

3）工藝優(yōu)化?，F(xiàn)今對滾切加工非圓齒輪的加工工藝研究還很少，有相關(guān)的研究都近似于圓柱齒輪的工藝。非圓齒輪滾切加工時不可避免地會出現(xiàn)升降速，會引起機床振動，降低加工質(zhì)量，欲實現(xiàn)高速高效的加工，需要優(yōu)化滾切加工工藝。隨著優(yōu)化科學在制造業(yè)中的廣泛運用，滾切加工非圓齒輪的工藝優(yōu)化找到了新的方向。

4）統(tǒng)一檢測標準。非圓齒輪節(jié)曲線復雜多樣，導致了檢測標準多樣?，F(xiàn)在對非圓齒輪的檢測標準都是根據(jù)傳遞運動的準確性和客戶要求進行建立的，并沒有像圓柱齒輪那樣有一套統(tǒng)一的檢測標準，因此為滾切非圓齒輪機床的研究帶來了困難。因此有必要制定統(tǒng)一的非圓齒輪檢測標準。

6 結(jié)論

從滾切加工非圓齒輪的加工數(shù)控系統(tǒng)構(gòu)建方法、加工工藝、加工誤差分析三個方面較為系統(tǒng)地介紹了現(xiàn)有研究成果，重點突出插補計算、滾切方案的研究成果，指出要建立統(tǒng)一檢測標準以推進非圓齒輪的推廣；要發(fā)展更多的插補算法；要采用機械優(yōu)化理論對非圓齒輪滾齒工藝進行優(yōu)化；要建立完整獨立的非圓齒輪插補系統(tǒng)。傳動比來表示最終運動誤差：

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