張大鵬， 雷勇軍， 申志彬

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410073)

納米梁結(jié)構(gòu)(如碳納米管[1]、氮化硼納米管[2]等)以其優(yōu)異的力學(xué)性能在納米/生物傳感器[3]、微納機(jī)電系統(tǒng)以及納米復(fù)合材料[4]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。由于納米梁的力學(xué)性能與其結(jié)構(gòu)形式有很大關(guān)系，為滿足不同工程需要，目前已研制出了多種不同結(jié)構(gòu)形式的納米梁結(jié)構(gòu)，如Y形、竹節(jié)形及錐形碳納米管等[5-7]。錐形納米梁作為其中最受關(guān)注的結(jié)構(gòu)形式之一，其動力學(xué)特性研究具有重要意義。

試驗和分子動力學(xué)仿真[8]均已表明，納米材料的力學(xué)性能存在明顯的尺度效應(yīng)。由于無尺度相關(guān)性，經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)在研究納米材料的力學(xué)行為時具有一定局限性，而非局部理論的提出[9-10]較好地解決了該問題，在納米材料力學(xué)問題研究中得到廣泛應(yīng)用。非局部理論的核心思想是，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)不僅與該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)相關(guān)，也與整個域內(nèi)其他點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)都有關(guān)。Lei等[11-12]分別利用非局部歐拉梁模型和非局部鐵摩辛柯梁模型建立了外加阻尼影響下的黏彈性納米梁的振動控制方程，并通過傳遞函數(shù)法得到了固有頻率的封閉解。Rosstai等[13]基于非局部歐拉梁理論研究了懸掛變截面納米梁的振動特性，并分析了非局部參數(shù)、表面能及軸向力對固有頻率的影響。根據(jù)非局部歐拉梁模型，Tang等[14]對帶有質(zhì)量點(diǎn)的變截面碳納米管的自由橫向振動進(jìn)行了分析。根據(jù)非局部理論，Chang等[15-16]分別利用微分求積方法和有限元方法對變截面納米梁的縱向振動問題進(jìn)行了研究。Rahmati等[17]針對Winkler彈性基體中的變截面氮化硼納米管的電-熱-力耦合縱向振動問題進(jìn)行了研究。Rafiei等[18]利用非局部歐拉梁理論研究了Kelvin黏彈性基體中的儲液變截面碳納米管的振動特性問題。就目前而言，針對黏彈性基體上變截面納米梁的動力學(xué)問題開展的相關(guān)研究還很少，而考慮外加磁場影響的研究工作更是鮮有報道。為此，本文建立一種用于研究磁場影響下黏彈性基體上變截面納米梁(如圖 1所示)振動特性的分析模型，以便為納米領(lǐng)域中相關(guān)問題的研究及錐形碳納米管等新型納米材料的開發(fā)應(yīng)用提供有益參考。

本文首先基于非局部歐拉梁理論、Kelvin黏彈性地基模型及麥克斯韋關(guān)系式，建立變截面納米梁在黏彈性基體上的振動控制方程及相應(yīng)邊界條件。然后，聯(lián)合傳遞函數(shù)法和攝動法對所建方程進(jìn)行求解，得到了納米梁在任意邊界條件下的固有頻率。最后通過算例對磁場強(qiáng)度、非局部參數(shù)、松弛時間及錐度系數(shù)等影響因素進(jìn)行分析。

圖1 黏彈性基體上變截面納米梁Fig.1 A nonuniform nanobeam resting on a viscoelastic foundation

1 振動控制方程及邊界條件

1.1 振動控制方程

以某根置于黏彈性基體上的圓筒形變截面納米梁為研究對象開展本文工作，如圖 1所示。其中，納米梁的長度為L，等效壁厚為δ，半徑rx隨x軸線性變化，且左右兩端半徑分別用rL和rR表示。黏彈性基體采用Kelvin黏彈性地基模型進(jìn)行模擬[19]。根據(jù)非局部歐拉梁理論，建立系統(tǒng)的振動控制方程如下

(1)

式中：Ax為橫截面積；Ix為慣性矩；w為橫向變形；ρ為質(zhì)量密度；e0a為非局部參數(shù)；E∞和Em為廣義Maxwell黏彈性模型[11-20]的楊氏模量，這里引入的廣義Maxwell黏彈性模型用于描述變截面納米梁的黏彈性特性。此外，qx和QN分別表示磁場產(chǎn)生的洛倫茲力和Kelvin黏彈性地基模型的作用力，其具體表達(dá)式為

(2)

(3)

式中： 洛倫茲力qx可根據(jù)麥克斯韋關(guān)系式給出，η和Hx分別表示磁通量和磁場強(qiáng)度[21]。k和C0分別表示Kelvin黏彈性地基的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，μ0為地基的黏性系數(shù)。

對于納米梁自由振動問題，振動控制方程的解可寫為w=W(x)eiωt， 其中ω和W(x)分別為固有頻率及相應(yīng)振型。將該式代入振動控制方程式(1)，并將Laplace算子展開，可得

(4)

式中：

(4)

從式(4)可以看出，簡化后的振動控制方程為關(guān)于W(x)的四階變系數(shù)微分方程，且系數(shù)為ω的函數(shù)。

1.2 邊界條件

為求解振動控制方程，需要給出納米梁兩端的邊界條件。下面給出了三種典型的邊界條件：

(1) 固支端

(6)

(2) 簡支端

(7)

(3) 自由端

(8)

式中：M和Q分別表示納米梁所受的彎矩和剪力，其具體表達(dá)式如下：

(9)

(10)

由于求解四階變系數(shù)微分方程的解析解十分困難，下文將通過聯(lián)合傳遞函數(shù)法(TFM)和攝動法(PM)對振動控制方程進(jìn)行求解，從而得到變截面納米梁的固有頻率。

2 基于攝動法的傳遞函數(shù)法求解

2.1 狀態(tài)方程

傳遞函數(shù)法在納米梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)問題研究中應(yīng)用廣泛[12,14,22]。為求解納米梁的固有頻率，首先定義狀態(tài)向量

(11)

則，振動控制方程式(4)可寫為狀態(tài)方程形式

(12)

式中

(13)

且

(14)

納米梁的邊界條件同樣可寫為狀態(tài)方程形式

(15)

式中：M和N分別為納米梁左右兩端的邊界條件選擇矩陣。

由于式(12)為變系數(shù)微分方程，無法直接采用傳統(tǒng)的傳遞函數(shù)法進(jìn)行求解，首先需要通過攝動法[14]將其轉(zhuǎn)化為常系數(shù)微分方程，然后再利用傳遞函數(shù)法進(jìn)行求解。

2.2 基于攝動法的傳遞函數(shù)解

文獻(xiàn)[14]指出一階攝動解具有較高的計算精度，可滿足工程需要。本文為了簡化起見，僅取一階攝動解進(jìn)行計算分析。同時，設(shè)系統(tǒng)的阻尼為黏性阻尼(即μ0→∞)，并通過取N=1，E1→∞和τd=μ1/E∞將廣義Maxwell黏彈性模型簡化為Kelvin-Voigt黏彈性模型[11]。則有

(16)

ω=ω0+εω1

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

其中ω0和ω1均為與ω相關(guān)的參數(shù)。 將式(17)～式(21)代入式(12)和式(15)可得

(22)

(23)

(24)

式中： 轉(zhuǎn)移矩陣Φ0(ω0)、Φ10和Φ11內(nèi)除下面定義的元素外的其他元素均取0：

Φ0,12=Φ0,23=Φ0,34=1,

且

為了進(jìn)一步闡明本文的求解方法，下面給出了三種典型邊界條件下的邊界條件選擇矩陣。同樣，M0(ω0)、M10、M11、N0(ω0)、N10和N11、內(nèi)除下面定義的元素外其他元素均取0：

(1) 簡支-簡支梁

(2) 固支-固支梁

M0,11=1,M0,22=1,N0,31=1,N0,42=1。

(3) 懸臂梁

對于懸臂梁而言，M0和M1與固支-固支梁時相同，N0和N1由下式給出

根據(jù)傳遞函數(shù)法，常系數(shù)微分方程式(22)的解ω0可通過求解下面的特征方程得到

det[M0(ω0)e-Φ0(ω0)/2]+N0(ω0)eΦ0(ω0)/2]=0

(25)

則固有頻率ω0對應(yīng)的振型為

(26)

式中：V0為M0(ω0)e-Φ0(ω0)/2+N0(ω0)eΦ0(ω0)/2的零特征值對應(yīng)的特征向量。此外，方程式(23)的解可寫為

(27)

然后將式(24)和式(26)代入式(27)可得

(28)

式中：

將式(24)和式(28)代入式(23)，則有

(29)

根據(jù)矩陣初等變換，有

M0(ω0)e-Φ0(ω0)/2+N0(ω0)eΦ0(ω0)/2=
[P][λ][P]-1

(30)

式中： [λ]為特征值組成的對角矩陣， [P]為特征值對應(yīng)的特征向量。 將式(30)代入式(29)， 并左乘[P]-1，則有

[λ][P]-1A0+ω1D1+D0=0

(31)

式中

(32)

(33)

由式(25)可知， 矩陣[λ]內(nèi)必存在一個零特征值λi， 則由式(31)可得

(34)

將求得的ω0和ω1代入式(17)， 即可得到變截面納米梁固有頻率的一階攝動解。

3 算例分析

本節(jié)首先通過與相關(guān)文獻(xiàn)中已有的計算結(jié)果進(jìn)行對比，驗證本文所建模型的準(zhǔn)確性。然后在此基礎(chǔ)上，分析磁場強(qiáng)度Hx、非局部參數(shù)α、納米梁錐度系數(shù)c*及松弛時間τd等對復(fù)固有頻率實部(即阻尼頻率)和虛部(即阻尼比)的影響情況。納米梁的部分基本參數(shù)同文獻(xiàn)[14]： 納米梁長度L=22 nm，左端半徑rL=0.8 nm，等效壁厚δ=0.34 nm，質(zhì)量密度ρ=2.24 g/cm3，楊氏模量E=1 TPa。

不同錐度系數(shù)c*下變截面懸臂納米梁的前四階固有頻率如表1所示，其中錐度系數(shù)用以描述變截面納米梁橫截面的變化情況，定義為c*=1-rR/rL。在該算例中，納米梁簡化為經(jīng)典彈性歐拉梁，且不受基體影響，即取α=0，τd=0 ns，k=0 Pa，C0=0 Pa·ns。從表1可以看出，本文計算結(jié)果與文獻(xiàn)[14]中相應(yīng)結(jié)果吻合較好，驗證了本文所建模型的正確性。下面進(jìn)一步對系統(tǒng)中涉及到的主要影響因素進(jìn)行分析。

表1 不同錐度c*下變截面懸臂納米梁的前四階固有頻率/GHz

如圖2所示，給出了不同磁場強(qiáng)度Hx和松弛時間τd下變截面簡支-簡支納米梁一階頻率比MFR隨非局部參數(shù)α的變化曲線。其中，頻率比MFR定義為ω/ωHx0，ωHx0表示無磁場影響下納米梁的阻尼頻率值。該算例中取k=108Pa，C0=2×105Pa·ns，η=4π×10-7，其他基本參數(shù)同上算例。從圖2(a)可以看出，增加外部磁場后一階頻率比MFR均大于1，且隨著磁場強(qiáng)度的增大MFR明顯增大。這表明外加磁場可以明顯增強(qiáng)系統(tǒng)的總體剛度，且該影響隨著非局部參數(shù)α的增大而逐漸增強(qiáng)。例如，當(dāng)磁場強(qiáng)度由0 A/m增大到2×108A/m時，MFR在α=0時增大了167.8%，而在α=0.2處則增大了191.4%。同時通過與圖3(a)對比可以看出，外加磁場對阻尼頻率的影響隨著階次的增高而明顯減小。此外，松弛時間τd對實部的影響可忽略不計，而對固有頻率的虛部具有顯著影響。隨著松弛時間τd的增大，頻率比的虛部明顯增大，且該影響隨頻率階次的提高而有所增強(qiáng)。從圖2(b)和圖3(b)中可以看出，當(dāng)非局部參數(shù)α取某一特定值時，磁場強(qiáng)度對頻率比虛部的影響很小，可忽略不計，在小于該特定值時虛部隨著磁場強(qiáng)度的增大而增大，而在大于該特定值時則隨著Hx的增大而明顯減小。

(a) 一階頻率比實部

(b) 一階頻率比虛部圖2 一階頻率比MFR隨非局部參數(shù)α的變化曲線Fig.2 The variation of the first frequency ratios MFR with nonlocal parameter α

(a) 二階頻率比實部

(b) 二階頻率比虛部圖3 二階頻率比MFR隨非局部參數(shù)α的變化曲線Fig.3 The variation of the second frequency ratios MFR with nonlocal parameter α

不同錐度系數(shù)c*和松弛時間τd下變截面簡支-簡支納米梁前兩階頻率比MFR隨磁場強(qiáng)度Hx的變化曲線如圖4和圖5所示。從圖中可以看出，阻尼頻率隨著磁場強(qiáng)度Hx的增大明顯增大，且增大變截面納米梁的錐度系數(shù)可明顯提高磁場對阻尼頻率的影響。因此，在納米工程應(yīng)用中，為提高納米梁對磁場的敏感度，可通過增大變截面納米梁的錐度系數(shù)來實現(xiàn)。另一方面，磁場強(qiáng)度對一階固有頻率虛部的影響很小，幾乎可以忽略不計，而對二階固有頻率虛部則具有較大影響。從圖中可以看出，當(dāng)納米梁為變截面梁(即錐度系數(shù)c*≠0)時，不同松弛時間τd下二階頻率比MFR的虛部均隨著磁場強(qiáng)度Hx的增大而逐漸減小，且當(dāng)松弛時間較小(如τd=1×10-4ns)時，虛部隨著錐度系數(shù)c*的增大而逐漸增大，而當(dāng)松弛時間較大(如τd=2×10-4ns)時，虛部則隨著c*的增大而逐漸減小。需要注意的是，當(dāng)錐度系數(shù)c*=0時，二階頻率比MFR的虛部不隨磁場強(qiáng)度Hx的增大而變化，即定截面納米梁的二階固有頻率虛部不受外加磁場的影響。

(a) 一階頻率比實部

(b) 一階頻率比虛部圖4 一階頻率比MFR隨磁場強(qiáng)度Hx的變化曲線Fig.4 The variation of the first frequency ratios MFR with the strength of the magnetic field Hx

(a) 二階頻率比實部

(b) 二階頻率比虛部圖5 二階頻率比MFR隨磁場強(qiáng)度Hx的變化曲線Fig.5 The variation of the second frequency ratios MFR with the strength of the magnetic field Hx

4 結(jié) 論

本文針對黏彈性基體上變截面納米梁在受磁場影響下的振動特性問題開展了研究工作。根據(jù)非局部歐拉梁理論、Kelvin黏彈性地基模型和麥克斯韋關(guān)系式等，建立了用于分析該問題的振動控制方程。通過聯(lián)合傳遞函數(shù)法和攝動法對所建振動控制方程進(jìn)行求解，得到了變截面納米梁的固有頻率。在此基礎(chǔ)上，分析了磁場強(qiáng)度、非局部參數(shù)、松弛時間及錐度系數(shù)等對振動特性的影響。主要結(jié)論包括：

(1) 本文所建立的分析模型同時考慮了外部磁場、黏彈性基體、變截面、非局部效應(yīng)及納米梁的黏彈性特性等多種復(fù)雜因素影響。

(2) 納米梁的阻尼頻率隨著磁場強(qiáng)度的增大而明顯增大，且阻尼頻率對外部磁場的敏感度隨著非局部參數(shù)和錐度系數(shù)的增大而明顯增強(qiáng)。

(3) 松弛時間對阻尼頻率的影響可忽略不計，而對系統(tǒng)阻尼比具有較大影響，阻尼比隨著松弛時間的增大而明顯增大。

(4) 當(dāng)非局部參數(shù)取某一特定值時，磁場強(qiáng)度對阻尼比的影響很小，可忽略不計，在小于該特定值時阻尼比隨著磁場強(qiáng)度的增大而增大，而在大于該特定值時則隨著Hx的增大而明顯減小。

(5) 當(dāng)松弛時間較小時，阻尼比隨著錐度系數(shù)的增大而逐漸增大，而當(dāng)松弛時間較大時變化趨勢相反。此外，定截面納米梁的二階固有頻率虛部不受外加磁場的影響。

本文所建模型可以用于納米材料領(lǐng)用中錐形碳納米管及其他類似納米結(jié)構(gòu)的動力學(xué)問題分析中，為納米傳感器、納米復(fù)合材料及微納米機(jī)電系統(tǒng)等方面的應(yīng)用提供有益參考。

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