☉安徽省淮北市杜集區(qū)教育局教研室 朱啟州

☉安徽省淮北市杜集區(qū)實驗初級中學(xué) 李 麗

本文大膽嘗試在半徑為1的圓內(nèi)定義銳角三角函數(shù)，意在突出三角函數(shù)的幾何意義，突出數(shù)學(xué)核心思想方法——數(shù)形結(jié)合法，引導(dǎo)和啟發(fā)教師研究教村，基于核心素養(yǎng)進(jìn)行教學(xué).

現(xiàn)有教材大都以相似三角形為基礎(chǔ)，建立銳角三角函數(shù)的概念，教學(xué)中的難點是讓學(xué)生理解三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，與角所在的三角形的大小無關(guān).突破這一難點，常常需要花費較大的精力.為此，筆者大膽嘗試在半徑為1的圓內(nèi)定義銳角三角函數(shù)，從而繞過教學(xué)難點，又繼承了現(xiàn)有教材銳角三角函數(shù)知識體系，拓展了學(xué)生的思維空間.下面是筆者在這方面的一點實踐探索，供讀者參考.

一、利用半徑為1的圓定義銳角三角函數(shù)的教學(xué)課例與點評

1.創(chuàng)設(shè)情境，激趣引新

問題1：汽車免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽車性能的重要指標(biāo)之一，汽車的爬坡能力是指汽車在通常情況下滿載時所能爬越的最大坡度.怎樣描述坡面的傾斜程度呢？

師：如圖1和圖2，直線a是水平線，A1B1、A2B2分別表示兩個不同的坡面，哪個更陡？你是怎樣想的？

圖1

圖2

生1：圖2中的坡面A2B2更陡，因為它與水平面的夾角更大.

師：準(zhǔn)確地說，坡面與水平面所夾的銳角越大，坡面越陡，我們把這個角稱為坡角.還有哪些不同的方法，能說明后者更陡嗎？

生2：在坡面上走相同的路程，升的越高坡面越陡.

師：好的，在生活中，我們都這樣認(rèn)為.誰能用數(shù)學(xué)語言，把意思表達(dá)清楚嗎？

生3：如圖3和圖4，分別在A1B1、A2B2上取C1、C2，使A1C1=A2C2，作垂線段C1D1、C2D2，有C1D1

圖3

圖4

點評：這是滬科版教材中的一個引例，此例來自于生活，為學(xué)生熟悉并且與本課教學(xué)聯(lián)系密切.這種從日常生活中衡量坡面陡峭程度的問題出發(fā)，經(jīng)過數(shù)學(xué)化將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再借助數(shù)學(xué)的方法去解決問題.這種“用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)的思維去發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)的方法去處理問題”就是數(shù)學(xué)理性.

2.自然探究，由然而生

師：（追問）為什么要在坡面上取C1、C2？

生4：若是土坡，你能到地下的水平線上取點嗎？（理直氣壯）

師：值得肯定的是，這位同學(xué)還考慮到實際情況.也就是說，如果就是一面內(nèi)的兩個角，還是可以的，對嗎？（學(xué)生都認(rèn)可這個說法）

師：A1C1=A2C2都取1個單位長，行嗎？

生：當(dāng)然可以.（有部分學(xué)生只是默認(rèn)）

師：那老師再將兩個角疊在一起，頂點與始邊（始邊在水平線上）重合，如圖5，以A為圓心，單位1為半徑畫圓，分別交兩角的終邊于C1、C2，C1D1、C2D2分別是到水平線的垂線段，同學(xué)們觀察圖形，有什么發(fā)現(xiàn)？

點評：我們常常想，這一點是學(xué)生的真實想法嗎？是自然生成的嗎？這一點是不容置疑的，因為為了比較哪個坡更陡，只要比較在坡面上移動相同的距離時，上升的高度越高的坡越陡，于是用在坡面上移動一個單位的距離時最為方便.上述念頭就會由然而生.

生5：我發(fā)現(xiàn)C1D1

生6：我發(fā)現(xiàn)線段C1D1、C2D2的大小與坡角一樣，也能表示坡面的陡緩程度.

生7：我發(fā)現(xiàn)一個銳角只能畫出圖中的一條垂線段.

生8：我發(fā)現(xiàn)一個銳角與圖中的垂線段是一一對應(yīng)的.

圖5

圖6

師：大家觀察的真仔細(xì)，表達(dá)得也很好.如圖6，在半徑為1的圓中，銳角α始邊為ON，終邊與圓只有一個交點P，垂線段MP對角α而言是唯一的，對吧.所以我們把垂線段MP的長度叫角α的正弦，記作：sinα=MP.

把線段OM的長度叫角α的余弦，記作：cosα=OM.

點評：引入中教師將引例中的兩個角疊合在一起，從而讓兩個不相關(guān)聯(lián)的圖形產(chǎn)生了聯(lián)系，圖形由靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài)，有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推斷和理解三角函數(shù)的幾何意義.數(shù)學(xué)作為人類文化的一部分，它的知識、方法、思想、語言、精神等，是人類理性思維的根.

3.鞏固練習(xí)，升華認(rèn)識

問題2：利用半徑為1的圓，求30°角的正弦、余弦值.

師：5位同學(xué)到黑板前板演，其余同學(xué)在紙面上完成.

師：請5位同學(xué)分別給板演的5位同學(xué)批閱，并給出評價.然后將其中一位同學(xué)的解答用實物投影儀展示在屏幕上.

圖7

解：如圖7，在Rt△OMP中，∠POM=30°，OP=1，則由勾股定理，可得OM

問題3：一個15°的角，在放大100倍的放大鏡下看，它的正弦、余弦、正切值會變嗎？為什么？

生1：可能會變，因為放大后這個角就不是15°.

生2：不會變，因為放大后的圖形與原圖形相似，所以這個角還是15°.

師：一個說會變，一個說不會變，老師認(rèn)為說的都在理，那該聽誰的呢？

生3：不會變，畫圖就知道了，就當(dāng)黑板上角α就是15°，放大后只是邊畫長了，角不會變，PM、OM、NQ都只有一個，所以它的正弦、余弦值不會變.

師：說的太好了！剛才誰說的會變，你來反駁幾句.

生1：是我錯了，當(dāng)時我沒想清楚，心想一放大，角說不定會怎樣變.

師：數(shù)學(xué)是最講誠信的，真理會越辯越明.

點評：練習(xí)的重要目的是為了診斷與反饋，進(jìn)而進(jìn)行必要的矯正與深化，達(dá)到“生飯做熟，熟飯做透”的目的.令人意想不到的是學(xué)生的作為溢出教師的教學(xué)預(yù)設(shè)，這就是寶貴課堂生成資源，教師因勢利導(dǎo)地讓學(xué)生爭辯，潛移默化地進(jìn)行了社會主義核心價值觀的教育.

4.引伸拓展，出井觀天

師：對銳角α，如圖8，sinα=MP，cosα=OM.

通過觀察，你能發(fā)現(xiàn)銳角α的三角函數(shù)哪些結(jié)論？并簡單說明理由.

生1：很顯然sinα、cosα都是正數(shù).

圖8

生2：我發(fā)現(xiàn)0

生3：我發(fā)現(xiàn)1OP，于是sinα+cosα>1；而sinα+cosα<2是顯然的.

生4：我發(fā)現(xiàn)sin2α+cos2α=1，在Rt△OMP中，OM2+MP2=OP2，而OP=1，所以sin2α+cos2α=1.

師：同學(xué)們真能干，發(fā)現(xiàn)這么多結(jié)論，這些都是同角三角函數(shù)關(guān)系.

師：如果銳角α逐漸增大，那么sinα、cosα、tanα是怎樣變化的？

生5：sinα隨銳角α的增大而增大；cosα隨銳角α的增大而減小.至于為什么，觀察圖形是一目了然的.

師：同學(xué)們觀察的真仔細(xì)，有些連老師都沒想到，你們真了不起.

點評：從三角函數(shù)的幾何意義出發(fā)，借助數(shù)形結(jié)合，很容易理解銳角三角函數(shù)的一些重要性質(zhì)，更進(jìn)一步理解三角函數(shù)的意義，這種注重精確、定量、邏輯推理的思維方式就是數(shù)學(xué)理性.

師：時間過得真快，又到快下課的時間了.想一想，這節(jié)課你學(xué)到了什么？有哪些感受？你們還有什么疑問或沒明白的地方，大膽說出來.

生1：我知道銳角的正弦、余弦意義，了解到它們的一些性質(zhì)，會計算一些特殊角的正弦、余弦值等.

生2：我知道斜坡的銳角的正弦、余弦與坡角一樣，也能反映坡面的陡緩程度；還知道銳角的正弦、余弦值只與角的大小有關(guān).

生3：課前我依課本預(yù)習(xí)過，不是這樣說的，但都是殊途同歸，這節(jié)課讓我長見識了.

師：真是一個愛學(xué)習(xí)的好孩子，預(yù)習(xí)是一個好習(xí)慣.還有哪些同學(xué)也預(yù)習(xí)了？（30多位同學(xué)都舉起了手）

師：大家談的都很實際，說明我們都是有思想的人.老師想讓大家課后把本課所學(xué)的知識用思維導(dǎo)圖的形式表達(dá)出來，好嗎？看誰畫的更清晰、明了、有價值.

點評：數(shù)學(xué)應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，引導(dǎo)學(xué)生自主思考、充分交流、充分發(fā)表見解，教師充分發(fā)揮引領(lǐng)作用，將師生之間的合作這一寶貴資源用到極致，學(xué)生在思想交流與碰撞中收獲自信與快樂，學(xué)生臉上洋溢著成功的喜悅.

二、結(jié)束語

有詩云：“好雨知時節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生.隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲.”教師通過情境的創(chuàng)設(shè)，誘發(fā)學(xué)生思考沖動，在生生、師生交流中激發(fā)出智慧火花，在教師的引領(lǐng)下，通過學(xué)生積極運用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理性思考，在思考中學(xué)生不斷獲得新的認(rèn)識，新的學(xué)習(xí)成果，這就是真實的數(shù)學(xué)課堂.話又說回來，不是每節(jié)課都能實現(xiàn)同樣的結(jié)果，也許下節(jié)課面對不一樣的學(xué)生，不會產(chǎn)生要借助單位圓定義三角函數(shù)，而會產(chǎn)生不一樣的念頭，不得而知.正所謂：一生一世界，一課一乾坤.

1.吳之季，蘇淳.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級上冊）［J］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2012.

2.崔群，孫朝仁.初中數(shù)學(xué)實驗實物類工具開發(fā)的基本原則［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（9）.

3.朱啟州.一堂數(shù)學(xué)“翻轉(zhuǎn)”復(fù)習(xí)課引發(fā)的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（9）.H