ITRF中GNSS/SLR并址站歸心基線的“一步解”

2018-02-27 02:20馬下平

測繪學(xué)報(bào) 2018年1期

馬下平

西安科技大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西西安 710054

ITRF(international terrestrial reference frame)的解算是綜合應(yīng)用全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)GNSS、甚長基線干涉測量VLBI(very long baseline interferometry)、衛(wèi)星激光測距SLR(satellite laser ranging)和多普勒定軌與無線電定位技術(shù)DORIS(doppler orbit determination and radio positioning integrated on satellite)4種空間大地測量技術(shù)的觀測數(shù)據(jù)和并址站歸心基線[1-4]。并址站歸心基線作為聯(lián)系ITRF中各觀測技術(shù)的主要約束條件，已成為限制ITRF解算精度的關(guān)鍵因素之一。即使各觀測技術(shù)的數(shù)據(jù)質(zhì)量有了很大的提高，如果歸心基線的精度沒有相應(yīng)地提高，ITRF解的精度也會受到一定程度的影響[5-6]。

并址站歸心測量的實(shí)質(zhì)就是獲取ITRF中各觀測設(shè)備參考點(diǎn)RP(reference point)的坐標(biāo)及其協(xié)方差陣[7-9]。SLR望遠(yuǎn)鏡的RP為繞垂直軸p的旋轉(zhuǎn)中心與水平軸s和垂直軸p之間的最短距離的交點(diǎn)，如圖1所示。GNSS的RP為其接收機(jī)天線的幾何中心(如圖2所示)，可以直接測定。而SLR望遠(yuǎn)鏡的RP為其望遠(yuǎn)鏡的旋轉(zhuǎn)中心，并非一個可以直接觀測到的實(shí)體點(diǎn)，因此必須設(shè)法以間接的方式得到。

圖1 SLR望遠(yuǎn)鏡的參考點(diǎn)RP[9]Fig.1 RP of SLR telescope

圖2 GNSS天線的參考點(diǎn)ARP[7]Fig.2 ARP of GNSS antenna

對于SLR望遠(yuǎn)鏡參考點(diǎn)的測定，通常是先在SLR望遠(yuǎn)鏡周圍布設(shè)控制點(diǎn)，采用常規(guī)三維控制測量精確測定各控制點(diǎn)坐標(biāo)，通過極坐標(biāo)法或前方交會測定固定在SLR望遠(yuǎn)鏡上標(biāo)志點(diǎn)的坐標(biāo)[10-13]，也有在并址站設(shè)備上安裝GNSS天線，通過靜態(tài)或動態(tài)技術(shù)獲取標(biāo)志點(diǎn)的坐標(biāo)[14-15]，以標(biāo)志點(diǎn)坐標(biāo)為虛擬觀測量解算SLR望遠(yuǎn)鏡參考點(diǎn)的坐標(biāo)及其方差陣，目前解算方法主要有兩種：分步解算方式和構(gòu)建坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的方式。分步解法主要有：①將標(biāo)志點(diǎn)的三維空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為站心坐標(biāo)，通過曲線擬合求出繞垂直軸和繞水平軸旋轉(zhuǎn)中心的站心坐標(biāo)，再將旋轉(zhuǎn)中心的站心坐標(biāo)逆變換得到三維空間直角坐標(biāo)[10-12,16-18]；②以標(biāo)志點(diǎn)三維空間直角坐標(biāo)作為虛擬觀測量，建立兩類約束條件獲取參考的位置，具體可參考文獻(xiàn)[13]；③為了提高解算精度，可引入額外的約束條件，如距離相等條件、旋轉(zhuǎn)平面一致性條件、共線性條件、半徑相等條件、旋轉(zhuǎn)中心距離相等條件、旋轉(zhuǎn)軸正交性條件、軸偏差相等[7,19-20]；④利用參考點(diǎn)與繞垂直軸和水平軸旋轉(zhuǎn)中心之間的空間向量關(guān)系，獲取參考點(diǎn)的位置，間接得到兩軸之間的偏差[21]。

除分步解法外，目前最新的解算方法是通過構(gòu)建包括參考點(diǎn)、軸偏差等未知參數(shù)的并址站設(shè)備的獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)與地面坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換模型間接得到并址站參考點(diǎn)位置[15,20,22,24]，但這種方法同樣是在獨(dú)立坐標(biāo)系中進(jìn)行分步解算，而且解算時(shí)需要知道一些參數(shù)的值(繞垂直軸和水平軸的旋轉(zhuǎn)角)等。

總結(jié)以上文獻(xiàn)，仍存在著以下方面的特點(diǎn)與不足：①將觀測量和確定參考點(diǎn)和兩軸偏差分開計(jì)算，存在站心系和空間直角坐標(biāo)系多次換算的問題，造成最終結(jié)果的不準(zhǔn)確和最終精度的損失；②忽略或是未考慮觀測標(biāo)志與參考點(diǎn)或幾何設(shè)備所應(yīng)滿足的幾何約束條件，如忽略兩軸偏差的影響，將會造成結(jié)果0.5 mm的精度損失[19]；③雖然可以建立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型獲取參考點(diǎn)的位置，但同樣需要進(jìn)行分步解算，而且事先需要提供一些參數(shù)的值。

不同的文獻(xiàn)有著不同的解算方法，不同的方法所得出結(jié)果各有不同，因此本文力圖在一個坐標(biāo)框架(ITRF)中，將SLR望遠(yuǎn)鏡的參考點(diǎn)、兩軸偏差等參數(shù)視為未知參數(shù)，聯(lián)合GNSS基線和地面網(wǎng)觀測數(shù)據(jù)，引入滿足條件的各種幾何約束條件方程，提出并址站歸心基線的“一步解”?！耙徊浇狻苯?jīng)平差后可直接得到并址站歸心基線及其方差協(xié)方差陣。

1 “一步解”的數(shù)學(xué)模型

1.1 地面觀測量和GNSS基線網(wǎng)的觀測方程

1.1.1 地面觀測量的觀測方程

地面觀測量一般是指經(jīng)全站儀通過極坐標(biāo)法、前方交會等方法測量的水平方向、垂直角和邊長。通過建立站心坐標(biāo)可以實(shí)現(xiàn)與空間直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，可以將地面觀測量歸算至空間直角坐標(biāo)系中。

(1)

(2)

式中，(Bi,Li)為測站i的緯度和經(jīng)度。

由極坐標(biāo)和站心坐標(biāo)之間的關(guān)系可以得到測站i至測點(diǎn)j的水平方向αij、垂直角βij和邊長Sij在站心系中的觀測方程為

(3)

(4)

(5)

式中，(εαij,εβij,εSij)為αij、βij和Sij的觀測誤差；gi為測站i的定向角；Ka為測站的大氣折光；Ra為地球曲率。

(6)

(7)

式中，δKa為大氣折光參數(shù)的改正數(shù)。其中

(8)

1.1.2GNSS基線網(wǎng)向量的觀測方程

經(jīng)GNSS軟件解算后的基線網(wǎng)向量視為觀測量，則GNSS基線ij的觀測方程為

(9)

式(6)—式(9)以向量形式表示的觀測方程為

(10)

式中，x1為4類觀測方程中所包括的未知參數(shù)向量改正數(shù)；A為4類觀測方程系數(shù)陣組成的系數(shù)向量，l為4類觀測方程常數(shù)組成的向量。

1.2 約束條件

1.2.1 觀測標(biāo)志所滿足的條件

觀測標(biāo)志繞某一旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，可構(gòu)成一個球面和平面方程。當(dāng)觀測標(biāo)志k繞垂直軸p旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的平面法向量和球面半徑分別為np和rp，同樣繞水平軸s旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的平面法向量和球面半徑分別為ns和rs，則得到的兩組平面和球面方程分別為

(11)

(12)

式中，xk為觀測標(biāo)志k的坐標(biāo)向量；xp和xs為垂直軸p和水平軸s旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)向量。

1.2.2 距離和半徑相等條件

在旋轉(zhuǎn)過程中，安裝在SLR望遠(yuǎn)鏡上的兩個觀測標(biāo)志之間的距離是保持不變的。如：當(dāng)觀測標(biāo)志1和2繞旋轉(zhuǎn)軸第k1和k2次旋轉(zhuǎn)時(shí)分別構(gòu)成的距離相等

(13)

同樣，同一觀測標(biāo)志繞同一旋轉(zhuǎn)軸多次旋轉(zhuǎn)時(shí)具有相同的中心和半徑，如：觀測標(biāo)志1和2繞垂直軸p第k1次和k2次旋轉(zhuǎn)時(shí)，構(gòu)成的球面半徑相等。則有

(14)

同樣，繞水平軸s進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)，得到

(15)

1.2.3 法向量一致性條件

不同的觀測標(biāo)志繞同一旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)構(gòu)成的平面法向量相等。如標(biāo)志1和2繞垂直軸p構(gòu)成的法向量np1、np2和水平軸s構(gòu)成的法向量ns1、ns2分別相等，且為單位向量

(16)

(17)

同樣，同一標(biāo)志繞同一旋轉(zhuǎn)軸多次旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的法向量也相等。如：繞p軸和s軸進(jìn)行第k1次和k2次旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的法向量分別相等。

(18)

(19)

1.2.4 參考點(diǎn)、軸偏差和旋轉(zhuǎn)中心之間的約束條件

如圖3所示，x0為參考點(diǎn)RP的坐標(biāo)向量，xv為RP至s軸的最短距離與s軸交點(diǎn)的坐標(biāo)向量，d為兩軸的偏差。當(dāng)繞垂直軸p旋轉(zhuǎn)時(shí)可構(gòu)成線性條件為

xp=x0+λpnp

(20)

同樣，繞水平軸s旋轉(zhuǎn)時(shí)也可構(gòu)成線性條件為

xv=xs+λsns

(21)

式中，λp和λs為垂直軸p和水平軸s的比例參數(shù)。

圖3 參考點(diǎn)與兩軸偏差之間的關(guān)系Fig.3 The relationship between the reference point and two axes offsets

垂直軸p和水平軸s之間的最短距離必正交于兩軸，因此，兩軸之間的法向量n同時(shí)垂直于p和s，得出

n=np×ns

(22)

由于x0和xv具有同一個法向量，得出線性關(guān)系

x0=xv+λn

(23)

同樣，兩軸的偏差向量d為參考點(diǎn)x0和投影點(diǎn)的xv的關(guān)系為

d=x0-xv

(24)

式(13)—(21)和式(23)—(24)經(jīng)過線性化后，這些約束條件可以表示為

(25)

在觀測方程式(10)中引入約束方程式(25)，經(jīng)過最小二乘平差后可得到參考點(diǎn)的坐標(biāo)及其方差陣。聯(lián)立式(10)和式(25)，得

(26)

式(26)中涉及GNSS基線觀測量、水平方向和垂直角、邊長共3類觀測量，對于不同類觀測量采用經(jīng)驗(yàn)公式定權(quán)是不夠準(zhǔn)確的。為了提高這3類觀測量的方差協(xié)方差Σh估計(jì)的精度，本文采用赫爾默特方差分量驗(yàn)后估計(jì)定權(quán)法。具體的計(jì)算公式和步驟可參考廣義測量平差的內(nèi)容。

根據(jù)附有約束條件的間接平差可得法方程為

(27)

(28)

(29)

(30)

由于每一個SLR望遠(yuǎn)鏡周圍附近都有一個IGS站，因此可利用IGS站的ITRF2014成果作為基準(zhǔn)約束，可將式(27)的平差成果計(jì)算至ITRF2014中。

2 成果計(jì)算與分析

本文采用“一步解”處理了2011年筆者實(shí)際觀測的“陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)”北京(BJFS-SLR)、昆明(KUNM-SLR)和西安(XIAA-SLR)3個并址站歸心測量數(shù)據(jù)，獲取了3個并址站的歸心基線及其協(xié)方差陣，SLR并址站外業(yè)觀測方案具體可參考文獻(xiàn)[12—13]。GNSS基線網(wǎng)和地面觀測量的定權(quán)采用方差分量估計(jì)法，具體可參考文獻(xiàn)[25]。計(jì)算步驟如下：

首先用GAMIT軟件解算出SLR望遠(yuǎn)鏡周圍GNSS強(qiáng)制觀測墩構(gòu)成控制網(wǎng)的基線向量；其次列出GNSS網(wǎng)基線向量、地面三維觀測量的觀測方程，再引入本文總結(jié)的多類約束條件方程，利用式(28)和式(29)解算出“陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)”3個SLR并址站的歸心基線及其協(xié)方差矩陣。解算結(jié)果如下：

表1給出3個并址站的歸心基線及其中誤差；表2、表3和表4為3個并址站歸心基線的方差協(xié)方差陣；表5給出與文獻(xiàn)[12]的比較結(jié)果；表6 給出與ITRF2014的比較結(jié)果；表7和表8分別給出兩個并址站的兩軸偏差及其中誤差。

表1 3個并址站的歸心基線及其中誤差

注：BJFS和KUNM為SLR站并址的IGS站。XIAA為“陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)”站點(diǎn)。

表2 BJFS站歸心基線的方差協(xié)方差陣

表3 KUNM站歸心基線的方差協(xié)方差陣

表4 XIAA站歸心基線的方差協(xié)方差陣

表5 “一步解”和文獻(xiàn)[12]結(jié)果的差值

Tab.5 Differences between one step solution and Gong (2013)

表6 3個并址站歸心基線與ITRF2014的比較

表7 3個SLR并址站兩軸之間的偏差

表8 3個SLR并址站兩軸之間偏差的中誤差

由以上的結(jié)果可知：

(1) 3個并址站歸心基線中誤差基本位于2 mm左右，其中誤差最大為2.1 mm。

(2) 本文“一步解”得出的歸心基線與Gong的結(jié)果相比，基線向量的差值分量小于2 mm，差值最大為1.7 mm。出現(xiàn)差值的主要原因是Gong采用分步解法，而且未考慮兩軸偏差、觀測標(biāo)志與參考點(diǎn)滿足的各種幾何條件，因此從理論上本文的算法更加嚴(yán)密，結(jié)果更加可靠。

(3) 與ITRF2014參考值相比，差值普遍較大，其中差值最大為32.3 mm。主要原因在于IFRF2014解算時(shí)未考慮GNSS、VLBI、SLR、DORIS這4種技術(shù)之間的系統(tǒng)偏差，導(dǎo)致本文測定的并址站歸心基線與ITRF2014采用值的差異較大。

(4) 3個SLR望遠(yuǎn)鏡兩軸之間的偏差最大為3.5 mm，其中中誤差最大不超過2.0 mm。

3 結(jié) 論

針對已有的并址站歸心基線解算中需要分步解算、涉及多次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和未充分考慮多種約束條件等問題，本文提出了并址站歸心基線的“一步解”。“一步解”是將SLR望遠(yuǎn)鏡參考點(diǎn)和軸偏差引入至約束方程中，按照附有約束條件的間接平差直接獲取歸心基線及其協(xié)方差陣，理論嚴(yán)密、數(shù)學(xué)模型簡單、易于程序設(shè)計(jì)，經(jīng)與已有算法的結(jié)果相比，差值基本在2 mm左右；利用北京、昆明和西安SLR望遠(yuǎn)鏡的實(shí)測數(shù)據(jù)，計(jì)算出兩軸的偏差，偏差分別為3.8、0.7、3.6 mm，本文的解算方法和結(jié)果對ITRF解算具有一定的參考價(jià)值。

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