路振勇, 侯 磊, 侯升亮, 陳予恕, 孫傳宗

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,哈爾濱 150001;2.山東師范大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院,濟(jì)南 250014)

轉(zhuǎn)軸裂紋故障是航空發(fā)動機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)等大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械的常見故障之一[1]，裂紋的出現(xiàn)對系統(tǒng)的危害極大。二十世紀(jì)七十年代，Gasch[2]提出鉸鏈彈簧模型來研究簡單實(shí)心軸裂紋轉(zhuǎn)子的振動特性，Mayes等[3]研究裂紋轉(zhuǎn)子的剛度模型時提出用余弦函數(shù)來模擬裂紋的開閉效應(yīng)。迄今國內(nèi)外學(xué)者圍繞著轉(zhuǎn)軸裂紋的剛度模型、裂紋的檢測診斷識別、裂紋轉(zhuǎn)子的非線性動力學(xué)特性、裂紋轉(zhuǎn)子的實(shí)驗(yàn)研究等方向開展了大量工作。林言麗等[4]研究了裂紋轉(zhuǎn)子的剛度問題，并提出了能更好地反映裂紋轉(zhuǎn)子的剛度變化的應(yīng)力強(qiáng)度因子為零法。王仲生等[5]研究了裂紋信號的提取、診斷和識別問題，指出倍頻成分是裂紋轉(zhuǎn)子的常伴頻率；王國彪等[6]從小波有限元裂紋動態(tài)定量診斷等方面對裂紋轉(zhuǎn)子的研究進(jìn)行了全面綜述。程禮等[7-8]研究了裂紋對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的影響，指出裂紋會減小系統(tǒng)的剛度降低臨界轉(zhuǎn)速，同時會激起亞臨界轉(zhuǎn)速的共振。文獻(xiàn)[9-10]研究了非線性油膜力支承下裂紋轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性、混沌等現(xiàn)象，Han等[11]研究了雙裂紋轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性問題，Hou等[12-14]研究了機(jī)動飛行環(huán)境下裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性，于海等[15]研究了高維裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)降維問題。

軸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究關(guān)鍵在于剛度的求解。大部分研究對象都是軸裂紋位于圓盤根部的Jeffcott模型，忽略陀螺效應(yīng)，從斷裂力學(xué)角度出發(fā)，求解裂紋局部附加柔度，進(jìn)而求解裂紋轉(zhuǎn)子剛度。但該方法模型過于簡單，無法研究裂紋位于不同位置的情況。Al-Shudeifat等[16-19]認(rèn)為裂紋隨著系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)會開閉，考慮了較為精確的呼吸開關(guān)函數(shù)，建立了求解裂紋剛度的有限元模型；然后考慮重力占優(yōu)及不平衡激勵，對實(shí)心軸橫向裂紋轉(zhuǎn)子的有限元建模、動力學(xué)求解分析及裂紋實(shí)驗(yàn)等方面做了大量工作。這些有限元研究方法適用于裂紋位于任意位置的情況，但是其對象是實(shí)心軸裂紋轉(zhuǎn)子，軸段采用Rayleigh梁-軸模型。

為了提高效率，航空發(fā)動機(jī)一般采用雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，高壓轉(zhuǎn)子為相對短粗型的空心軸轉(zhuǎn)子。但目前為止，人們對空心軸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究不多，文獻(xiàn)[20-21]對空心軸常開裂紋轉(zhuǎn)子和雙轉(zhuǎn)子裂紋系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行了分析。本文以某航空發(fā)動機(jī)高壓轉(zhuǎn)子為研究對象，建立了含有橫向弓形呼吸裂紋的單跨雙盤有限元模型，推導(dǎo)了空心Timoshenko梁-軸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度矩陣，基于有限元法建立了系統(tǒng)的運(yùn)動方程，采用諧波平衡法分析了系統(tǒng)的非線性響應(yīng)等動力學(xué)特性，并用Newmark-β方法進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證。

1 空心軸呼吸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模

1.1 航空發(fā)動機(jī)高壓轉(zhuǎn)子-空心軸裂紋系統(tǒng)模型

某航空發(fā)動機(jī)高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，由多級壓氣機(jī)輪盤和一級渦輪輪盤、空心轉(zhuǎn)軸和支承單元組成；轉(zhuǎn)子為剛性連接，支承在兩個支點(diǎn)上；轉(zhuǎn)子支承形式采用1-0-1支承方案。假定在空心轉(zhuǎn)軸某位置存在一橫向裂紋，系統(tǒng)的有限元動力學(xué)模型如圖1所示，模型共分成13個節(jié)點(diǎn)、12個軸段單元，集中后的壓氣機(jī)輪盤位于節(jié)點(diǎn)4，渦輪輪盤位于節(jié)點(diǎn)10。

圖1 裂紋轉(zhuǎn)子簡化系統(tǒng)有限元模型

1.2 空心軸裂紋單元剛度矩陣推導(dǎo)

對于大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)，裂紋轉(zhuǎn)子在重力占優(yōu)等情況下，裂紋截面是時而張開時而閉合的“呼吸模式”。轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)過程中，裂紋面隨轉(zhuǎn)角的變化而周期性開閉，用開關(guān)函數(shù)來模擬裂紋的張開和閉合規(guī)律，本文中選取文獻(xiàn)分析中常用的余弦模型

(1)

式中:Ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的速度，開閉規(guī)律見圖2。

圖2 裂紋截面余弦開閉規(guī)律圖

裂紋截面圖及坐標(biāo)如圖3所示，對于空心軸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，裂紋截面分為裂紋貫穿內(nèi)環(huán)和裂紋非貫穿內(nèi)環(huán)兩種情況。

(a) 未貫穿

(b) 貫穿情況

圖3中陰影部分表示未開裂部分。o-xy為固定坐標(biāo)系，ox和oy分別為垂直和平行于裂紋方向。o為不含裂紋時截面的中心，c為出現(xiàn)裂紋后截面的中心，e=oc為中心位置的變化量，h為裂紋的深度，φ為裂紋初始位置角(本文取0)，Ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)速度，R為外半徑，r為內(nèi)半徑，α為外圓環(huán)開裂時的裂紋角，α1為內(nèi)圓環(huán)開裂時的裂紋角。

本文中假定裂紋截面對固定坐標(biāo)軸的截面慣性矩隨著旋轉(zhuǎn)角度的變化不變，即認(rèn)為當(dāng)裂紋深度一定時，裂紋截面兩個方向的慣性矩也為定值，但裂紋截面的形心(質(zhì)心)會因?yàn)榱鸭y的產(chǎn)生而變化。裂紋部分對坐標(biāo)軸ox和oy的慣性矩、裂紋單元剩余面積Ace、形心距離e及裂紋角α為

(2)

Ace=R2(π-cos-1(1-μ)+(1-μ)γ)-πr2

(3)

(4)

α=2arcos(1-μ)

(5)

除去裂紋部分，剩余部分對過新的形心軸cx和cy的慣性矩為

I=π(R4/4-r4/4)

(6)

(7)

對于裂紋貫穿內(nèi)壁情況有

(8)

Ace=R2(π-cos-1(1-μ)+(1-μ)γ)-

(9)

(10)

α1=2arcos((R-h)/r)

(11)

當(dāng)R=2，r=1時，圖4給出了無量綱裂紋深度從0變化到半徑深度時I1、I2的變化量?？芍S著裂紋加深，兩個方向上慣性矩減小量均增加，且增加量不相同。

圖4 慣性矩減小量隨裂紋深度的變化

Fig.4 The reduction in the moment of inertias of the cracked element versusμ

(12)

對于裂紋單元，新的剛度矩陣可寫成

(13)

式中:kcp為無裂紋時單元cp的剛度矩陣，代入開關(guān)函數(shù)，我們有裂紋單元的剛度矩陣隨著旋轉(zhuǎn)角度的變化為

(14)

1.3 滾動軸承及支承組件線性化模型

根據(jù)航空發(fā)動機(jī)手冊[22]，滾動軸承及支承組合系統(tǒng)可視為兩個串聯(lián)的彈簧，如圖5所示。

圖5 軸承及支承組件剛度計(jì)算示意圖

圖5中，1為支承組件，2為滾動軸承，滾動軸承和支承組件的組合剛度為

(15)

式中:k為軸承與支承組合件的線性化組合剛度;k1為支承組件的線性化剛度;k2為滾動軸承的線性化剛度。滾動軸承及支承組件的阻尼可以同理得到。

1.4 系統(tǒng)動力學(xué)方程

根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學(xué)有限元法[23]，考慮呼吸裂紋因素，

裂紋轉(zhuǎn)子的動力學(xué)微分方程為

F1cos(Ωt)+F2sin(Ωt)+Fg

(16)

代入裂紋開關(guān)函數(shù)式(1)可得

F1cos(Ωt)+F2sin(Ωt)+Fg

(17)

2 方程求解

根據(jù)諧波平衡法[24]，設(shè)方程式(17)的解為

(18)

式中:k=1,2,…,n為諧波次數(shù)，本文中取n=4。代入系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式(17)可得

(19)

確定系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)后，根據(jù)式(19)求得A0、Ak、Bk(k=1,2,…,n)，即可求得系統(tǒng)各點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，繼而分析空心軸呼吸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

根據(jù)式(19)，計(jì)算了含有橫向空心軸呼吸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性。軸段采用Timoshenko梁-空心軸，裂紋轉(zhuǎn)子有限元模型是不對稱的系統(tǒng)，集中簡化后的壓氣機(jī)圓盤約為渦輪圓盤質(zhì)量的1.83倍；僅在圓盤①處有不平衡量，空心軸內(nèi)外半徑比r/R≈0.97。計(jì)算時取四次諧波分量。下述情況取不平衡偏角和不平衡量為β=0，med=5×10-2kg·m，支承阻尼為1 000 Ns/m，裂紋初始位置角φ=0，由計(jì)算可得，對于無裂紋的線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，一、二階同向臨界轉(zhuǎn)速為ωf1=912.9 rad/s和ωf2=2 054.5 rad/s，一、二階反向臨界轉(zhuǎn)速為ωb1=850.8 rad/s和ωb2=1 785.7 rad/s。

圖6給出了裂紋位于單元7、節(jié)點(diǎn)4處的無量綱裂紋深度-旋轉(zhuǎn)速度-幅值三維瀑布圖，圖7給出了μ=0，μ=0.5，μ=0.9三種情況下節(jié)點(diǎn)4處亞臨界轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的幅值-轉(zhuǎn)速圖。分析圖6可知，隨著裂紋的產(chǎn)生及擴(kuò)展，系統(tǒng)在一階臨界轉(zhuǎn)速(同向和反向)處以及臨界轉(zhuǎn)速的1/2，1/3，1/4附近均會出現(xiàn)峰值，一階臨界轉(zhuǎn)速大小隨著裂紋深度增加略有減小；結(jié)合圖7可知，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1/2，1/3，1/4臨界轉(zhuǎn)速附近的響應(yīng)峰值隨著裂紋的出現(xiàn)及加深而明顯增加?？傊鸭y出現(xiàn)后，幅頻圖中臨界轉(zhuǎn)速和1/n(n=2，3，4)倍臨界轉(zhuǎn)速附近會出現(xiàn)峰值，這是裂紋存在的一個動力學(xué)特征。

圖6 無量綱裂紋深度-旋轉(zhuǎn)速度-幅值三維瀑布圖

Fig.6 Waterfall of the shaft for non-dimensional crack depthμ, rotational speedΩand vibration amplitude

圖7 不同無量裂紋深度下轉(zhuǎn)速-幅值圖

Fig.7 Vibration amplitudes of node 5 for the subcritical rotational speedΩwith different values ofμ

圖8給出了裂紋存在于不同位置(單元1、單元3和單元7)，μ=0.75時節(jié)點(diǎn)4處亞臨界轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的幅值-轉(zhuǎn)速圖。分析圖8可知，裂紋位于單元1支承端附近時，1/n(n=2，3，4)倍臨界轉(zhuǎn)速附近的幅值較小，裂紋信號較弱；裂紋位于單元3靠近壓氣機(jī)輪盤時，1/n(n=2，3，4)倍臨界轉(zhuǎn)速處峰值明顯出現(xiàn)；裂紋位于單元7在軸段中間時，1/n(n=2，3，4)倍臨界轉(zhuǎn)速處峰值明顯增大?？芍?，軸段中間位置出現(xiàn)裂紋時對系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)影響較大。Al-shude fat等的研究結(jié)果也印證了這一規(guī)律。

圖8 不同裂紋位置下轉(zhuǎn)速-幅值圖

Fig.8 Vibration amplitudes of node 5 for the subcritical rotational speedΩwith different positions of the crackcp

圖9給出了裂紋位于單元7，μ=0.7時節(jié)點(diǎn)4處升速過程中的三維頻譜圖。分析圖9，在升速過程中，系統(tǒng)響應(yīng)成分以基頻為主，同時出現(xiàn)明顯的2X、3X、4X倍頻成分，尤其以2X、3X成分為顯著特征。

圖9 三維頻譜圖

4 數(shù)值驗(yàn)證

本節(jié)用Newmark-β計(jì)算方法計(jì)算方程式(17)的數(shù)值解響應(yīng)，與諧波平衡法的求解結(jié)果進(jìn)行對比分析。圖10給出了裂紋位于單元7、μ=0.7、Ω=600 rad/s時節(jié)點(diǎn)4處的響應(yīng)結(jié)果對比圖。分析可知，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在Ω=600 rad/s非共振轉(zhuǎn)速下，應(yīng)用諧波平衡法取4次諧波得到的響應(yīng)和應(yīng)用Newmark-β數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果完全吻合。此外，非共振轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的軸心軌跡是一個橢圓，頻譜圖中成分以基頻成分1X為主，倍頻成分出現(xiàn)，但不占優(yōu)。

圖11給出了裂紋位于單元7、μ=0.7、Ω=425 rad/s≈1/2ωb1時節(jié)點(diǎn)4處的響應(yīng)結(jié)果對比圖。分析可知，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1/2臨界轉(zhuǎn)速附近Ω=425 rad/s時(此時發(fā)生2階超諧共振)，應(yīng)用諧波平衡法取4次諧波得到的響應(yīng)與應(yīng)用Newmark-β數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果基本一致。同時，系統(tǒng)的軸心軌跡表現(xiàn)為2個疊加的橢圓，頻譜圖中成分表現(xiàn)為二倍頻成分2X占優(yōu)，基頻成分1X次之，三倍頻成分3X和四倍頻成分4X相對較小。

(a) 水平方向時間歷程

(b) 豎直方向時間歷程

(c) 軸心軌跡圖

(d) 水平方向頻譜圖

(a) 水平方向時間歷程

(b) 豎直方向時間歷程

(c) 軸心軌跡圖

(d) 水平方向頻譜圖

5 結(jié) 論

本文針對某航空發(fā)動機(jī)高壓轉(zhuǎn)子-空心軸裂紋系統(tǒng)，研究了空心軸呼吸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性，建立了含有橫向弓形呼吸裂紋的單跨雙盤有限元模型，推導(dǎo)了空心Timoshenko梁-軸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度矩陣，基于有限元法建立了系統(tǒng)的運(yùn)動方程，并用諧波平衡法對方程進(jìn)行求解，分析了系統(tǒng)的非線性響應(yīng)等動力學(xué)特性，最后用Newmark-β方法進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證，結(jié)論如下：

(1) 分析了裂紋位置和裂紋深度對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，結(jié)果表明，裂紋導(dǎo)致系統(tǒng)正反向臨界轉(zhuǎn)速和1/n(n=2，3，4)臨界轉(zhuǎn)速附近出現(xiàn)共振峰值；同時裂紋“削弱”了系統(tǒng)剛度，一階臨界轉(zhuǎn)速略有降低；位于支承端附近的淺裂紋對系統(tǒng)的影響相對較小，而位于跨中的深裂紋對系統(tǒng)的影響相對較大。

(2) 計(jì)算了系統(tǒng)在升速過程中的三維頻譜圖，結(jié)果表明二倍頻、三倍頻、四倍頻成分明顯；同時在1/n(n=2，3，4)倍臨界轉(zhuǎn)速附近的非線性振動響應(yīng)表明，系統(tǒng)會發(fā)生超諧共振現(xiàn)象，頻率成分以對應(yīng)共振超諧波階數(shù)的倍頻為主，軸心軌跡是疊加的橢圓。

(3) 本文建立的空心軸裂紋模型適用于空心軸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)研究，為航空發(fā)動機(jī)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性振動的理論分析與數(shù)值模擬提供了理論依據(jù)。

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