浙江省紹興市諸暨市學(xué)勉中學(xué) 樓旭慧

普通高中數(shù)學(xué)的六個核心素養(yǎng)，是指數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些核心素養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是對剛進(jìn)入高中的高一學(xué)生而言。

函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)工具，是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，用函數(shù)理解方程和不等式是數(shù)學(xué)的基本思想方法，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要作用。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“用函數(shù)理解方程和不等式是數(shù)學(xué)的基本思想方法，幫助學(xué)生用一元二次函數(shù)認(rèn)識一元二次方程和一元二次不等式，理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的整體性?！?近年來，高考對函數(shù)的考查不再是簡單的知識疊加型，更側(cè)重于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合型試題。從歷年的各地高考和數(shù)學(xué)競賽來看，我們不難發(fā)現(xiàn)：對多元函數(shù)最值問題的考查趨勢逐年有所增加。這顯然是為了更好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

其中，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，獲得結(jié)論貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。在數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、方法和體系，理解和把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，提高數(shù)據(jù)處理的能力，增強(qiáng)基于數(shù)學(xué)表達(dá)問題的意識。

本文以多元函數(shù)的最值問題為例，來談?wù)剶?shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)在多元函數(shù)最值問題教學(xué)中的體現(xiàn)，即體會函數(shù)思想在解決方程、不等式問題中的重要作用，幫助學(xué)生從函數(shù)的角度進(jìn)一步認(rèn)識方程和不等式，理解函數(shù)、方程和不等式之間的關(guān)系，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、數(shù)形結(jié)合，必要先行

本題旨在考查學(xué)生對函數(shù)與不等式聯(lián)系的理解，對恒成立問題的轉(zhuǎn)化；能力范疇旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的能力。

本題條件簡潔，學(xué)生需要對題中所給的條件、數(shù)據(jù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，尋找突破口，探究本質(zhì)，抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。

由于學(xué)生目前的數(shù)學(xué)抽象能力不強(qiáng)，因而在教學(xué)時，我引導(dǎo)學(xué)生：“若該題需要你求值f（2），你認(rèn)為需要知道哪些條件？”學(xué)生能快速反應(yīng)需要知道系數(shù)a，b，c三個量或其關(guān)系”。此時，學(xué)生頓悟本題的關(guān)鍵在于弄清a，b，c三者間的關(guān)系以及某元的取值范圍，將多元轉(zhuǎn)化為少元，直至單元。

由題中的恒成立條件著手，學(xué)生容易將其轉(zhuǎn)化為自己熟悉的最值問題，并通過數(shù)形結(jié)合、直觀想象，因而可得到：對任意實(shí)數(shù)x，不等式組恒成立，進(jìn)一步可化簡得到不等關(guān)系：但到此處，學(xué)生又遇到阻礙，止步不前。歸其原因，變量過多、不等關(guān)系復(fù)雜，超出了高一學(xué)生的知識范疇。解決此類問題，應(yīng)結(jié)合高一學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，通過直觀感受，借助幾何直觀和想象來感知函數(shù)的形態(tài)和變化，利用圖形分析問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系。直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展提高數(shù)形結(jié)合的能力，感悟事物的本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。因而教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，通過作圖來觀察函數(shù)f（x）圖象所在位置。不難畫出圖像，如下圖所示：

觀察函數(shù)圖像，直觀想象，借助兩函數(shù)的圖像位置關(guān)系，建立形與數(shù)的聯(lián)系，不難發(fā)現(xiàn)f（x）由于夾在兩函數(shù)之間，即圖像也夾在其之間，故必過它們的交點(diǎn)(1，1)，從而可得到關(guān)系式再代入剛才的兩個不等式，得到且有進(jìn)一步代入可知故有解答完畢。

通過本題的學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會多元函數(shù)最值問題的數(shù)學(xué)抽象過程，學(xué)會分析題中所給的數(shù)據(jù)，掌握條件的等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)而解決問題。

結(jié)合學(xué)生學(xué)情，為鞏固和檢驗(yàn)學(xué)生對該類多元最值問題的掌握，本人在課后設(shè)置了如下問題：

練習(xí)1：已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），滿足f（-1）=0，對于任意的x∈R，都有并且當(dāng)x∈(0，2)時有求函數(shù)f（x）的解析式。

該練習(xí)與例題在解題思路上有相似之處，有了上一題的解答經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生容易入手。結(jié)合例題，分析題中所給條件，類比方法，模仿解題，該練習(xí)能夠進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力，再次體會直觀想象、數(shù)形結(jié)合對研究函數(shù)問題的重要性。

二、代換消元，化繁為簡

由上一問題的啟發(fā)，本人對二次函數(shù)的多元最值問題進(jìn)行深入探究。多元最值問題解決的另一常見方法，即是通過代換消元，化歸為單變元問題，化繁為簡，促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

題中條件同樣簡單明了，類比上一問題，分析題中所給數(shù)據(jù)“對任意的x∈R，有恒成立”，由該恒成立條件入手，學(xué)生容易利用二次函數(shù)圖像，直觀感知，數(shù)形結(jié)合，從而可以初步得到a，b，c三者間的不等關(guān)系和所求式子但與上一例題不同之處在于，本題中得到的并沒有等式關(guān)系，而是不等關(guān)系，加上該式中仍有三個未知元，相較問題1有一定的難度，需要重新思考多變元問題的解決方法。但多變元問題的總體思想是一致的，即通過消元，達(dá)到少元直至單元解決問題。因此，本題中變元間只有不等關(guān)系，無等量關(guān)系，但不影響通過代換消元來處理a，b，c三者間的不等關(guān)系。在觀察中學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，相較而言，變元c會結(jié)構(gòu)單一，容易轉(zhuǎn)換，于是有故可得原式此時，學(xué)生觀察式子結(jié)果容易想到等價換元，構(gòu)造新關(guān)系，建立新的數(shù)學(xué)模型，便有了如下解答：令再利用勾勾函數(shù)與基本不等式知識，得到當(dāng)且僅當(dāng)時，即b=4a時，原式取到最小值3，最終解決問題。

該練習(xí)的設(shè)置，是為學(xué)生鞏固、提高對代換消元法來分析、處理二次函數(shù)多元最值問題。它與例題在數(shù)據(jù)的分析、處理上，所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法以及所要求的核心素養(yǎng)基本一致。故在此不再作具體展開。

三、主次變元，逐一解決

除以上常見的代換消元法來解決二次函數(shù)中多元最值問題以外，還有一類在多元問題中也時常遇到。如：

具體分析本題所給的數(shù)據(jù)，與前面兩個問題比較，可以看到本題中有x，a，b三個變元，且相互之間似乎又找不到直接的聯(lián)系。這樣，就很難再用上述代換消元的方法解決問題。學(xué)生在解這類題時遇到的主要困難在于題目中不僅有多變元，且題中的存在、恒成立條件對每個變元都有要求，如若同時考慮三個變元，就會舉步維艱。既然三個變元無法同時解決，就拆分逐一處理，故必須引導(dǎo)學(xué)生將三個變元進(jìn)行拆開，分別當(dāng)作問題的主元，其余先當(dāng)作次元或常數(shù)來處理，再將存在、恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，求出其對應(yīng)的最值?？上葘⒆冊獂看作問題的主元，即先考慮條件“存在實(shí)數(shù)使得不等式此時得到的成立”，學(xué)生比較容易將問題轉(zhuǎn)化為是關(guān)于a，b的二元函數(shù)，再依次類比，分別再把a(bǔ)，b看作主元，轉(zhuǎn)化為其最小值大于等于m的問題，從而解決問題。

學(xué)生解答本題時，容易利用換元將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的絕對值最值問題，即則原命題等價于再記則原命題等價于再記從而原命題等價于

①當(dāng)a=0時，

② 當(dāng)a＜0時，此時

本題原本條件簡潔，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜，學(xué)生較難入手。處理題中數(shù)據(jù)，將問題中的多元進(jìn)行主次轉(zhuǎn)換，逐一拆分，把問題轉(zhuǎn)化成幾個小的、同時又是學(xué)生掌握得較好的最值問題，再一一去解決，就會容易得多。此后的二次函數(shù)最值問題，則可結(jié)合函數(shù)圖像，直觀想象，恰當(dāng)?shù)胤诸愑懻?，?shù)形結(jié)合便可解得

多元函數(shù)的最值問題有很多解決方法。函數(shù)問題的分析和解決，能使學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合、直觀想象的重要作用，進(jìn)一步提高對數(shù)據(jù)的分析、處理能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。不同問題的類比辨析，尋找共同之處，探究方法，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和核心素養(yǎng)都有所提高，這便是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和價值所在。