廣東省東莞市石排中學(xué) 鄧沛森

在中考復(fù)習(xí)課中，提高課堂效率是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，而怎樣的數(shù)學(xué)課堂才是有效、甚至高效的呢？數(shù)學(xué)高效課堂應(yīng)具備什么特征？

中考數(shù)學(xué)知識(shí)的考查過程中逐步加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的考查，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。而函數(shù)與方程的思想方法作為基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，在知識(shí)的互相聯(lián)系，互相溝通中起到了紐帶作用。抓住數(shù)學(xué)思想方法，善于迅速調(diào)用數(shù)學(xué)思想方法，更是提高解題能力根本之所在。因此，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意體會(huì)教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識(shí)。在中考復(fù)習(xí)過程中，“函”“方”互化，提高解題能力，實(shí)現(xiàn)高效課堂函數(shù)與方程思想共分為兩個(gè)方面：函數(shù)思想與方程思想。

一、函數(shù)思想

函數(shù)思想，是拋開所研究對(duì)象的非數(shù)學(xué)特征，抽象其數(shù)學(xué)特征、利用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，使復(fù)雜問題簡單化，達(dá)到最終解決問題的目的。

1．函數(shù)思想解決方程問題

例1 一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k不為0）的圖像如圖所示，根據(jù)圖像信息可求得關(guān)于x的方程kx+b=0的解為__________。

解答：∵一次函數(shù)y=kx+b過（2，3），（0，1）點(diǎn)，__________，__________，

∵一次函數(shù)y=x+1的圖像與x軸交于（-1，0）點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程kx+b=0的解為x=-1，故答案為x=-1。

小結(jié)：函數(shù)解析式的函數(shù)值對(duì)應(yīng)方程的根，就是該應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

2．函數(shù)思想解決不等式問題

例2 如圖，函數(shù)y=2x和y=ax+4的圖像相交于A（m，3），則不等式2x＜ax+4的解集為______。

把A（m，3）代入y=2x，得2m=3，解得根據(jù)圖像可得：當(dāng)時(shí)，y=2x的圖像在y=ax+4的圖像下方。不等式2x＜ax+4的解集是故答案是

小結(jié)：判斷函數(shù)值大于零還是小于零關(guān)鍵看函數(shù)圖像在x軸的上方還是下方，上方函數(shù)值＞0，下方函數(shù)值＜0。判斷一個(gè)函數(shù)值大于另一個(gè)函數(shù)值，看這一個(gè)函數(shù)圖像是否在另一個(gè)函數(shù)圖像的上方，在圖像上方函數(shù)值大于在下方的圖像的函數(shù)值。

3．函數(shù)思想解決實(shí)際問題

函數(shù)思想是有時(shí)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想，分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，使復(fù)雜問題簡單化，達(dá)到最終解決問題的目的。

例3 為改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計(jì)劃在江漢堤坡種植白楊樹，現(xiàn)甲、乙兩家林場(chǎng)有相同的白楊樹苗可供選擇，其具體銷售方案如下表：

甲林場(chǎng) 乙林場(chǎng)購樹苗數(shù)量 銷售單價(jià) 購樹苗數(shù)量 銷售單價(jià)不超過1 0 0 0棵時(shí) 4元/棵 不超過2 0 0 0棵時(shí) 4元/棵超過1 0 0 0棵的部分 3.8元/棵 超過2 0 0 0棵的部分 3.6元/棵

設(shè)購買白楊樹苗x棵，到兩家林場(chǎng)購買所需費(fèi)用分別為y甲（元）、y乙（元）。（1）該村需要購買1500棵白楊樹苗，若都在甲林場(chǎng)購買所需費(fèi)用為 元，若都在乙林場(chǎng)購買所需費(fèi)用為___元；（2）分別求出y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果你是該村的負(fù)責(zé)人，應(yīng)該選擇到哪家林場(chǎng)購買樹苗合算，為什么？

思路分析：（1）由單價(jià)×數(shù)量就可以得出購買樹苗需要的費(fèi)用；（2）根據(jù)分段函數(shù)的表示法，分別當(dāng)0≤x≤1000，或1000＜x≤2000，或x＞2000，由單價(jià)×數(shù)量就可以得出購買樹苗需要的費(fèi)用，表示出y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）分類討論，當(dāng)0≤x≤1000，1000＜x≤2000時(shí)，x＞2000時(shí)，表示出y甲、y乙的關(guān)系式，就可以求出結(jié)論。

小結(jié)：用函數(shù)思想解決問題，在近幾年中考中占有很大比重，許多省市的中考題都有這部分內(nèi)容，尤其是用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程（組）、不等式和幾何知識(shí)等，利用函數(shù)解決實(shí)際問題，題型多樣化，填空、選擇、解答、綜合題都有，主要考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)知識(shí)分析、解決問題的能力，所以，實(shí)現(xiàn)“函”“方”互化，提高學(xué)生解題能力，實(shí)現(xiàn)高效課堂。

二、方程思想

方程思想是根據(jù)實(shí)際問題——數(shù)學(xué)問題——代數(shù)問題——方程問題，在數(shù)學(xué)的世界里，到處都是等式和不等式。哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的……不等式問題也與方程是相近的且密切相關(guān)。函數(shù)的研究離不開方程研究.列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)研究的。

1．?dāng)?shù)與式中的方程思想

用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程組。

例4 如果單項(xiàng)式 -3x4a-by2與x3ya+b是同類項(xiàng)，那么這兩個(gè)單項(xiàng)式的積是（ ）

A.x6y4； B.-x3y2； C.x3y2； D.-x6y4

本題通過同類項(xiàng)的相關(guān)定義，構(gòu)造出方程組。

2．方程思想解決函數(shù)問題

兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)表示點(diǎn)在兩條直線上的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)也相同。例如：求直線y＝x與y=3x-4的交點(diǎn)，就可以把兩個(gè)二元一次方程組成方程組解得所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），那么我們也可以在坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩條直線的圖像，如右圖所示，觀察兩條直線的交點(diǎn)，正是（2，2）。

小結(jié)：兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式所組成的方程組的解。反過來，組成的方程組的解就是兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)。

3．平面幾何中的方程思想

例5 如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，點(diǎn)B、D恰好都落在點(diǎn)G處，已知BE=1，則EF的長為_____。

解：∵正方形紙片ABCD的邊長為3，∴∠C=90°，BC=CD=3，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：EG=BE=1，GF=DF，設(shè)DF=x，則EF=EG+GF=1+x，F(xiàn)C=DC-DF=3-x，EC=BC-BE=3-1=2，在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，即（x+1）2=22+（3-x）2，解得故答案為

評(píng)論：通過正方形、折疊相關(guān)的定理與性質(zhì)，將平面幾何問題，轉(zhuǎn)化為方程思想問題。

小結(jié)：方程思想就是把問題中的已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為方程（組）或其他形式的數(shù)學(xué)模型，使問題得到解決的思想方法。

（1）把問題歸結(jié)為確定一個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)；

（2）挖掘問題中已知與未知數(shù)量之間的等量關(guān)系，建立方程或方程組；

（3）求解或討論所得方程或方程組；

（4）檢驗(yàn)并作出符合問題實(shí)際的回答。

方程的思想方法就是從問題的數(shù)量關(guān)系分析入手， 運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過解方程使問題獲解。

函數(shù)研究是數(shù)學(xué)的主線，它用聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)研究、描述客觀世界中相互關(guān)聯(lián)的量之間的依存關(guān)系，形成變量數(shù)學(xué)的一大重要基礎(chǔ)和分支。函數(shù)思想以函數(shù)知識(shí)做基石，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析和研究數(shù)學(xué)對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系，使函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用得到極大的擴(kuò)展，豐富并優(yōu)化了數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，給數(shù)學(xué)解題帶來一股很強(qiáng)的創(chuàng)新能力。

函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)用。在解綜合題中，解決一個(gè)問題常常不止需要一種數(shù)學(xué)思想，而是兩種數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用．例如函數(shù)思想與方程思想的綜合運(yùn)用，它們之間的相互轉(zhuǎn)換一步步使問題獲得解決，轉(zhuǎn)換的途徑為函數(shù)——方程——函數(shù)或方程——函數(shù)——方程等。所以實(shí)現(xiàn)“函”“方”互化，大大提高學(xué)生解題能力，實(shí)現(xiàn)高效課堂。