盧慧娟
(廣西壯族自治區(qū)柳州市第十一中學(xué),廣西 柳州)
樹立分類討論思想的意識,就是要使學(xué)生把一個不明確的數(shù)學(xué)問題分解成幾個可以確定的小問題,然后逐一進(jìn)行研究和解決,綜合這幾個小問題的結(jié)論,再次研究分析,最終得出原題的答案。在人教版七年級數(shù)學(xué)下冊關(guān)于不等式的教學(xué)中,分類討論思想在概念的理解、方案設(shè)計等問題中均有所滲透,下面對分類討論思想在不等式中的應(yīng)用的題目進(jìn)行如下分析。
在人教版七年級數(shù)學(xué)上、下冊的教材中,涉及數(shù)學(xué)概念的問題,如下一例:
例1:求關(guān)于x的不等式xm2-3-2≥m的解集。
這道題跟指數(shù)有關(guān),x的指數(shù)只能取值1,所以得到m2-3=1,解得 m=±2
由此,原不等式的解集可分兩種情況:
m=2時,x-2≥2,不等式的解集為x≥4
m=-2時,x-2≥-2,不等式的解集為x≥0
上例屬于數(shù)學(xué)概念在不等式中的應(yīng)用研究。解題關(guān)鍵在于,對系數(shù)和指數(shù)的理解要達(dá)到熟悉掌握的要求,這類題型對訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維也有一定的作用。例1還可變式為絕對值的應(yīng)用,如:把m2更換為,同樣的可解出m有兩個值,然后再分兩種情況討論,最后得出結(jié)果。
第一類是通過兩種方案的比較,分類討論得出比較所得的三種情況(如:A與B一樣、A高于B、A低于B),分類比較三種情況得出的結(jié)論再分別進(jìn)行分析。
例2:某商店出售茶壺和茶杯,茶壺每只20元,茶杯每只5元,商店有兩種優(yōu)惠辦法:一種是購買一只茶壺送一只茶杯;另一種是按總價的92%付款?,F(xiàn)有一顧客需購買4只茶壺,若干只(不少于4只)茶杯,選哪一種優(yōu)惠辦法購買最省錢?
設(shè)購買茶杯x只,依題意
方案一可列式為 4×20+5(x-4),整理得 5x+60
方案二可列式為 92%×(20×4+5x),整理得 4.6x+73.6
兩種方案進(jìn)行比較,分為以下三種情況:
第一種:方案一的花費(fèi)等于方案二的花費(fèi),可得式子
5x+60=4.6x+73.6,解得 x=34
因此,購買的茶杯數(shù)為34只時,兩種方案的花費(fèi)一樣。
第二種:方案一的花費(fèi)高于方案二的花費(fèi),可得式子
5x+60>4.6x+73.6,解得 x>34
因此,購買的茶杯數(shù)超過34只時,選擇方案二最省錢。
第三種:方案一的花費(fèi)低于方案二的花費(fèi),可得式子
5x+60<4.6x+73.6,解得 x<34
因此,購買的茶杯數(shù)低于34只時,選擇方案一最省錢。
例2這類題型的方案通常由題目已給出,一般都是兩種方案。對于題目給出的兩種方案,解題方法是先根據(jù)方案列出式子,然后再分成“一樣、高于、低于”三種情況來討論,得到的結(jié)果是根據(jù)不同的情況,作出不同的選擇。
第二類是依據(jù)題目條件,求出相關(guān)的量的取值,通過這個取值來分類討論選擇最佳方案的問題。
例3:學(xué)校準(zhǔn)備租用一批汽車,現(xiàn)有甲、乙兩種大客車,甲種客車每輛載客量為45人,乙種客車每輛載客量為30人。已知租用1輛甲種客車需租金400元,租用1輛乙種客車需租金280元。學(xué)校現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種客車共8輛,送330名師生集體外出活動,最節(jié)省的租車費(fèi)用是多少?
設(shè)租用甲種客車x輛,則租用乙種客車(8-x)輛,依題意可列不等式為 45x+30(8-x)≥330,解得 x≥6。
由于甲、乙兩種客車共8輛,即6≤x≤8,所以x的取值為6,7,8。
故有如下三種方案:
第一種:當(dāng) x=6 時,租車費(fèi)用為 400×6+280×2=2960(元)
第二種:當(dāng) x=7 時,租車費(fèi)用為 400×7+280×1=3080(元)
第三種:當(dāng) x=8 時,租車費(fèi)用為 400×8+280×0=3200(元)
所以,當(dāng)x=6時,租車費(fèi)用最少。
這類題型的方案通常根據(jù)題目條件,求得相關(guān)的量的值,再依據(jù)這個值來確定方案可行性的種類,最后根據(jù)種類的多少來選擇最優(yōu)方案。與例2的不同在于,它們的結(jié)果表現(xiàn)形式不同:例2是一種情況對應(yīng)一個結(jié)果,三種情況對應(yīng)三個結(jié)果,而且只有三種情況;例3則是由相關(guān)的量確定所有方案的可能性,并且最終的結(jié)果是在這所有的方案中只選擇一個最優(yōu)的。