高旭東 王凱 秦雪峰

摘要：雙層齒輪組在連鎖轉動時所體現出的機械傳動具有隨雙層齒輪的疊加而使其速度層呈指數式倍增的特點，主要構成方式是將第n個雙層齒輪的大齒輪部分放在第n+1個雙層齒輪的大齒輪面上，與其小齒輪嵌合而利用大小齒輪間的半徑差進行指數式傳動。民間出現的雙層齒輪組一般用于減速用，若用于加速則對流水線生產、高機械動力性能產品的研發(fā)具有重要的推動作用。由于缺少對于雙層齒輪組實際加速效果的較為精確的理論分析與實驗分析，該文所論述的雙層齒輪組的連鎖運動問題暫可用于高校物理專業(yè)力學習題研究的理論參考。

關鍵詞：雙層齒輪、線速度、角速度、小齒輪、大齒輪。

1.雙層齒輪組的連鎖運動機制

已知線速度與角速度的關系式為ν=ωr，令鑲嵌在一條線上的雙層齒輪組的所有雙層齒輪的角速度分別為ω1、ω2、···、ωn大齒輪的半徑為R，小齒輪的半徑為r，則可推出。順勢我們就不難推出第n個齒輪的角速度為。

現任取其中第2至n個雙層齒輪作為研究對象，角速度值分別為···。將第2個雙層齒輪角速度的值代入第3個雙層齒輪的角速度值可得，再將其代入第四個雙層齒輪的角速度值可得或，據此可推出：

不過為了方便計算最后一個齒輪的角速度，公式就寫成：

其中，ω1定義為初齒輪角速度，ωn定義為末齒輪角速度。

就單個雙層齒輪而言，可令V為大齒輪的線速度、ν為小齒輪的線速度，則，于是。由于在后續(xù)重力風扇設計時將利用的是雙層齒輪組的初齒輪的小齒輪線速度以及末齒輪的大齒輪線速度（給予一種作用力使得整個連鎖齒輪裝置轉動動時，以初齒輪的小齒輪為力的作用對象能使末齒輪的大齒輪線速度的加成達到最大化），則初齒輪的大齒輪線速度與末齒輪的小齒輪線速度就一般不予考慮。因此，利用上述條件可將（1-2）式化為：

另外，各個雙層齒輪之間的轉動還有這樣一個特點，若第1、3、5…2n+1個雙層齒輪是沿順時針方向轉動的，則第2、4、6…2n個齒輪沿逆時針轉動，說明雙層齒輪序數的奇偶性相等時，該部分雙層齒輪的轉動方向就相同，從而根據（1-3）式可進一步推出，n為奇數時，末齒輪與初齒輪的轉動方向相同，偶數則方向相反。

2.雙層齒輪組的連鎖作用力機制

令雙層齒輪中間挖空的一個圓柱體的半徑及質量分別為為r1、m1，大齒輪部分質量為M，小齒輪部分質量為m，制作該齒輪材料的密度為ρ，大小齒輪厚度均為h（只重疊，不重合）。雙層齒輪的轉動本質上圓柱體的轉動，已知圓柱體的轉動慣量為，運用轉動慣量的疊加原理可得單個雙層齒輪的轉動慣量推導如下：

I大：大齒輪的轉動慣量M為大齒輪的質量

I小：小齒輪的轉動慣量m為小齒輪的質量

I空：指為了串聯細桿，從雙層齒輪間挖空的一個圓柱體的轉動慣量。

忽略齒尖大小、形狀對于單個雙層齒輪的轉動慣量的影響，就當做所有的齒尖是通過對一個固定大小、形狀的同軸、重疊的圓柱體的重塑后設計出的，整個雙層齒輪的質量不變。由于改變的只是各個大小圓柱體的側面線條的分布，使其因帶有齒尖俯視看來就不再是一個光滑的圓，但大體上還是個圓，總的雙層齒輪的轉動慣量大小是基本不變的。

由于αt=ω （α為角加速度），可將（1-2）式化為，于是有（M為力矩，i=1，2，3，…，n），從而可以得到：

其中Fn是指n個雙層齒輪加速運動時需要在初齒輪施加的力（變力）。若力的大小及方向都不變，力作用于初齒輪的大齒輪或小齒輪所產生的整個雙層齒輪的角加速度都是相等的，力的方向一般與之相切。

3.結束語

因涉及到轉動慣量方面的力學問題，雙層齒輪組的連鎖加速機制及作用力機制可用于物理專業(yè)力學習題分析的教學材料參考。然而，站在大方面的科學研究的角度，利用雙層齒輪組的加速機制進行高機械傳動性能產品的研發(fā)在目前存在一些困難，主要在于多個雙層齒輪嵌合所導致的較高摩擦力，這一點筆者會在后續(xù)的持續(xù)研究中予以解決。

參考文獻

1.周衍柏.理論力學教程[M].北京：高等教育出版社，2018（8）.